初中数学竞赛第二轮专题复习（4)几何1、如图,D ，E 分别为∆ＡB Ｃ的边ＡB ，ＡC 上的点,且不与∆A ＢC 的顶点重合.已知ＡE 的长为m,AC 的长为n,A Ｄ,ＡＢ的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．(Ⅰ)证明：C ，B,D,E 四点共圆;(Ⅱ)若∠A=9０°，且m=4， n=６,求C,B ，D,E 所在圆的半径．解:(Ⅰ)连接DE,根据题意在△ADE 和△ＡCB 中，A Ｄ×A Ｂ=mn=A Ｅ×A Ｃ，即AD AE AC AB=． 又∠DAE=∠CAB ，从而△ADE ∽△ACB因此∠AD Ｅ=∠A ＣB ，所以C ， B, D, E 四点共圆．(Ⅱ)ｍ＝4, n ＝6时,方程ｘ2-14x ＋mn=０的两根为ｘ1＝２,x 2＝12.故AD ＝2，ＡB ＝1２.取CE 的中点G ，DB 的中点F,分别过Ｇ，F 作AC ，AB的垂线,两垂线相交于Ｈ点,连接ＤH ．因为C ， B ， Ｄ, E 四点共圆,所以Ｃ， B ， Ｄ, E 四点所在圆的圆 心为H,半径为DH.由于∠Ａ＝９０°，故ＧＨ∥AB,H Ｆ∥AC ．H Ｆ＝AG=5,D Ｆ=12(12-２)=5. 故C,B,D,Ｅ四点所在圆的半径为．2、在等腰∆AB Ｃ中,顶角∠AC Ｂ＝80°,过A ， Ｂ引两直线在∆ABC 内交于一点Ｏ．若∠O ＡB=１0°, ∠ＯＢA=20°，求∠ACO 的大小，并证明你的结论.解:60ACO ∠=︒（４分)以OA 为轴翻转OAB ∆到OAB '∆,连接,CB BB '',由10OAB ∠=︒知20BAB '∠=︒且AB AB '=,ABB '为等腰三角形，故80AB B ACB '∠=︒=∠，从而知,,,A B B C'四点共圆，再由20ABO ∠=︒知60OBB '∠=︒,BB O '∆为等边三角形．由四点共圆知100ACB '∠=︒，又30OBC B BC '∠=∠=︒，OB B B '=,BC 公共，故OBC B BC '∆≅∆．再由100ACB '∠=︒,80ACB ∠=︒，故20OCB ∠=︒,从而得证:60ACO ∠=︒. 答题要点:60ACO ∠=︒ 以OA 为轴翻转OAB ∆到OAB '∆，连接,CB BB ''①OBB '∆为正三角形;②,,,A B B C '四点共圆：因为80ACB AB B '∠=∠=︒20B CB B AB ''∠=∠=︒;③OBC B BC '∆≅∆,20B CB OCB '∠=∠=︒，再由80ACB ∠=︒，得证:60ACO ∠=︒． ３、如图，在△AB Ｃ中,∠A=60︒,ＡB ＞ＡC ，点O 是外心，两条高B Ｅ、ＣF 交于H 点．点M 、N 分别在线段B Ｈ、HF 上，且满足BM ＝CN ． 求OH NH MH +的值. 解:在ＢＥ上取BK=CH ，连接OB 、OC 、O Ｋ,由三角形外心的性质知 ∠ＢOC=2∠Ａ＝1２0°由三角形垂心的性质知 ∠ＢHC ＝180°-∠A=120°∴∠BOC ＝∠BH Ｃ ∴B 、C 、ＨO 四点共圆∴∠ＯB Ｈ＝∠OC Ｈ OB=ＯC BK=CH∴⊿B ＯK ≌⊿CO Ｈ∵ＢO Ｋ=∠BO Ｃ=120°，∠O ＫH=∠OHK=30°观察⊿OKH ， ︒=︒30sin 120sin OH KH ⇒KH ＝3OH 又∵BM=ＣN,ＢK ＝CH, ∴KM=NH∴MH+ＮH=ＭH ＋KM=KH=3OH ∴OHNH MH +=3. 4、如图,在凸四边形A ＢC Ｄ中，∠ABC=∠AD Ｃ，E ， F, Ｇ, H 分别为AB, BD, ＡD, CD 的中点．求证：(Ⅰ)Ｅ, F, G , H 四点共圆；（Ⅱ)∠AEF=∠ACB -∠A ＣD.证明:(Ⅰ)连结ＥG , ＥH ， F Ｇ， FH, G Ｈ,则FG//BA ， FH ／/B Ｃ，所以∠ＧＦH ＝∠ＡＢC ．又因为四边形DGE Ｈ为平行四边形，所以,∠ＧＥH=∠ADC ＝∠ABC=∠GF Ｈ.所以，E, F ， G , Ｈ四点共圆．(Ⅱ)因为E, F ， G ， Ｈ四点共圆，所以∠GEF=∠GH Ｆ＝∠AC Ｂ．又E Ｇ//ＣD ，所以∠AE Ｇ=∠ＡCD ．故∠AEF ＝∠GEF -∠ＡEG=∠ACB -∠ACD ．平面几何中的几个著名定理几何学起源于土地测量,几千年来，人们对几何学进行了深入的研究,现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论,这些结论一般就称为定理.平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外,还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，以至巧妙而简捷地解决不少问题.而这些定理的证明本身,给我们许多有价值的数学思想方法,对开阔眼界、活跃思维都颇为有益.有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美,使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受.下面我们来介绍一些著名的定理．1．梅内劳斯定理亚历山大里亚的梅内劳斯(Mｅneｌaus,约公元100年，他和斯巴达的Menelauｓ是两个人）曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理．定理一直线与△AＢC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z,则证过A，B，C分别作直线ＸZＹ的垂线,设垂足分别为Q,P,S，见图3－98．由△AＸＱ∽△BXP得同理将这三式相乘，得说明 (1）如果直线与△ＡBC的边都不相交,而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点,且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零,分子也出现零,这时定理的结论应改为ＡX×ＢY×ＣZ=XＢ×YC×ZA，仍然成立．(2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边AＢ和AC上分别取点X，Ｚ，在ＢC的延长线上取点Y，如果那么Ｘ，Y，Z共线”.梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线.例1 已知△ＡＢC的内角∠B和∠Ｃ的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D,求证：D，Ｅ，F共线．证如图3－99有相乘后得由梅内劳斯定理的逆定理得F，Ｄ，Ｅ共线．例２(戴沙格定理）在△ＡＢC和△A′B′C′中,若ＡＡ′,BＢ′,CC′相交于一点S，则ＡB与A′B′,BC与B′C′，AC与A′C′的交点F,Ｄ，E共线．证如图3-1０0,直线FA′B′截△ＳＡＢ,由梅内劳斯定理有同理，直线EC′A′和ＤC′B′分别截△ＳAC和△ＳBC,得将这三式相乘得所以D，Ｅ,Ｆ共线.2.塞瓦定理意大利数学家塞瓦(G．Cｅva）在１６78年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理．定理在△ABC内任取一点P,直线AP,ＢP，CＰ分别与边BＣ，CA,AＢ相交于Ｄ,E,F，则证如图3－101,过Ｂ，C分别作直线ＡP的垂线,设垂足为H和K，则由于△BHD∽△ＣＫD,所以同理可证将这三式相乘得说明(1)如果P点在△ＡBC外，同样可证得上述结论，但P点不能在直线AB,BＣ，CA上,否则，定理的结论中的分母出现零，分子也出现零,这时,定理的结论应改为ＢＤ×CE×AＦ=DC×ＥA×FB,仍然成立．(２)塞瓦定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边BC,CA,ＡB上分别取点D,E,Ｆ,如果那么直线ＡＤ，BＥ,CF相交于同一点．”证如图3－10２,设AD和ＢE相交于P，作直线CP，交直线AＢ于F′,由塞瓦定理得所以 F′Ｂ=ＦB，即Ｆ′与Ｆ重合,所以AD，BE，CＦ相交于同一点．塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点.例3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点.证 (１)如果D,E，F分别是△ＡＢＣ的边ＢＣ,CA,AB的中点，则由塞瓦定理的逆定理得中线AD，ＢE,CF共点．（2)如果D，E，F分别是△ABＣ的内角平分线ＡD，BＥ，CF与边BC，CA，AB的交点，则由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD,ＢＥ,CF共点.(３)设D,Ｅ,Ｆ分别是△ABC的高AD，BＥ，CF的垂足．（i)当△ＡBC是锐角三角形时(如图3－１03),D,E，F分别在BC，CA，AB上，有BD=cｃｏsB,ＤC=ｂｃｏsC,CE=ａcoｓc，EA=ccosA，AＦ=bcosA,FＢ＝aｃｏsＢ，所以由塞瓦定理的逆定理得高AD,ＢE,CF共点.(ｉi)当△ABC是钝角三角形时，有BD＝ｃcｏsB,DＣ=bcｏsC,CE=ａｃosＣ，ＥA=ccos(１8０°-A)=-cｃosA,AF=bcos（180°-A)=－bcosA,FＢ=ａcosB,所以由塞瓦定理的逆定理，得高AＤ,BE,CF共点.(iii)当△ＡBC是直角三角形时，高AＤ,BE，CF都经过直角顶点，所以它们共点．例4 在三角形ABC的边上向外作正方形,A1，B１，C1是正方形的边BC,CA，ＡB的对边的中点,证明:直线AA１，ＢB1，CC1相交于一点.证如图3－１04．设直线ＡA1,BB１，CC1与边BC，ＣA,ＡB的交点分别为A2,B2，C2,那么ＢA２：Ａ2Ｃ等于从点B和C到边AA１的垂线的长度之比,即其中∠θ＝∠CBＡ1＝∠BCA1．同理将上述三式相乘得根据塞瓦定理的逆定理，得AA1,BB1，CC1共点．3.斯台沃特定理定理△AＢＣ的边BＣ上任取一点D,若BD=u,DC＝v,AＤ=t，则证过Ａ作AE⊥BＣ,Ｅ为垂足(如图3－1０5),设ＤE＝x，则有AE2＝b2-（ｖ－ｘ)２＝c2-(ｕ+ｘ)２=t２-x2,(若E在BC的延长线上,则v-x换成x-ｖ.)于是得消去x得(u+ｖ)２=b2ｕ+ｃ２v-ｕv(ｕ+v)，这就是中线长公式．(2)当ＡD是△ＡＢC的内角平分线时，由三角形的内角平分线的性质设a+b+c＝2ｐ,得这就是内角平分线长公式．(3)当ＡD是△ＡBC的高时,ＡD2＝b2-u2=c2-v２．再由ｕ+v=a，解得所以若设AD=h a,则这就是三角形的高线长公式．当Ｄ在ＢＣ的延长线上时，用－v代替v，同样可得高线长线公式.这就是三角形的面积公式．伦公式例5 如图3-１0６．在△ＡBC中,ｃ>b,AD是△ＡＢC的角平分线,E 在BC上，BＥ＝ＣD．求证:ＡE2-AD2=(ｃ-b)２．证为方便起见,设BD=u，ＤＣ=v,则ＢE=ｖ，EC=u.由斯台沃特定理得所以因为AD是角平分线，所以于是4.托勒密定理托勒密(Ptolemy,约公元8５～165年)是古代天文学的集大成者.一般几何教科书中的“托勒密定理”（圆内接四边形的对边积之和等于对角线之积），实出自依巴谷(Hipparｃhｕs)之手,托勒密只是从他的书中摘出。