第3章 信号的描述方法3.1 信号的分类 3.2 信号的时域描述 3.3信号的频域描述 3.4 随机信号的描述在工程和科学研究中，经常要对许多客观存在的物体 或物理过程进行观测，就是为了获取有关研究对象状态 与运动等特征方面的信息。

被研究对象的信息量往往是非常丰富的，测试工作是按 一定的目的和要求，获取信号中感兴趣的、有限的某些特 定信息，而不是全部信息。

为了达到测试目的，需要研究信号的各种描述方式， 本章介绍信号基本的时域和频域描述方法。

3.1 信号的分类信号按数学关系、取值特征、能量功率等，可以分为： 确定性信号和非确定性信号 连续信号和离散信号 能量信号和功率信号3.1.1 分类方法一：确定性信号和随机信号1.确定性信号：能用明确的数学关系式或图像表达的信号称为确定性信号。

x(t)mAx(t)k0t0x (t ) A cos(k mt0)u周期信号：经过一段时间间隔重复出现的信号，无始无终（时域无穷）。

典型的如正（余）弦信号。

数学表达：x(t) x(t nT0 )(n 1, 2, )T0 = 2 / 0 =1/ f0 (0 k / m)周期：满足上式的最小T 值。

频率：周期的倒数，f = 1/T，单位：（Hz 赫兹）圆频率/角频率：频率乘以2 f, 即 =2 f =2 /T实际应用中，n 通常取为正整数。

(a) 周期信号之--------正弦信号：x(t) A0t0Tx(t ) Asin(2 ft 0 )这种频率单一的正弦或余弦信号称为谐波信号。

(b) 周期信号之------复杂周期信号 （如周期方波、周期三角波等）由多个乃至无穷多个频率成分（频率不同的谐波分量）叠加所组成，叠加后存在公 共周期。

x(t)0tx(t)=Asin0.5 t+ Asin t +Asin2 tu非周期信号 能用明确的数学关系进行描述，但又不具有周期重复性的信号，称为非周期信号。

它分 为准周期信号和瞬态信号两类。

(a)非周期信号之------准周期信号 也由多个频率成分叠加而成，但不存在公共周期（本质上不属于周期信号）。

x(t ) A sin 9t A sin 31 tt(b)非周期信号之------瞬态信号 是在有限时间段存在，或随着时间的增加而幅值衰减至零的信号，又称为瞬变非周期信号。

x(t)x(t) et sin tt2.随机性信号：不能准确预测信号未来瞬时值，也无法用准确数学 关系式来描述的信号，称为随机信号，也称不确定性信 号。

特点：• 非确定性信号。

• 具有不重复性（在相同条件下，每次观测的结果都不一样）、不确定性、不可预估性。

• 采用概率和统计的方法进行描述。

x(t)0 t3.1.2 分类法二：连续信号和离散信号若信号数学表示式中的独立变量取值是连续的，则称为 连续信号。

若独立变量取离散值，则称为离散信号。

模拟信号（信号的幅值与独立变量均连续）连续信号 一般连续信号（独立变量连续）离散信号一般离散信号（独立变量离散） 数字信号（信号的幅值与独立变量均离散）0t0t连续信号离散信号3.1.3分类法三：能量信号和功率信号l 信号的瞬时功率： P(t) x2(t)l 信号能量：E(t) P(t)dt x2 (t)dtl 能量（有限）信号： E(t) x2 (t)dt 如各类瞬变信号。

l 功率（有限）信号：信号在有限区间（t1, t2）上的平均功率： P (t1 , t2 )t21 t1t2 x 2 (t )dt t1如周期信号、准周期信号、随机信号等。

3.2 信号的时域描述信号的描述分时域描述与频域描述两大类方法 。

信号的时域描述Ø 以时间为独立变量，描述信号随时间的变化特征， 反映信号幅值随时间变化的关系。

Ø 波形图：时间为横坐标的幅值变化图。

Ø 优点：形象、直观。

Ø 缺点：不能明显揭示信号的内在结构（频率组成关系）。

信号的频域描述Ø 应用傅里叶级数或傅里叶变换，对信号进行变换（分 解），以频率为独立变量建立信号幅值、相位与频率的 函数关系。

Ø 频谱图：以频率为横坐标的幅值、相位变化图。

l 幅值谱：幅值-频率图 l 相位谱：相位-频率图Ø 频域描述抽取信号内在的频率组成及其幅值和相角的大 小，描述更简练、深刻、方便。

信号时域与频域描述的关系Ø 时域描述与频域描述是等价的，可以相互转换， 两者蕴涵的信息相同；Ø 时域描述与频域描述各有用武之地； Ø 将信号从时域转换到频域称为频谱(specrtrum)分析； Ø 采用频谱图描述信号，需要同时给出幅值谱(amplitudespectrun)和相位谱(phase spectrum)。

3.2.1 时域信号的合成与分解1.稳态分量与交变分量； 2.偶分量与奇分量； 3.实部分量与虚部分量； 4.正交函数分量3.2.2 信号的统计特征参数常用统计参数：均值、均方值和方差。

均值(mean)反映信号的静态分量，即常值分量： xlimT 1 TTx(t)dt0均方值(mean square)反映信号的能量或强度： 2 xlimT 1 TT x2 (t)dt0三者关系方差(Variance)反映信号偏离均值的波动情况： 2 xlimT 1 TT 0[ x(t )x ]2 dt2 x2 x2 x2 x2 x3.3 信号的频域描述3.3.1 周期信号的频域描述（1）三角函数展开式 （傅里叶级数法）狄里赫利（Dirichet）条件： p信号（函数）在一个周期内，若存在间断点，则间断点的数 目为有限个。

p信号（函数）在一个周期内，极大值和极小值数目为有限个。

p信号（函数）在一个周期内满足绝对可积条件：t0 T | x(t) | dt t0则可以展开为基础频率， 简称基频 x (t ) a 0 (a n cos n 0t bn sin n 0t ) n 1其中 a01 T0T0 / 2 T0 / 2x(t)dt an 2 T0T0 / 2 T0 / 2x(t) cos n0tdt bn 2 T0T0 / 2 T0 / 2x(t) sin n0tdt傅里叶系数进一步，可以改写为 x(t) A0 An sin(n0t n) n1 A0 A1 sin(0t 1) A2 sin(20t 2) A3 sin(30t n) 式中 AnA0 a0 an2 bn2narctanan bnAn 信号的幅值谱n 信号的相位谱u 两者合称信号的频谱例：求方波信号的频域描述（傅里叶级数法）x(t) x(t nT0 ), n 1, 2, 3, x(t)A A(0 t T0 2) (T0 2 t 0)x(t)…T0T022…T00T0t解：由傅里叶变换定义有：a01 T0T02 T0x(t )dt02X(t)为奇函数 bn2 T0T02 T0x(t )sinn0tdt2 an 2 T0T0 /2 T0 /2x(t) cos n0tdt=0 2 T0 0T0 ( A) sin n0tdt 2T02 0A sin n0tdt 0 T02A T0 cos n n00t T0 2 cos n0 n0t 2 0 2An0T 1 cos n0T02 cos n0T02 14An0T 1 cos n0T02 4 A nπ 0(n 1, 3, 5,) (n 2, 4, 6,)x(t)4A π sin 0 t1 3sin30t1 5sin50t 4A π n01 2n sin(2n 11)0t，02π T0A()4A 0 04A 3 4A530 50 ()/20 030 50 幅值谱相位谱x(t)所合成的方波信号0周期方波信号的合成T0 t周期方波信号的时、频域描述（2）复指数展开式欧拉公式e jn 0t cos n 0t j sin n 0tcosn 0t1 2(e jn0te jn0t )sinn 0tj (e jn0t 2 e jn0t )所以： x(t) a0 (an cos n0t bn sin n0t) n1x(t) a0 n 1[1 2(anjbn )e jn0t1 2(anjbn )e jn0t ]令： x(t) C0 (Cne jn0t Cne jn0t ) Cnejn0tn1n其中： C0a01 T0T0 /2 x(t)dtT0 / 2 Cnan jbn 21 T0T0 /2 x(t)e jn0t dtT0 / 2 Cnan jbn 21 T0T0 /2 x(t)e jn0t dtT0 /2故用统一的公式描述傅里叶级数的复数形式为： Cn1 T0T0 /2 x(t )e jn0t dtT0 / 2(n=0,±1,±2,…） x(t ) C e jnw0t nn按实频谱和虚频谱形式Cn Re Cn j Im Cn Cn e jn幅频谱和相频谱形式Cn (Re Cn )2 (Im Cn )2 n arctanIm C n Re C nCn Cn , n n幅频谱图：| Cn | - 实频谱图： CnR - 虚频谱图： CnI - 相频谱图： n - 例：画出余弦、正弦函数的实频及虚频谱图。

解：cos 0t1 (e j 0t 2 e j0t )C-1 = 1/2，C1 = 1/2，Cn = 0（n=0, 2, 3, …）sin 0tj (e j0t 2 e j0t )C-1 = j/2，C1 = -j /2，Cn = 0（n = 0, 2, 3, … ）1/2-0x(t)=cos0t10 CnRt 1/200CnI-000|Cn|1/21/2-000双边幅频谱An 100单边幅频谱x(t)=sin0t10tCnR-0001/2-01/2CnI00 |Cn|-1/21/2-000双边幅频谱An 100单边幅频谱几点结论l 复指数函数形式的频谱为双边谱（ 从 - 到 +）， 三角函数形式的频谱为单边谱（ 从 0 到 +）。

l 两种频谱各谐波幅值之间存在如下关系：Cn An / 2, C0 a0l 双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数Cn Cn , n nl 一般周期函数的复指数傅里叶展开式的实频谱 总是偶对称的，虚频谱总是奇对称的。

综上所述，周期信号频谱的特点如下：• 周期信号的频谱是离散谱； • 每个谱线只出现在基波频率的整数倍上，基波频率是诸分量频率的公约数；• 复杂周期信号展开成傅里叶级数后，在频域上是无限的。

工程上常见的周期信号，其谐波幅值随谐波次 数的增高而减小 在频谱分析中没有必要取次数过高 的谐波分量。

3.3.2 非周期信号的频域描述• 频率之比为有理数的多个谐波分量，其叠加后由于有 公共周期，是周期信号。