二次函数中三角形面积问题
教案
教学目标：
1. 掌握在平面直角坐标系中求三角形面积的两种基本方法：直接法与割补法，会用割补法把一般位置的三角形转化为特殊位置的三角形；
2. 会把三角形面积问题转化为线段问题，把线段问题转化为点的坐标问题；
3. 提高运算能力、分析问题与解决问题的能力，养成良好的思维习惯，规范答题；
4. 体会数形结合、转化化归、函数建模等数学思想在解题中的应用。
教学重点：求三角形面积的两种基本方法：直接法与割补法及其应用。
教学难点：理解如何进行割补，并会进行有效的割（或补），把一般位置的三角形转化为特
殊位置的三角形，会表示所割（或补）三角形的底或高。
教学过程： 一、课前预习： 1、知识与方法回顾：
在平面直角坐标系中，求下列特殊位置三角形的面积:
高底三角形面积公式：⨯⨯=
∆2
1
ABC S 应用条件：有一条边在坐标轴上或者平行坐标轴（特殊位置三角形）。
解题方法：直接法，即以在坐标轴上或平行坐标轴的边为底边，过另一个顶点作高，然后用
三角形面积公式直接进行求解。
2、基础训练：
如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x 轴相交于点)0,1(),0,3(B A -，与y 轴相交于点)3,0(C ，过点C 作x CD //轴交抛物线于点D 。
（1）求该抛物线的解析式；
A B C
D
y x
图1
O C B A y
O x
y
O
x
B A
C
y
O x
B A
C
y
O
x B A
C
（2）连接AC 、BC ，求ABC ∆的面积；
注意事项：利用点的坐标求线段（底、高）长度时，要用大的减去小的，即在x 轴上或平行x 轴的线段长度等于右边点的横坐标减去左边点的横坐标，在y 轴上或平行y 轴的线段长度等于上面点的纵坐标减去下面点的纵坐标。
（3）如图2，点E （-4，-5）是抛物线上一点，求CDE ∆的面积。
解题基本思路：点（坐标）——线段（底、高）——面积
二、专题复习，能力提升： 1、知识归纳提升：
在平面直角坐标系中，求一般位置三角形的面积:
=∆ACP S ； =∆ACP S ； =∆ACP S ；=∆ACP S ；
教师引导学生完成，展示学生成果。
归纳小结：
①应用条件：三角形的边都不在坐标轴上，也不平行坐标轴。
②方法：割补法，即用割（或补）的方法把一般位置的三角形转化为特殊位置的三角形（预
习中有边在坐标轴上或平行坐标轴的三角形），然后用直接法求两个（或几个）三角形面积之和（或差）。
③
关键：怎么割，如何补，才能把一般位置的三角形转化为特殊位置的三角形。
2、提升训练（应用）：
（4）如图3，若点M 是抛物线的顶点，求ACM ∆的面积。
A
B
C
D
y x
图2
F
E
O
D
A C P
y x
O
A
C
P y x
O
D A
C P y x
O
D A
C
P
O
y
x
【思维教练】
①判断ACM ∆的形状，属于“一般位置三角形”，用“割补法”求面积； ②求相关点的坐标；
③求特殊位置三角形的底和高； ④求三角形面积。
学生自主完成，展示答案； 小结解题思路。
（5）如图4，若点P 是第二象限内该抛物线上的一动点，当点P 运动到什么位置时，ACP ∆的面积最大，求出此时点P 的坐标和ACP ∆的最大面积。
【思维教练】 （1）审题，思考：
①属于哪类三角形？用什么方法求面积？ （一般位置三角形，用割补法）
②如何分割目标三角形才有效？（通常“竖”着割） ③点P 是动点，坐标不知道，怎么办？（设）
④三角形面积S 与动点P 的横坐标t 存在什么关系？（函数关系） ⑤如何求三角形面积的最值？（二次函数性质） （2）学生解答，展示学生成果，小结解题思路。
解题基本思路：设点——求线——建模——求解.（点——线——面） 解题步骤：
（1）分割目标三角形，把“一般位置三角形”转化为“特殊位置三角形”； （2）设动点坐标（用含一个字母的式子表示）； （3）用代数式表示三角形的底或高； （4）建立函数关系式； （5）利用二次函数性质求最值。
体会数学思想：转化化归、数形结合、函数建模等数学思想。
三、巩固练习：
A
C
P
y x
图4
O
B
图3
O
y
x
A
M
C B
如图5，抛物线)0(22
3
2
≠--
=a x ax y 的图象与x 轴 交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，已知B 点坐标为（4,0）。
（1）求抛物线的解析式；
（2）点M 是线段BC 下方的抛物线上一点，求MBC ∆的
面积的最大值，并求出此时M 点的坐标。
学生先自主完成，然后展示答案。
四、课堂小结：
本节课你学到了什么？
五、板书设计：
专题复习：二次函数中三角形面积问题
六、课后作业：
①完成《试题研究》第134A 页的（3）、（4）、（5）小题； ②体会分类讨论思想在解题中的应用； ③思考：还有没有其它方法求三角形的面积。