6．函数的单调性黄文辉学习目标1．理解函数的单调性，体会怎样由图象语言、文字语言的自然描述转化到数学符号语言描述函数的单调性．2．能差别或证明一些简单的单调性．3．能够通过图象来判断单调性和单调区间．4．理解最大（小）值及其几何意义．5．掌握一次、二次函数、反比例函数的单调性．一、夯实基础基础梳理2．单调性与单调区间如果函数()y f x=在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数()y f x=在这一区间具有单调性，区间D叫做()y f x=的__________．3．题型分析（1）用定义证明（判断）函数的单调性；（2）求函数的单调区间；（3）利用函数的单调性求参数的取值范围．基础达标1．给出函数：①()1f x ax=+；②1()f xx=-；③2()(1)f x a x=+；④2()23f x x x=+-，[]02x∈，，其中在其定义域上是增函数的函数的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．32．已知函数()y f x=满足条件：(2)(1)(1)(0)f f f f->--<，，则关于这一函数正确的说法是（）A ．函数()y f x =在区间[]21--，上单调递减，在区间[]10-，上单调递增 B ．函数()y f x =在区间[]21--，上单调递减，在区间[]10-，上单调递减 C ．函数()y f x =在区间[]20-，上的最小值是(1)f - D ．函数()y f x =在区间[]21--，上一定不单调递增，在区间[]10-，上一定不单递减 3．函数()f x 是定义在R 上单调递减函数，且过点(32)-，和(12)-，，根据函数()f x 的图象，可以得知不等式()2f x <的解集是（ ） A ．(3)-+∞，B ．(31)-，C ．(1]-∞，D ．()-∞+∞，4．解决下列问题：（1）函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间[4)+∞，上是增函数，则实数a 的取值范围是__________．（2）根据函数265y x x =-+的图象，写出其单调递增区间是__________． （3）根据函数121y x x x =+-+-的图象，写出其单调递减区间是__________． 5．根据最大值的定义，证明1()f x x x=+((0))x ∈-∞，的最大值为2-，写出取最大值时的x ． 二、学习指引自主探究1．下列函数哪几个函数在给定的区间内任意取两个自变量12x x ，，当12x x <时，都有12()()f x f x <？（1）y x =，(12]x ∈-，； （2）2[0)y x x =∈+∞，，； （3）3y x=-，(0)x ∈-∞，； （4）310()20x x y x x x +⎧=∈-∞+∞⎨+>⎩，，，，≤； （5）3(15)y x x=∈，，； （6）23020x x y x x ⎧+=⎨-+>⎩，，，≤()x ∈-∞+∞，．2．（1）根据函数单调性定义，在观察函数的图象基础上，请写出一次函数(0)y kx b k =+≠、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠有的单调区间．（2）证明2y ax bx c =++(0)a >在区间2b a ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，上单调递减．3．若函数()f x 在区间[]12-，上单调递增且在区间[3，4]上也单调递增，我们能否说[-1，2][3，4]是函数()f x 的递增区间？我们能否说反比例函数3y x=-在定义域(0)(0)-∞+∞，，上单调递增，为什么？4．仔细阅读、理解和记忆教材上的函数单调性的定义，判断下列说法是否正确； （1）若定义在R 上的函数()f x 满足(2)(3)f f <，则函数()f x 是R 上的增函数； （2）若定义在R 上的函数()f x 满足(2)(3)f f <，则函数()f x 是R 上不是减函数； （3）若函数()f x 在()a b ，和[)b c ，上都是增函数，则函数()f x 在()a c ，上是增函数； （4）若函数()f x 在(]a b ，和[)b c ，上都是增函数，则函数()f x 在()a c ，上是增函数； 5．函数()f x 在给定区间上单调递增时，其图象有不同的形态，观察下列三个函数的图象，随x 的增大而增大速度最快的是哪一个，你是如何判断的？（1）（2）（3）6．关于函数的最大（小）值，下列哪些说法是正确的？（1）定义在R 上的函数()y f x =满足对任意的x ∈R ，都有()6f x ≤，则()f x 有最大值6． （2）如果函数()y f x =在给定区间上的图象是连续不断的一条曲线，那么()f x 一定有最大（小）值． 7．思维拓展：已知函数()f x 的定义域是F ，函数()g x 的定义域是G ，对于任意的x G ∈，()g x F ∈． （1）试根据下列条件，用“单调增函数”、 “单调减函数”填空：（1）你能否说出函数()()f x g x ，的单调性与函数[]()f g x 的单调性有何内在的联系？写出[]()f g x 的单调区间．在判断[]()f g x 的单调区间时需要注意哪些问题？（3）请选择表格中的一个结论进行论证．案例分析1．下列函数中，在(0)-∞，上为减函数的是（ ） A ．21y x =-B ．22y x x =+C ．(2)y x x =-D ．3y x=-【答案】C ．【解析】注意到函数21y x =-是以0x =为对称轴的开口向下的抛物线，在(0)-∞，上为增函数；222(1)1y x x x =+=+-是以1x =-为对称轴的开口向上的抛物线，在(1]-∞-，上是减函数，在[1)-+∞，上是减函数；(2)y x x =-是以1x =为对称轴的开口向上的抛物线，在(1]-∞，上是减函数，在[1)+∞，上是减函数；3y x=-的图象是出现在第2和第4象限的两支双曲线，在(0)-∞，上单调递增． 2．画出下列函数图象，并写出相应函数的单调区间．（1）22y x =+；（2）210()220.x x f x x x ⎧+=⎨-+>⎩，，，≤【解析】（1）（图略）函数22y x =-+的单调增区间为(0)-∞，，单调减区间为（0+∞，）； （2）如图，函数210()220x x f x x x ⎧+=⎨-+>⎩，，，≤在实数集R 上是减函数．3．（1）根据最小值的定义，证明1()f x x x=+((0))x ∈+∞，的最小值为2，写出取最小值时的x ．（2）判断1()f x x x=+（(01]x ∈，）的单调性，并求函数的最大值和最小值． 【解析】（1）任取(0)x ∈+∞，，则22111()22(21)(1)0f x x x x x x x x-=+-=-+=-≥（当且仅当1x =时取等号）． 由于(1)2f =，所以21()(1)(1)0f x f x x-=-≥，即()(1)f x f ≥． 所以，当1x =时，()f x 的最小值是(1)2f =．（2）任取12(01]x x ∈，，，且12x x < 设元21212111()()f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 求差=212111()x x x x ⎛⎫-+-⎪⎝⎭变形 212112211212()()(1)()x x x x x x x x x x x x --⋅-=--=， 由12(01)x x ∈，，，且12x x <，得2121010x x x x ->-<，， 断号 所以21()()0f x f x -<，即12()()f x f x >，故1()f x x x=+在区间(01]，上是减函数． 结论 所以，当1x =时，()f x 有最小值2；()f x 没有最大值．三、能力提升 能力闯关1．函数()y f x =是定义在R 上的减函数，()y g x =是定义在R 上的增函数，则下列函数中在R 上一定是增函数的是（ ） A ．()()y g x f x =- B ．()()y f x g x =- C ．()()y f x g x =D ．()()g x y f x =2．解决下列问题：（1）设函数()f x 是定义(11)-，上的减函数，若(1)(23)f a f a ->-，求实数a 的取值范围． （2）已知()f x 是定义在实数集R 上的增函数，若0a b +>（R a b ∈、），能否确定()()f a f b +与()()f a f b -+-的大小关系？若能，试比较它们的大小；若不能，请说明理由．3．求证：函数()f x x =在R 上是单调减函数．拓展迁移4．已知函数()(0)af x x x a x=+≠∈R ，．若()f x 在区间[2)+∞，是增函数，求实数a 的取值范围． 5．设定义在R 上的函数()f x 对于任意x y ，都有()()()f x y f x f y +=+成立，且(1)2f =-，当0x >时，()0f x <．（1）判断()f x 的单调性，并加以证明；（2）试问：当33x -≤≤时，()f x 是否有最值？如果有，求出最值；如果没有，说明理由．挑战极限6．设函数()f x 的定义域为(0)+∞，，当(0)x ∈+∞，时，恒有(())2f f x x =成立，且对任意210x x >>，恒有2121()()1f x f x x x ->-，求证：（1）()f x 为增函数；（2）()f x x >；（3）4()332f x x <<． （3）由（2）得(())()()01()f f x f x f x x f x x->>∴>-，， 课程小结1．高中学习函数单调性知识，是一个逐步提高认识的过程，随着高二导数知识的介入，我们研究函数单调性的方法和手法也会变得灵活多样．高一时期学习函数单调性知识，应注意体会由图象语言、文字语言的自然描述转化到数学符号语言描述函数的单调性．2．单调性是函数的局部性质，在定义域的不同区间，单调性可能不同．3．在函数单调性的定义中，要特别强调12x x ，的“任意”这个词．由此可知，若要说明函数()f x 在某个区间上不是．．单调增（减）函数，只要在该区间上，找到两个值12x x ，，当12x x <，有12()()f x f x ≥（12()()f x f x ≤）成立，即可说明该区间不是函数的增（减）区间．4．证明函数在给定区间上的单调性的方法与步骤：设元，求差，变形，断号，定论． 5．数学学习程度比较好的同学研究下列问题：（1）若()()f x g x ，在同一区间上都是单调增函数，那么函数()()()()f x g x f x g x +，在此区间上是否一定是单调增函数．（2）函数()()f x g x ，的单调性与复合函数[]()f g x 的单调性有何内在关系．6．认真理解函数的最大（小）值的定义，求函数的最大（小）值的基本思路是研究函数的单调性． 想一想每一个函数都是单调函数吗？6．函数的单调性基础梳理1．任意，，，上升，下降．2．单调区间．基础达标1．．．．．．【解析】仅③④满足要求，这里要特别注意②在其定义域上不是增函数．2．．【解析】仅由几个函数值的大小关系无法确定函数的单调性，可以举反例说明．3．．【解析】根据题意画出函数示意图（如右图），不等式，从函数图象容易看出当且仅当时，．故所求解集为．4．【解析】（1）当且仅当对称轴，即时，函数在区间上是增函数，所以实数的取值范围是．（2）函数的图象如右图：单调递增区间是：．（3）其单调递减区间是：．5．【解析】（1）任取，则（当且仅当时取等号）．由于，所以，即．所以，当时，的最大值是．自主探究1．【解析】（1）（2）（3）（4）．2．【解析】（1）对于一次函数，当，函数在定义域上单调递增；当，函数在定义域上单调递减．对于一般的二次函数．分两种情况：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．（2）证明：任取，且，则，∵，，又，∴，即，∴，故二次函数，当时，函数在区间上单调递减．3．【解析】首先函数的单调性是针对定义域内某个区间而方的，离开取值区间来谈论函数单调性是没有意义的，其次区间必须是某一连续取值范围，不能有取值间断点，所以不是区间，更加不能作为单调区间，再其次函数在区间上单调递增且在区间上也单调递增，也不能保证函数在上随着的增大，相应的也一定增大（如图所示），综上各种理由，我们不能说是函数的递增区间．显然我们也不能说反比例函数在定义域上单调递增，原因是但．4．【解析】（1）是错误的，我们不能根据有限个点来判断函数增减性，这里应深刻理解函数单调性定义中的“任意的两个自变量”的意义．（2）是正确的．（3）是错误的，如右图所示；（4）是正确的，可用定义严格证明．5．【解析】（3）速度最快，在图象上任取两点根据来比较即可．6．【解析】均不对，对于（1）可能不存在，例如，但不能说的最小值是．对于（2）在开区间既没有最大值，又没有最小值．7．思维拓展：【解析】（1）答案分别是：单调增函数、单调减函数、单调增函数、单调减函数．（2）“同增异减”．的单调区间是．在判断的单调区间时需要注意是否有“对于任意的”．（3）已知：函数在定义域内为减函数，在定义域内为减函数，对于任意的，．求证：在内为增函数．证明：设，且，∵在定义域内为减函数，∴，且．∵在定义域内为减函数，，，∴，∴在内为增函数．能力闯关1．．【解析】由定义可以断定，举反例也能排除．2．【解析】（1）由函数是定义上的减函数，及，得到所以实数的取值范围是．（2）能，证明如下：由已知，所以。