a
E
(
a
K
)1 n
a = Ee ea
a = K ' (e pa ) n
17
增级试验法 采用各级应变水平由小到大再由大到小构成的程序块，由一根试 样反复试验直至响应应力达到稳定值，将这个稳定循环程序块得到的 许多滞回环顶点连接起来即可得到循环应力应变曲线。
Masing效应
在不同应力水平得到的滞回环通过坐标平移，使其最低点与原点 重合，如果滞回环最高点的连线与其上行线重合 ，则该材料具有 Masing效应。
1'
0
2
7' t
4
2-3 加载。已知De2-3, 由滞后环曲线可求 D2-3。
对于加载，有：e3=e2+De2-3； 3=2D2-3。
3-4 卸载。经过2’处时，应变曾在该处 (2处)发生 过反向，由记忆特性知2-3-2’形成封闭环， 且不影响其后的-e响应。
28
e
按路径 1-2-4计算-e响应，有： E 2 K 得到： e4=e1-De1-4； 4=1-D1-4。 De
没有Masing效应的材料
SA333C-Mn钢
304LN不锈钢
滞后环曲线 (D-De曲线)
反映加载路径。若拉压性能对称，考虑 半支即可。 以o'为原点，考虑上半支。 具有Masing效应的材料满足如下假设
D
D-De e ea
a
a-e a
epa ea De
epa 0
0'
假设D-De曲线与a-ea曲线几何相似， 滞后环曲线为：
29
8-1’ 加载。注意有封闭环7-8-7’，5-6-5‘, 1-4-1’； 故有： e1'=e1； 1'=1。
依据计算数据(ei ,i ), 在-e坐标中描点，顺序连接，即可得到 -e响应曲线。
e
1 3 5 2’ 7 6 4 5'

1' 7
0
5 5' 7' 3
11'
0
2
结果与雨流 计数法一致。
已知变应变循环历程，取从最大峰 或谷起止的典型谱段，分析其稳态 应力响应。
0-1 第一次加载，稳态响应 由a-ea曲线描述。
e
1 3 2
1'
5
2’ 7
5'
7' t 6 8
0
e1 = ( 1 E ) (1 K )1 n
已知e1，用数值方法可解出1。
4
1-2 卸载。已知载荷反向的变程De1-2 , 求D1-2。
MPa
500 5 1
4-5 加载，De4-5=0.01 e5=0.002, 5=334MPa 5-6 卸载。De5-6=0.006 e6=-0.004, 6=-324MPa
-0.01
3
0 6 4 2 -500 0.01 e
6-1’ 形成封闭环5-6-5’、1-4-1’ 1'=1。绘-e响应曲线。
1- 4
1 3 5 2’ 7 6 4 8 5'
1'
=
D
1- 4
2(
D
1- 4
) 1 n
0
2
7' t
4-5 加载。已知De4-5 , 求D4-5，
得到：e5=e4De4-5 ; 5=4D4-5。 5-6 卸载。已知De5-6 , 求D5-6。进而求得 e6、 6。 6-7 加载。已知De6-7 , 求D6-7。进而求得 e7、 7。 7-8 卸载。已知De7-8 ,求D7-8。可得：e8、8。
棘轮行为
非对称应力循环过程中，塑性应变的循环累积现象称为棘轮行为 （Ratchetting）。
非比例附加硬化
材料在非比例多轴循环过程中体现出的高于单轴（或比例多轴） 循环中的硬化响应现象称为非比例附加硬化。
800
Mises equivalent stress (MPa)
600
400
200
Uniaxial tension Torsional cycle Proportional cycle Uniaxial cycle Circular cycle
0
ep
ee
e
e = ee e p =
( )1 n E K


K为强度系数，应力量纲(MPa); n为应变硬化指数，无量纲。 n=0，理想塑性材料。
8
4.2 滞后(回)环和循环应力-应变响应
循环滞回环
Bauschinger效应
循环软/硬化行为
应变控制循环加载
循环软/硬化行为
应力控制循环加载
e＜0.01时，与S，e与e相差小于1%，可不加区别。
7
2. 单调应力-应变曲线
均匀变形阶段，-e曲线上任一点的应 变e，均可表示为：

A
e=ee+ep
-ee关系用Hooke定理表达为：=Eee -ep关系用Holomon关系表达为：=K(ep)n
Remberg-Osgood 弹塑性应力-应变关系：
P
且有ε = ln(1 e)
到颈缩前，变形是均匀的。忽 略弹性体积变化，可假定均匀 变形阶段后体积不变。
0 均匀变形
应变
6
工程应力、应变与真应力、真应变间关系
在均匀变形阶段，忽略弹性体积变化，假定变形后体积 不变，A0l0=Al，则有关系：
=P/A=Pl/A0l0=(P/A0)[(l0+Dl)/l0]=S(1+e)
耗时 耗材
循环a-ea曲线
各稳态滞回环顶点连线。 注意：循环a-ea曲线， 不反映加载路径。 循环a-ea曲线的数学描述：
a
a-e a -e
0
ea
循环应力-应变曲线
e a = e ea e pa =
K为循环强度系数，应力量纲(MPa)；
n’为循环应变硬化指数，无量纲。 弹性应变幅eea、塑性应变幅epa分别为：
7' t
8
4
8 6 2 2'
e
30
变幅循环下的应力-应变计算方法：
1) 第一次加载，由a-ea曲线描述，已知ea算a。 2) 后续反向，由De-D曲线描述； 由谱中已知的De算相应的D，且有：
ei+1 =ei Dei-i+1 ； i+1=i Di-i+1
加载变程用“+”, 卸载用“-”。
27
反映加载路径的是D-De曲线， D D 即： 1- 2 2 ( 1- 2 ) 1 n De = 1- 2 E 2 K
已知De1-2= e1-e2 。可求D1-2； 从 1到 2是卸载，则2处有： e2=e1-De1-2 2=2-D1-2
e
1 3
5 2’ 7 6 8 5'
e1=0.01 \1=462MPa 1-2 卸载。 De1-2=D1-2/E+2(D1-2/2K')1/n' De1-2=0.012 \D1-2=812MPa 故：e2=e1-De1-2=-0.02； 2=1-D1-2=-350MPa
e
.01 .006 .002 0 -.004 -.008
应变--寿命法假定在应变控制下试验的光滑试件 可以模拟工程构件缺口根部的疲劳损伤。如果承 受相同的应力--应变历程，则缺口根部材料有与 光滑件相同的疲劳损伤（和疲劳寿命）。
3
问题：
循环载荷下，应变如何分析？ 应变-寿命关系如何描述？
思路：
单调应力-应变 关系
循环应力-应变 行为 循环应力作 用下的应变 响应
材料记得曾为反向加载所中断的应力-应变 路径。
B B' C D' D
A
e
材料的记忆规则为：
1) 应变第二次到达某处,该处曾发生过应变反向， 则形成封闭环。 (封闭环B-C-B’)
2) 过封闭环顶点后，-e路径不受封闭环的影响, 记得原来的路径。原路径A-B-D.
26
2. 变幅循环下的-e响应计算
e=ln(1+e)=ln(l /l0)=ln(A0/A)=ln[100/(100-RA)]
可见，=S(1+e)＞S，相对误差为： (-S)/S=e, e=0.2%时，比S大0.2%。 故e越大，(-S)越大。
e是小量，展开得：e=ln(1+e)=e-e2/2+e3/3-…＜e,
e比e小，相对误差为： (e-e)/e=e/2。
后续反向，由De-D曲线描述； 由谱中已知的De算相应的D，且有： ei+1 =ei Dei-i+1 ； i+1=i Di-i+1
加载变程用“+”, 卸载用“-”。
注意材料记忆特性, 封闭环不影响其后的响应， 去掉封闭环按原路径计算。雨流法可作参考。
依据计算数据(eI ,i ), 画出-e响应曲线。
0.00 0.40 0.80 1.20
0
Mises equivalent strain (%)
1Cr18Ni9Ti不锈钢
因材料而异：有的材料明显，有的材料不明显
304L stainless steel
1050 QT steel
4.3 材料的记忆特性与变幅循环响应计算
1. 材料的记忆特性
加载ABD, 卸、加载曲线ABCB’D。
35
习题：4-3 ，4-7
36
OFHC紫铜的循环硬化行为
其它材料的循环软/硬化行为
SA333 C–Mn钢
304LN 不锈钢
应变幅值依赖性
单调和循环应力应变曲线
50% of the fatigue life
循环应力应变曲线的确定方法
成组试样法 通过一系列不同应变水平的应变控制循环试验，得到其稳定的滞 回环，进而确定循环应力应变曲线。