一. 异面直线所成角的求法1、正确理解概念（1）在异面直线所成角的定义中，空间中的点O 是任意选取的，异面直线a 和b 所成角的大小，与点O 的位置无关。

（2）异面直线所成角的取值范围是（0°，]90︒ 2、熟练掌握求法（1）求异面直线所成角的思路是：通过平移把空间两异面直线转化为同一平面内的相交直线，进而利用平面几何知识求解，整个求解过程可概括为：一作二证三计算。

（2）求异面直线所成角的步骤：①选择适当的点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线，这里的点通常选择特殊点。

②求相交直线所成的角，通常是在相应的三角形中进行计算。

③因为异面直线所成的角θ的范围是0°＜θ≤90°，所以在三角形中求的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角。

3、“补形法”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用“补形法”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。

例1如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线B 1E 与GF 所成角的余弦是 。

EF1A 1B 1C 1D ABCDGEF1A 1B 1C 1D ABCD G例2已知S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ， 且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点． 求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值．例3长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若AB=BC=3，AA 1=4，求异面直线B 1D 与BC 1所成角的大小。

B M ANC SB M ANCSB M ANCS例4如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于_____．练习：1.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是( )31032()()()()21055A B C D2.如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱(三侧面为矩形)，∠BCA=90°，点D 1、F 1 分别是A 1B 1、A 1C 1的中点若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( ) 3013015()()()()1021510A B C D 3.正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与AC(A)相交且垂直 (B)相交但不垂直 (C)异面且垂直 (D)异面但不垂直 4.设a 、b 、c 是空间中的三条直线，下面给出四个命题： ①如果a ⊥b 、b ⊥c ，则a ∥c ；②如果a 和b 相交，b 和c 相交，则a 和c 也相交；③如果a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则a 、c 也是异面直线； ④如果a 和b 共面，b 和c 共面，则a 和c 也共面(第2题)F 1 ABC D 1 C 1A 1B 1B 1(第1题)A 1AB C 1D 1CD MNN MFEDCB A在上述四个命题中，真命题的个数是( )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1 (E)0 5.如果直线l 和n 是异面直线，那么和直线l 、n 都垂直的直线 (A)不一定存在 (B)总共只有一条 (C)总共可能有一条，也可能有两条 (D)有无穷多条6.如图，四面体SABC 的各棱长都相等，如果E 、F 分别为SC 、AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于(A)90° (B)60° (C)45° (D)30°7．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中， ① BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线； ③CN 与BM 成60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ） （A ）① ② ③ （B ）② ④ （C ）③ ④ （D ）② ③ ④8．如图，四面体ABCD 中，AC ⊥BD,且AC ＝4，BD ＝3，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，则求MN 和BD 所成角的正切值为 。

9．异面直线a 、b 成60°，过空间一点P 的直线c 与a 、b 成角都为60°，则这样的直线c 有 条。

10．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ） （A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°] （C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°]11.如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方形，M 、N 分别是BC 和A 1C 1的中点求MN 与AB 1所成角的余弦值。

12.如图，四面体ABCD 中，E 为AD 中点，若AC ＝CD ＝DA ＝8，AB ＝BD ＝5，BC ＝7，求BE 与AC 所成角的余弦值。

FAB CE S (第6题)A B CDM (第8题)N4 3 8A BCDE(第12题)785445 (第11题)MABC NC 1A 1B 1二.共面、共线、共点问题共点问题:证明线共点，就是要证明这些直线都过其中两条直线的交点．解决此类问题的一般方法是：先证其中两条直线交于一点，再证该点也在其他直线上． 共线问题:证明点共线，常常采用以下两种方法：①转化为证明这些点是某两个平面的公共点，然后根据公理3证得这些点都在这两个平面的交线上；②证明多点共线问题时，通常是过其中两点作一直线，然后证明其他的点都在这条直线上． 共面问题:证明空间的点、线共面问题，通常采用以下两种方法：①根据已知条件先确定一个平面，再证明其他点或直线也在这个平面内；②分别过某些点或直线作两个平面，证明这两个平面重合．1.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，F 为A 1A 的中点. 求证：（1）E 、C 、D 1、F 四点共面；（2）CE 、D 1F 、DA 三线共点。

2.如图，∥，，，，求证：、、AB CD AB B CD D AC E B E ααα===D 三点共线。

练习：1. 共点的四条直线最多能确定 个平面。

2. 空间四点中，若任意三点不共线，那么经过三点的平面有 个。

3. 已知平面αβαβ 平面，点、，点且，=∈∈∉=l A B C C l AB l R ，设过A 、B 、C 三点的平面为γ，则βγ 是（ ） A. 直线AC B. 直线BC C. 直线CR D. 以上全错4. 已知△ABC 三边AB 、BC 、CA 分别交平面α于P 、Q 、R ，求证：P 、Q 、R 共线。

A BC D A 1B 1C 1D 1 AB CD PQOA B C D A 1B 1C 1D 1 M NA B C DA 1B 1C 1D 1M NE FA BC D A 1B 1C 1D 1E FG 5. 如果△ABC 和△A 1B 1C 1不在同一平面内，且AA 1、BB 1、CC 1两两相交，求证：三直线AA 1、BB 1、CC 1交于一点。

三.平行问题1、“线//线”的证明： (1)平行四边形法： 如图,在正方体1111ABCD A B C D -中, 由11AB DC D C ,得四边形11ABC D 为平行四边形,于是11//BC AD ；(2)中位线法：如图,四棱锥的底面ABCD 为平行四边形,点Q 是PC 的中点,则由OQ 是△PAC 的中位线,得到OQ//PA ；(3)“线//面”平行法：如图,若11//B C 平面ABCD,过11B C 的平面交平面ABCD 于MN,则11//B C MN ；(4)“面//面”法：如图,若平面1111//A B C D 平面ABCD,平面α与平面1111A B C D 、平面ABCD 分别交于EF 、MN,则有EF // MN;(5)“平行线分线段成比例定理的推论”：平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）， 所得的对应线段成比例。

如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为面对角ABC DA B`C D E F ABC D AB`CD EFA BC DPQOA B C D A 1B 1C 1D 1 M NAB C D A 1B 1C 1D 1MN线D 1B 1，A 1B 上的动点，且D 1E= A 1F ，则111,D E A FEB FB= 111D E A EEB EG=又，故11A E A FEG FB=，所以EF//GB 。

2、“线//面”的证明： (1)“线//线”法：如图,Q 为PC 的中点，则//OQ AP ,所以//OQ 平面PAD ；(2)“面//面”法： 如图,若1111//A B C D 平面ABCD,直线MN 在平面1111A B C D ,则MN //平面ABCD ； 3、“面//面”的证明：“线//面”法：如图,在平面1111A B C D 上找到两条相交直线MN 、1MC 均平行于平面ABCD,则有平面1111A B C D //平面ABCD ；例题分析：1．αα//,//b a ，则a 与b 的位置关系（ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．以上情况均有可能2．a ，b 是两条不相交的直线，则过直线b 且平行于a 的平面（ ）A ．有且只有一个B ．至少有一个C ．至多有一个D ．以上答案都不对3、已知正方体ABCD-A`B`C`D`中，E ，F 分别是A`B`，B`C`的中点。

求证：EF ∥面AD`C 。

A 1 1E D 1C 1B 1DCBAA 11ED 1C 1B 1DCBA4、如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，E 、F 分别是AB, PC 的中点 ， 求证：EF ∥平面P AD ； 5. 如图，四棱锥P －ABCD 的底面是正方形，点E 、F 分别为棱AB 、PD 的中点。

求证：AF ∥平面PCE ；6、如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点，求证：1//A C 平面BDE 。

7. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，点E 是PD 的中点． 求证：PB ∥平面AEC ．E FBACDP C BD A P EFCB DA PEFEFB ACDPB 1A 1D 1C 1BA D CP Q_ P_ B_ A_ N_ M _ E_ D_ C _ P_ B_ A_ N_ M _ E_ D_ C _ P_ B_ A_ N_ M _ E_ D_ C B 1A 1D 1C 1BA DCPQ8．已知正四棱锥P —ABCD ，M 、N 分别是P A 、BD 上的点，且PM ∶MA =BN ∶ND =5∶8，求证：直线MN ∥平面PBC ；9、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1，P 、Q 分别是正方形AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心。