2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1所成角为60的面对角线 D1 有 条 C1
A1 B1
D A B
C
3.已知不共面的三直线a，b，c相交于点O，M，P是a上两点， N，Q分别在b，c上 ．求证：MN，PQ异面.
证明：法一：（反证法） 假设PQ和MN共面，所确定的平面为β， 那么点P、Q、M、N都在平面β内， ∴ PM ⊂ β 即a ⊂ β ∴ O∈平面β ∴直线OQ、ON都在平面β内,即直线b、c 都在平面β内 ∴直线a、b、c都在平面β内，与已知条件 a、b、c不共面矛盾， 假设不成立，∴AD和BC是异面直线．
3、下列命题中，其中正确的是
（１）若两条直线没有公共点，则这两条直线互相平行 （２）若两条直线都和第三条直线相交，那么这两条直线互相平行 （３）若两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线互相平行
（４）若两条直线都和第三条直线异面，那么这两条直线互相平行
4. 若两直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系 _________． 5. 直线a和b分别是长方体的两个相邻的面的对角线所 在直线，则a和b的位置关系是_________． 6．如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，∠AOB＝40，则 ∠A1O1B1＝ ．
M O
P
a c
Q
N b

法二：（判定定理）∵a∩c=O，∴它们确定一个平面， 设为β ，由已知N∉平面β ，M∈平面β ， PQ⊂平面β ，M∉PQ， ∴PQ和MN是异面直线．
4.如图在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中 点． ①求证：四边形ABCD是平行四边形； ②若AC＝BD，求证：四边形ABCD是菱形； ③当AC与BD满足什么条件时，四边形ABCD是正方形? A E
B

l
n m

n m

n


m
对于异面直线，如何判定，又如何进一步刻画呢？
空间里,不在同一个平面上的四个点两两相连, A 就是空间四边形
在空间四边形中，各边所在直线 异面的共有几对？
B
D C
练习：
用反证法证明：空间四边形ABCD的对角线AC，BD是异面直线 ．
例1．求证过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线 是异面直线． A
M O
P
a c
Q
N b

法二：（判定定理）∵a∩c=O，∴它们确定一个平面， 设为β ，由已知N∉平面β ，M∈平面β ， PQ⊂平面β ，M∉PQ， ∴PQ和MN是异面直线．
小结：异面直线的判定： ① 利用定义；
② 判定定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面 内不经过 该点的直线是异面直线． 符号表示：若A，B，Bl，l，则直线AB与l是 异面直线． —— 两点一线一面
(3)A1B与B1D1．
D1 A1 B1
转化为平面角
C1
D A 主要步骤：①构造平面角； ②证明； ③求角计算．
C
O
B
异面直线所成角的求法
（4）BD1与AC2D1来自C1 B1A1
E
D o A B
C
（4）BD1与AC
异面直线所成角的求法
2
补形法
D1 B1 C1
A1 D A
C B
练习．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别为所在棱 的中点，求下列各对异面直线所成的角． (1)EF与MN； (2)EF与BD1． D1 C1 A1 P N C M B1 L * 中位线
练习：
１、一条直线与两条异面直线中的一条相交， 那么它与另一条之间的位置关系是（ D）
Ａ、平行 Ｂ、相交 Ｃ、异面 Ｄ、可能平行、可能相交、可能异面 ２、两条异面直线指的是（ D ） Ａ、没有公共点的两条直线 Ｂ、分别位于两个不同平面的两条直线 Ｃ、某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线 Ｄ、不同在任何一个平面内的两条直线
a
α O
a1
为了简便，点O常取在两条异面直线中的一条上。
3、特例： 如果两条异面直线所成的角是直角，就说这两 条异面直线互相垂直。 O α 相交垂直（有垂足）
垂直 异面垂直（无垂足） α 因此，异面直线所成角的范围是（0， 2 ]

O
思考：异面直线所成角的大小与点O的位置 选取有关吗？为什么？
空间内O点“任取”，说明角的大小与点O的位置选取无关， 只由两直线的相对位置所确定；
证明：法一：（反证法） 假设PQ和MN共面，所确定的平面为β， 那么点P、Q、M、N都在平面β内， ∴ PM ⊂ β 即a ⊂ β ∴ O∈平面β ∴直线OQ、ON都在平面β内,即直线b、c 都在平面β内 ∴直线a、b、c都在平面β内，与已知条件 a、b、c不共面矛盾， 假设不成立，∴AD和BC是异面直线．
C1
解：（1）与直线BA1成异 面直线有AD、CD、B1C1、 C 1D 1 、 C 1C 、 D 1D （2）∵B1B∥C1C
A
D B
C
∴∠A1B1B是异面直线BA1和CC1所成的角
易求得所成的角为 45

例2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列各对异面直线所成的角 (1)AC与B1D1； (2)AC与BC1 (3)A1B与B1D1． （4）BD1与AC
已知：A，B，Bl，l．
求证：直线AB 和l是异面直线．
B
l

定理：过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不经过该点的直线是 异面直线．
符号表示：若A，B，Bl， l，
则直线AB与l是异面直线．
—— 两点一线一面 判定两条直线是异面直线的常用方法： 反证法．
3.已知不共面的三直线a，b，c相交于点O，M，P是a上两点， N，Q分别在b，c上 ．求证：MN，PQ异面.
小结：
1．异面直线的判定． ① 利用定义； ② 判定定理：若A，B，Bl，l，则直线AB与l是异面直线． —— 两点一线一面 ③ 常用方法：反证法．
2．异面直线所成的角．
练习： 1.指出下列命题是否正确，并说明理由. ①过直线外一点可作无数条直线与已知直线成异面直线. ②过直线外一点只有一条直线与已知直线垂直. ③若a∥b，c⊥a则b⊥c． ④若c⊥a，b⊥c则a∥b． ⑤分别与两条异面直线a，b都相交的两条直线c，d一定异面.
H D
B
F C
G
③ 常用方法：反证法．
定量 异面直线所成的角
一、异面直线所成角的定义：
1.直线a、b是异面直线。经过空间任意一点O，分 别作直线a1∥a，b1∥b。我们把直线a1和b1所成的 锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。
2.异面直线a和b所成的角的范围： 0 90o
b b b1 θ O α a
复习回顾：
1．空间两直线的位置关系．
位置关系
相交
共面情况
在同一平面内 不同在任一平面内
公共点个数
有且只有一个 没有
平行
异面
2．平行公理． 3．空间等角定理．
4．异面直线
4.1定义．
空间内不同在任一平面内的两条直线叫异面直线．(不平行也 不相交)．
4.2异面直线的画法
画异面直线一定要依托于平面． A
a，b相交，将异面直线转化为平面内两相交直线 所成的角进行度量，立体问题平面化；
找异面直线所成的角的关键是什么？
b a
b O a a

平移转化为平面角
四、例题分析：
例1.如图，在正方体中，（1）哪些棱所在的直线与直线 BA1成异面直线？（2）求直线BA1和CC1所成的角的大小。
D1 A1 B1
(2)证明它符合定义；
(3)计算。
根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角, 就是要将其变换成相交直线所成的角。其方法为：
平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用“平
移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。 具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线， 构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。
D A
O
E
B
F
例2．空间四边形ABCD中，E，F分别是对角线BD，AC的中点， (1)若BC＝AD＝2EF，求直线EF与AD所成角的大小． (2)若AB＝8，CD＝6，EF＝5，求AB与CD所成角的大小． A
F E
D
B
C
求异面直线所成的角的一般步骤是：
(1)找出或作出有关的图形；
[即：一证二作三求]
D1 A1 B1
C1
D A 主要步骤：①构造平面角； ②证明； ③求角计算．
C
O
B
新课讲解：
D1 A1
异面直线所成角的求法
例2.已知ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体 (2) BC1和AC
C1 B1
D A B
C
例2．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求下列各对异面直线所成的角