▪ 瞬变信号 :除了准周期信号以外的非周期信号称为瞬变信号。
图 瞬变信号的波形 a)电容放电时电压的变化 b)初始位移为A质量块的阻尼自由振动 c)受拉的弦突然拉断
2.3 非周期信号的频谱
2.3.2 瞬变信号的频谱—傅里叶变换
周期信号可以写成
x T (t) n c n e jn 0 t n ( T 1 0 T T 0 0 //2 2x (t)e jn 0 td t)e jn 0 t
② 非周期信号
准周期信号由多个频率成分叠加，频率之比不是有理数。例如:
x(t)s itns in2t
瞬变信号在有限时间段有非零值，或随着时间的增加衰减至零。
瞬变 信号
2.1 信号的分类及描述方法
(2) 非确定性信号（随机信号）
不能用准确的数学关系式描述，可以用概率统计方法估计参数。 所描述的物理现象是一种随机过程。例如分子热运动，环境的 噪声，随机相位正弦波等。
例 矩形窗函数的频谱
2.3 非周期信号的频谱
1 t T 2 w(t)0 t T 2
解: W(f) w(t)ej2πftdt T/2[c o2πsf()tjs in2π(f)td]t
T/2
T/2
2 c
o2sπf()tdtTs
inπf(T)
0
πf T
Tsinc(πf T)
其中森克函数：sincx=sinx/x。 随着x的增加，森克函数以2为周期作衰减振荡；它是偶函数， 并且在n(n=1, 2, …)处为0。
and Classification)
2.1 信号的分类及描述方法
2.1 信号的分类及描述方法 2.1.1 信号的分类
1. 从随时间变化规律的角度分类 周期
确定性信号
非周期
非确定性信号 （随机信号）
平稳 非平稳
简谐 复杂周期 准周期 瞬变
各态历经 非各态历经
2.1 信号的分类及描述方法
(1) 确定性信号 可以用明确的时间函数表示的信号。
TT00//22x(t)cons0tdt
正弦分量的幅值：
bn
2 T0
T0/2x(t)s
T0/2
in0tdt
式中 T0——周期
T0 2π/0
2.2 周期信号的频谱
① 傅里叶级数的谐波形式
x(t)A0 Ans in0 (tn)
n1
其中常值分量：
A0 a0
1 T0
T0/2 x(t)dt
T0/2
各谐波分量的幅值和初相角分别为：
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2.1 信号的分类(Signal Classification）
2.2 周期信号的频谱（ Periodic Signal Spectrum） 2.3 非周期信号的频谱（ Aperiodic Signal Spectrum) 2.4 典型信号的频谱（Typical Signal’s Spectrum） 2.5随机信号的概念和分类（Random Signal Concept
▪ 若x(t)在区间 (的, 能) 量无限，不满足
x条2 (t)件dt， 但在有限
区间内
满足(平T/均2,功T/率2)有限的条件。
lim 1 T/2 x2(t)dt
T T
T/2
则称为功率信号，如各种周期信号、常值信号、阶跃信号等。
2.1 信号的分类及描述方法
2.1.2信号的描述方法
• 时域描述表示信号幅值随时间变化的规律。 • 频域描述以频率为自变量，描述信号所含频率成分的幅值和相 角。
时域描述
时域图
傅里叶级数，傅里叶变换
频域描述
频谱图
幅频谱图 相频谱图
2.2 周期信号的频谱
2.2 周期信号的频谱 2.2.1三角函数展开式
x(t)a0 (anco n0stbns n i n0t)
n 1
其中，常值分量：
a0
1 T0
T0 /2 T0 / 2
x(t)dt
余弦分量的幅值：
an
2 T0
① 周期信号
x(t)=x(t+T)
例如 x(t)=sin(ωt+φ)
周期 T =2π/ω=1/f
周期信号
• 简谐信号
2.1 信号的分类及描述方法
简谐信号为单一频率的正弦或余弦信号。例如单自由度无阻尼质 量-弹簧振动系统的位移信号:
y(t)A s i n nt (0)
振幅 固有圆频率 初相角
式中
n
j 2
T0
T0/2As
0
inn0tdt
j
2A πn
0
n1,3,5,L n2,4,6,L
▪ 幅值谱 相位谱
2.2 周期信号的频谱
2A cn πn
n1,3,5,L
0 n2,4,6,L
n arctan02πnAππ2 2
n0,n1,3,5,L n0,n1,3,5,L
2.2 周期信号的频谱
三角函数展开式与复指数展开式的关系
An an2 bn2
n
arctana(n bn
)
2.2 周期信号的频谱
② 与谐波形式相应的频谱
频谱图的纵坐标分别为An和φn，横坐标为ω。 其中 幅值谱图， An—ω图；
相位谱图，φn—ω图。 式中ω0——基频；
nω0——n次谐频； An sin (nω0t ＋φn)——n次谐波。 各谐波成分的频率都是ω0的整数倍，因此谱线是离散的。
10
2.1 信号的分类及描述方法
信号自变量的连续和离散 信号幅值的连续和离散
2.1 信号的分类及描述方法
3 能量信号和功率信号
▪ 根据信号是用能量表示或功率表示，可分为能量信号(energy signal)和功率信号(power signal)。
▪ 当x(t)满足
x2(t)dt
则信号的能量有限，称为能量有限信号，简称能量信号。如各 类瞬变信号。
An an2 bn2
n
arctana( n ) bn
x (t) 4 π A ( s0 ti n 1 3 s3 in 0 t 1 5 s5 in 0 t )
n
arctaan)na( rct0a)n0(
bn
bn
2.2 周期信号的频谱
x (t) 4 π A ( s0 ti n 1 3 s3 in 0 t 1 5 s5 in 0 t )
3.对称性质
若 x(t)X(f) 则有
X(t) x(f)
证明：
x(t)X(f)ej2πftdf
以-t替换t，有 x(t)X(f)ej2πftdf
将t与f互换，得 X (t)的傅里叶变换
x(f)X(t)ej2πftdt
X(t) x(f)
2.3 非周期信号的频谱
▪ 对称性质表明傅里叶变换与傅里叶逆变换之间存在对称关系， 即信号的波形与信号频谱函数的波形有互相置换的关系。利用 这个性质，可以根据已知的傅里叶变换得出相应的变换对。
瞬变信号可以看成周期无穷大的周期信号，即
x(t)
lim
T0
xT
(t)
lim 1 ( T0/2 x(t)ejn0tdt)ejn0t
T T0 0 n T0 /2
1
[
x(t)ejtdt]ejtd
2π
2.3 非周期信号的频谱
对傅里叶积分式
x(t)1[x(t)ejtdt]ejtd 2π
x(t)sinn0tdt
4
T0
T0 0
/
2
Asinn0
tdt
4Acosn0t T0 n0
T0 /2 0
2A
(cosπn1)
πn
4A πn
n 1,3,5,
0 n 2,4,6,
（3）求傅里叶系数 常值分量 各谐波分量的幅值 各谐波分量的初相角
结果
2.2 周期信号的频谱
x(t)A0 Ans in0 (tn) n1 A0 a0
于是，有 x(t)c0 (cnejn0tcnejn0t)
n1
2.2 周期信号的频谱
与傅里叶级数复指数展开式相应的频谱
x(t) cnejn0t (n0,1,2,) n
式中
cn
1 T0
T0/2
jn0t
x(t)e dt
T0/2
(anjbn)/2cnejn
幅值谱 相位谱
cn an2bn2/21 2An
k m
简谐振动
• 复杂周期信号
2.1 信号的分类及描述方法
是由两种以上的频率比为有理数的简谐信号合成的。叠加后存 在公共周期。例如周期方波、周期三角波等。例如一种周期方 波：
x (t) 4 π A (s0 ti n 1 3 s3 in 0 t 1 5 s5 in 0 t )
2.1 信号的分类及描述方法
图 周期方波的频谱图
2.2 周期信号的频谱
周期方波前4个谐波成分的叠加
2.2 周期信号的频谱
周期方波的时、频域描述及其关系
2.2 周期信号的频谱
2.2.2 傅里叶级数的复指数展开式
欧拉公式：
ejt cotsjs i nt
c ost1(ejt ejt)
2
s int1(ejt ejt)
j2
2.2 周期信号的频谱
• 谐波幅值随谐波次数的增高而减小。因此
2.3 非周期信号的频谱 2.3.1 概述
▪ 准周期信号 :两个或两个以上的正、余弦信号叠加，如果任意两个分量的
频率比不是有理数，或者说各分量的周期没有公倍数
x ( t ) A 1 s i n ( 2 t 1 ) A 2 s i n ( 3 t 2 ) A 3 s i n ( 2 7 t 3 )
x(t)X(f)ej2πftdf
一般X(f)是实变量的复函数，可以写成