初中数学竞赛几何试题
并证明你的结论.
解法 1:结论是 DF EG .下面给出证明.
因为 FCD EAB ,所以 Rt△FCD ∽ Rt△EAB.于是可得
DF
BE
CD AB
.同理可得
EG
AD
CE AB
.
又因为
tan
ACB
AD CD
BE CE
,所以有
BE
CD
AD
CE
,
于是可得 DF EG .
代入 a2 bb c ,得 n 12 n 12n 1 ,解得 n 5 ,有 a 6 , b 4 , c 5 ;
(ⅱ)当 c a b 时,设 c n 1, a n , b n 1( n 为大于 1 的正整数),
代入 a2 bb c ,得 n2 n 1 2n ,
( p a)( p b)( p c) p
易知: CD
p
c ,在 RtCIE 中, DE
r2 pc
即
DE
(
p
a)( p
p
b)
∴
CE
CD
DE
(
p
c)
(
p
a)( p
p
b)
ab p
又∵ CI EF ,CI平分ACB ,所以 CE=CF
பைடு நூலகம்
由 SABC SABG SBEG SAFG SFEC
解法 2:结论是 DF EG .下面给出证明 连接 DE,
因为 ADB AEB 90 ,所以 A,B,D,E 四点共圆,
故 CED ABC .
1
又 l 是⊙O 的过点 C 的切线,所以 ACG ABC .
所以, CED ACG ,于是 DE∥FG,故 DF=EG.
为△ ACD 的一个外角,所以 BAC 2D .由已知, BAC 2B ,所以
B D .所以△ CBD 为等腰三角形.
又 D 为△ ACD 与△ CBD 的一个公共角,有△ ACD ∽△ CBD ,于是
AD CD
CD BD
,
即
b a
b
a
c
,
所以
a2 bb c .
初中数学竞赛几何试题
1、如图,圆 O 与圆 D 相交于 A, B 两点, BC 为圆 D 的切线,点 C 在圆 O 上,且 AB BC .(1)证明: 点 O 在圆 D 的圆周上.(2)设△ ABC 的面积为 S ,求圆 D 的的半径 r 的最小值. 解 :(1)连 OA, OB, OC, AC ,因为 O 为圆心, AB BC ,
解得 n 2 ,有 a 2 , b 1, c 3 ,此时不能构成三角形; (ⅲ)当 a b c 时,设 a n 1, b n , c n 1( n 为大于 1 的正整数),
代入 a2 bb c ,得 n 12 n2n 1 ,即 n2 3n 1 0 ,此方程无整数解.
l2
y2
(a
x)2
y2
a2
2ax
x2
2a2
2ax
2a(a
x)
2aS y
.
因为 ABC 2OBA 2OAB BDO , AB BC , DB DO ,
所以△
BDO
∽△
ABC
,所以
BD AB
BO AC
,即
r l
a 2y
,故 r
al 2y
.
所以 r 2
所以,三边长恰为三个连续的正整数,且其中一个内角等于另一个内角的 2 倍的三角形存在,而且只 有三边长分别为 4,5,6 构成的三角形满足条件.
4、△ABC 的三边长 BC a, AC b, AB c, a,b,c 都是整数,且 a,b 的最大公约数是 2. 点 G
和点 I 分别为△ABC 的重心和内心,且 GIC 90o ,求△ABC 的周长.
解:如图,连结 GA,GB,过 G,I 作直线交 BC、AC 于点 E、F,作△ABC 的内切圆 I,切 BC 边于点 D。
记△ABC 的半周长为 P,内切圆半径为 r,BC,AC 边上的高线长为 ha , hb
2
SABC rp p( p a)( p b)( p c)
r
而 62 4 (4 5) ,所以此三角形满足题设条件,
故存在满足条件的三角形.
……………… 15 分
说明:满足条件的三角形是唯一的.
若 A 2B ,可得 a2 bb c .有如下三种情形:
(i)当 a c b 时,设 a n 1, c n , b n 1( n 为大于 1 的正整数),
3、是否存在一个三边长恰是三个连续正整数,且其中一个内角等于另一个内角 2 倍的△ABC?证明你的结
论.
解:存在满足条件的三角形.
当△ABC 的三边长分别为 a 6 , b 4 , c 5 时, A 2B .……………… 5 分 如图,当 A 2B 时,延长 BA 至点 D,使 AD AC b .连接 CD,则△ ACD 为等腰三角形.因为 BAC
所以△ OBA∽△ OBC ,从而 OBA OBC . 因为 OD AB, DB BC ,所以 DOB 90 OBA 90 OBC DBO ,
所以 DB DO ,因此点 O 在圆 D 的圆周上. (2)设圆 O 的半径为 a , BO 的延长线交 AC 于点 E ,易知 BE AC . 设 AC 2 y (0 y a) , OE x , AB l ,则 a2 x2 y2 , S y(a x) ,
a 2l 2 4y2
a2 4y2
2aS y
S 2
(
a y
)3
S 2
,即 r
2S 2,
其中等号当 a y 时成立,这时 AC 是圆 O 的直径.所以圆 D 的的半径 r 的最小值为
2S 2
.
2、如图,给定锐角三角形 ABC, BC CA ,AD,BE 是它的两条高,过点 C 作△ABC 的外接 圆的切线 l ,过点 D,E 分别作 l 的垂线,垂足分别为 F,G.试比较线段 DF 和 EG 的大小,
得:
SABC=
SABC 3
1 2
(a