双基自测11．( 人教 A 版教材习题改编 ) 函数 y ＝ x ＋ x ( x ＞0) 的值域为 ( ) ．A ．( －∞，－ 2] ∪[2 ，＋∞ )B ．(0 ，＋∞)C ．[2 ，＋∞ )D ．(2 ，＋∞)2a ；② a ＋b2＋ 2 1 ≥ ，其中正确的个数是．下列不等式：① a ＋ ＞≤2；③x212x1ab＋1() ．A ．0B ．1C ．2D ．3．若 a ＞ ，b ＞ ，且 a ＋ 2 b － ＝ ，则 ab 的最大值为 ( ) ．3 0 0 2 0B ．1C ．2D ． 4．·重庆 若函数 f x ＝ x ＋ 1 x ＞ 在 x ＝ a 处取最小值，则 a ＝． 4 (2011 )( )x －2(2)()A ．1＋ 2 B．1＋3 C ．3 D ．4．已知 t ＞ ，则函数 y ＝ t 2－ t ＋ 15 0 t 的最小值为 ________．考向一 利用基本不等式求最值1 1【例 1】?(1) 已知 x ＞ 0， y ＞ 0，且 2x ＋y ＝1，则 x ＋y 的最小值为 ________； x(2) 当 x ＞0 时，则 f ( x) ＝x 2＋1的最大值为 ________．1【训练 1】 (1) 已知 x ＞1，则 f ( x) ＝ x ＋ x － 1的最小值为 ________． 已知 ＜x 2 x － x 2 的最大值为(2) ＜ ，则 y ＝________．0 5 2 5(3) 若 x ，y ∈ (0 ，＋∞ 且 2 x ＋ y － xy ＝ ，则 x ＋ y 的最小值为 ． ) 8 0________考向二 利用基本不等式证明不等式bc ca ab【例 2】?已知 a ＞0， b ＞ 0， c ＞ 0，求证： a ＋ b ＋ c ≥a ＋b ＋c.．【训练 2】 已知 a ＞0，b ＞0，c ＞0，且 a ＋ b ＋c ＝1.1 1 1求证： a ＋b ＋c ≥9.考向三 利用基本不等式解决恒成立问题x【例 3】?(2010 ·山东 ) 若对任意 x ＞0，x 2＋ 3x ＋1≤a 恒成立，则 a 的取值范围是 ________．【训练 3】 (2011 ·宿州模拟 ) 已知 x ＞ ， y ＞ ， xy ＝x ＋ y ，若 xy ≥ m － 2 恒成0 0 2 立，则实数 m 的最大值是 ________．考向三利用基本不等式解实际问题【例 3】?某单位建造一间地面面积为212 m 的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超过．房屋正面的造价为400 元2，房屋5 m/m侧面的造价为 150 元/m 2，屋顶和地面的造价费用合计为 5 800 元，如果墙高为 3m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？【训练 3】 (2011 ·广东六校第二次联考 ) 东海水晶制品厂去年的年产量为10 万件，每件水晶产品的销售价格为100 元，固定成本为 80 元．从今年起，工厂投入 100 万元科技成本． 并计划以后每年比上一年多投入 100 万元科技成本． 预计产量每年递增 1 万件，每件水晶产品的固定成本 g n 与科技成本的投入次数 n( )g n ＝80 . 若水晶产品的销售价格不变，第 n 次投入后的年利润为的关系是 ( )n ＋1f ( n) 万元．(1) 求出 f ( n) 的表达式；(2) 求从今年算起第几年利润最高？最高利润为多少万元？211 【试一试】 (2010 ·四川 ) 设 a ＞b ＞0，则 a ＋ab ＋aa －b 的最小值是 () ．? ?A ．1 B．2C ．3D ．4双基自测D ．(2 ，＋∞)答案C2．解析①②不正确，③正确，1 1x 2＋ x 2 ＋1＝( x 2＋ 1) ＋ x 2＋1－1≥2－ 1＝ 1. 答案B13．解析∵ a ＞ 0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴ a ＋2b ＝2≥2 2ab ，即 ab ≤2. 答案 A．解析 当 x ＞ 2 时，x － ＞ ，f x ＝ x － 2) ＋ 1 ＋ ≥ x － × 1 ＋4 2 0 ( ) ( x －22 2 ? 2? x － 212＝4，当且仅当 x －2＝x －2( x ＞ 2) ，即 x ＝3 时取等号，即当 f ( x) 取得最小值时，x ＝ ，即 a ＝3. 答案C3t 2－ t ＋1 1．解析 ∵t ＞ ，∴ y ＝4时取＝1 5tt4242等号．答案－ 2【例 1】解析(1) ∵x ＞0，y ＞0，且 2x ＋ y ＝ 1，1 1x ＋y 2 x ＋ yyxyx∴ x ＋ y ＝ x ＋ y ＝ 3＋ x ＋ y ≥3＋ 2 2. 当且仅当 x ＝ y 时，取等号．x 2 2 1(2) ∵ ( 1 0 ) x ＋ 1 1 2 1 xx ＋ x案 (1)3＋2 2 (2)11【训练 1】．解析(1) ∵x ＞1，∴f ( x) ＝( x －1) ＋ x － 1＋1≥2＋ 1＝3 当且仅当x ＝ 时取等号． y ＝ x － 2 － x 1 － x2 x 2 (2)x ＝x (2 ＝ ·5x ·(2，∵ ＜x ＜ ，∴2 5 5 ) 5 5 ) 0 5 5＜－ x ＞ ，∴ x － x 5x ＋2－5x21 x ＝ － x ，2,2≤＝1，∴ y ≤ ，当且仅当5 0 5 (2 5 )255 2 5112 8即 x ＝5时， y max ＝5.(3)由 2x ＋ 8y －xy ＝0，得 2x ＋8y ＝ xy ，∴ y ＋ x ＝ 1，8 2 y x 4y x y x＋y ≥10＋2×2× ∴ x ＋ y ＝ ( x ＋y) x ＋y ＝ 10＋ x ＋ y ＝ 10＋2 xx · y ＝18，y xx ＝ yx ＋ y － xy ＝ ，∴ x ＝ ，y ＝ ，当且仅当 x ＝y ，即2 时取等号，又 2 80 12 6∴当 x ＝12，y ＝ 6 时， x ＋y 取最小值 18.1答案(1)3 (2) 5(3)18【例 】证明 a ＞ ，b ＞ ，c ＞ ，∴ bc cabc cabc ab ≥∵222 00 0 a bab2a cbc abca ab ca abbc ca ab a · c ＝ 2b ； b ＋ c ≥2b ·c ＝ 2a. 以上三式相加得： 2a ＋b ＋ cbc ca ab≥ 2( a ＋b ＋c) ，即 a ＋ b ＋ c ≥ a ＋ b ＋ c.【训练 2】证明 ∵ a ＞ 0，b ＞0，c ＞0，且 a ＋ b ＋ c ＝ 1，∴1＋1＋1＝a ＋b ＋c ＋ a ＋ b ＋ c ＋ a b c a b a ＋b ＋cb c a c a bb ac ac bc＝3＋a ＋a ＋b ＋b ＋c ＋c ＝3＋ a ＋b ＋ a ＋c ＋ b ＋c1≥3＋ 2＋ 2＋ 2＝ 9，当且仅当 a ＝b ＝c ＝3时，取等号．解析若对任意 x ＞ ， 2 x ≤ a 恒成立，只需求得 y ＝ 2 x 的最大值0 x ＋3x ＋1 x ＋3x ＋ 1x111即可，因为 x ＞0，所以 y ＝ x 2 ＋x ＋＝1 ≤＝ ，当且仅当 x ＝131x ＋15x ＋3 2 x · x时取等号，所以 a 的取值范围是1，＋∞ 答案 1，＋∞55【训练 】解析由 x ＞ ，y ＞ ，xy ＝x ＋y ≥ 2 xy ，得 xy ≥ ，于是由 m － 3 0 0 2 2 82≤ xy m m m 的最大值为 10. 答案 10 恒成立，得 －2≤8， ≤10，故由题意可得，造价 y ＝ 3(2 x × 12 400)900 x ＋ 16 【例 ．解 ＋ × ＋ ＝ ＋ 3 150 x 5 800 x5 800(0 ＜ x ≤ 5) ，则 y ＝ 900 x ＋16＋ 5 800≥ ×2x × 16＋ 5 800 ＝13 x 900 x000( 元) ，当且仅当 x ＝ 16 4 米时，总造价最低．x ，即 x ＝4 时取等号．故当侧面的长度为【训练 】 解 (1) 第 n 次投入后，产量为 (10 n 万件，销售价格为 100 元， 3 ＋ ) 固定成本为 80 元，科技成本投入为 n 万元．所以，年利润为 f n ＝(10 100 ( ) n ＋180－ 100n( n ∈ N *) ．(2) 由 (1) 知 f ( n) ＝ (10 ＋n)100－80 ＋ n) 100－－n ＋ 1n ＋1100nn ＋ ＋ 99＝ 1 000 － 801≤ 520(万元 ) ．当且仅当 n ＋ ＝，n ＋1n ＋1即 n ＝8 时，利润最高，最高利润为 520 万元．所以，从今年算起第 8 年利润最高，最高利润为 520 万元．【示例】．正解 ∵a ＞0，b ＞0，且 a ＋b ＝1，1 2 1 2b aba＝ ＋∴ ＋ ＝＋( a ＋ b ＝ ＋ ＋ ＋a ·ba ba b ) 1 2 a b ≥3＋ 2322.a ＋b ＝ ，a ＝ － ，121 2当且仅当 b a即 3＋2 2.时， ＋ 的最小值为， b ＝ － a b＝2a b2211211 【试一试】尝试解答 ]a＋ab ＋a a －b ＝a －ab ＋ab ＋ ab ＋a a －b＝a( a －b)????11 11 ＋a a －b ＋ ab ＋ab ≥2 a?a －b?·a a －b ＋2 ab ·ab ＝ 2＋2＝4. 当且仅 ? ? ? a a －b ＝ 1 且 ab ＝ 1 ，即 a ＝ b 时，等号成立．答案 D 当 ( ) a?a －b? ab 2。