专题01 规律探究题类型1：数字规律探究（2019·怀化中考）探索与发现：下面是用分数（数字表示面积）砌成的“分数墙”，则整面“分数墙”的总面积是_____．【答案】n -1【解析】由题意“分数墙”的总面积11112341234n n n=⨯+⨯+⨯++⨯=-L ， 故答案为1n -． 思路点拨此类问题解答时要关注对应位置上数字变化的规律，以总结出通项公式，并根据公式解决问题.巩固练习1、（2019·黄石中考真题）将被3整除余数为1的正整数，按照下列规律排成一个三角形数阵147101316192225283134374043L L L L则第20行第19个数是_____________________【答案】625【解析】由图可得，第一行1个数，第二行2个数，第三行3个数，…，则前20行的数字有：1+2+3+…+19+20=210个数，∴第20行第20个数是：1+3（210-1）=628， ∴第20行第19个数是：628-3=625， 故答案为：625．2、（2019·随州中考）若一个两位数十位、个位上的数字分别为,m n ，我们可将这个两位数记为mn ，易知10mn m n =+；同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如10010abc a b c =++．（基础训练） （1）解方程填空：①若2345x x +=，则x =______； ②若7826y y -=，则y =______； ③若9358131t t t +=，则t =______； （能力提升）（2）交换任意一个两位数mn 的个位数字与十位数字，可得到一个新数nm ，则mn nm +一定能被______整除，mn nm -一定能被______整除，mn nm mn •-+++6一定能被______整除；（请从大于5的整数中选择合适的数填空） （探索发现）（3）北京时间2019年4月10日21时，人类拍摄的首张黑洞照片问世，黑洞是一种引力极大的天体，连光都逃脱不了它的束缚．数学中也存在有趣的黑洞现象：任选一个三位数，要求个、十、百位的数字各不相同，把这个三位数的三个数字按大小重新排列，得出一个最大的数和一个最小的数，用得出的最大的数减去最小的数得到一个新数（例如若选的数为325，则用532-235=297），再将这个新数按上述方式重新排列，再相减，像这样运算若干次后一定会得到同一个重复出现的数，这个数称为“卡普雷卡尔黑洞数”． ①该“卡普雷卡尔黑洞数”为______；②设任选的三位数为abc （不妨设a b c >>），试说明其均可产生该黑洞数． 【答案】（1）①2．②4；③7；（2）11；9；10．；（3）①495；②495 【解析】(1)①∵10mn m n =+，∴若2345x x +=，则10210345x x ⨯+++=， ∴2x =， 故答案为：2；②若7826y y -=，则()10710826y y ⨯+-+=， 解得4y =， 故答案为：4；③由10010abc a b c =++及四位数的类似公式得 若9358131t t t +=，则10010931005108100011003101t t t +⨯++⨯++=⨯+⨯++， ∴100t=700， ∴7t =， 故答案为：7；(2)∵()1010111111mn nm m n n m m n m n +=+++=+=+， ∴则mn nm +一定能被 11整除，∵()()1010999mn nm m n n m m n m n -=+-+=-=-， ∴mn nm -一定能被9整除，∵()()•1010mn nm mn m n n m mn -=++-221001010mn m n mn mn =+++-()221010mn m n =++，∴•mn nm mn -一定能被10整除， 故答案为：11；9；10；(3)①若选的数为325，则用532-235=297，以下按照上述规则继续计算，972279693-=， 963369594-=， 954459495-=，954459495-=，故答案为：495；②当任选的三位数为abc 时，第一次运算后得：()()100101001099a b c c b a a c ++-++=-，结果为99的倍数，由于a b c >>，故12a b c ≥+≥+， ∴2a c -≥，又90a c ≥>≥， ∴9a c -≤，∴2a c -=，3，4，5，6，7，8，9，∴第一次运算后可能得到：198，297，396，495，594，693，792，891， 再让这些数字经过运算，分别可以得到：981189792-=，972279693-=，963369594-=，954459495-=，954459495-=…故都可以得到该黑洞数495．典例2：式的规律探究（2019·安徽中考模拟）观察下列等式：第1个等式：a 1＝111(1)1323=⨯-⨯ 第2个等式：a 2＝1111()35235=⨯-⨯ 第3个等式：a 3＝1111()57257=⨯-⨯ …请解答下列问题：（1）按以上规律列出第5个等式：a 5＝ ＝ ；（2）用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝ ＝ （n 为正整数）； （3）求a 1+a 2+a 3+…+a 2017的值．【答案】(1)1911⨯；1112911⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)()()12121n n -+；11122121n n ⎛⎫- ⎪-+⎝⎭(3)20174035 【解析】解：(1)观察下列等式： 第1个等式：a 1=11111323=-⨯（）第2个等式：a 2=111135235=-⨯（）第3个等式：a 3=111157257=-⨯（） 第4个等式：a 4=111179279（）=-⨯ …第5个等式：a 5=11119112911=-⨯（）故答案为1911⨯，1112911-（）；(2)由(1)知，：a n =()()11112n 12n 122n 12n 1=--⨯+-+（），故答案为()()12n 12n 1-⨯+，11122n 12n 1--+（）；(3)原式=113⨯+135⨯+157⨯+ (140334035)=12(1−13)+1 2(13−15)+1 2(15−17)+…+12(199−1101) =12×(1−13+13−15+15−17+…+14033−14035)=12×(1-14035)=20174035. 思路点拨此类问题往往和整式计算或分式计算将结合，解答时要关注对应位置上数字变化的规律，以总结出通项公式，并根据公式进行计算解决问题.巩固练习1、（2018·安徽中考真题）观察以下等式：第1个等式：101011212++⨯=， 第2个等式：111112323++⨯=，第3个等式：12121 3434++⨯=，第4个等式：13131 4545++⨯=，第5个等式：14141 5656++⨯=，……按照以上规律，解决下列问题：（1）写出第6个等式：；（2）写出你猜想的第n个等式：(用含n的等式表示)，并证明.【答案】（1）1515++=16767´；（2）1111++=111n nn n n n--⋅++，证明见解析.【解析】（1）观察可知第6个等式为：15151 6767++⨯=，故答案为15151 6767++⨯=；（2）猜想：1n-11n-11 n n1n n1++⨯=++，证明：左边=1n-11n-1n n1n n1++⨯++=n1n n-1n-1n n1++++（）（）=n n1n n1++（）（）=1，右边=1，∴左边=右边，∴原等式成立，∴第n个等式为：1n-11n-11 n n1n n1++⨯=++，故答案为1n-11n-11 n n1n n1++⨯=++.2、（2019·河北模拟）计算张老师在黑板上写了三个算式，希望同学们认真观察，发现规律．请你结合这些算式，解答下列问题：（1）请你再写出另外两个符合上述规律的算式；（2）验证规律：设两个连续奇数为2n+1，2n–1（其中n 为正整数），则它们的平方差是8的倍数； （3）拓展延伸：“两个连续偶数的平方差是8的倍数”，这个结论正确吗？请说明理由．【答案】（1）92−72=8×4；112−92=8×5（2）两个连续奇数的平方差是8的倍数（3）不正确 【解析】(1)观察所给式子：找出规律：92−72=8×4 112−92=8×5（2）验证规律：设两个连续奇数为2n ＋1，2n －1（其中n 为正整数），则它们的平方差是8的倍数； (2n +1)2−(2n −1)2=(2n +1−2n +1)(2n +1+2n −1)， =2×4n =8n.故两个连续奇数的平方差是8的倍数. （3）不正确，解法一：举反例：42−22=12因为12不是8的倍数，故这个结论不正确， 解法二：设这两个偶数位2n 和2n ＋2，(2n +2)2−(2n )2=(2n2−2n )(2n +2+2n )=8n +4因为8n ＋4不是8的倍数，故这个结论不正确.典例3：图形规律探究（2019·葫芦岛市模拟）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，30B ∠=︒，1AC =，过点C 作1CD AB ⊥于1D ，过点1D 作12D D BC ⊥于2D ，过点2D 作23D D AB ⊥于3D ，这样继续作下去，线段1n n D D +（n 为正整数）等于（ ）.A ．112n +⎛⎫⎪⎝⎭B ．132n +⎛⎫⎪⎝⎭C ．3n⎝⎭D ．13n +⎝⎭【答案】D 【解析】1AC =，160CAD ∠=︒，1331sin 601CD =⨯︒==132CD =，1260D CD ∠=o ，2123333sin 60D D ===⎝⎭o； 1234D D =，21360D D D ∠=o ，23233333sin 604222D D ⎛⎛⎫=⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭o； 2333D D =32460D D D ∠=o ，343433333sin 60D D ===⎝⎭⎝⎭o； 根据规律可知，113n n n D D ++=⎝⎭. 思路点拨此题考查了往往和结合知识项联系，要解决问题需要逐步求出相应未知量，根据这些未知量的变化特征找到通项公式．巩固练习1、（2019·黑龙江中考真题）如图，四边形11OAA B 是边长为1的正方形，以对角线1OA 为边作第二个正方形122OA A B ，连接2AA ，得到12AA A ∆；再以对角线2OA 为边作第三个正方形233OA A B ，连接13A A ，得到123A A A ∆；再以对角线3OA 为边作第四个正方形，连接24A A ，得到234A A A ∆……记12AA A ∆、123A A A ∆、231A A A ∆的面积分别为1S 、2S 、3S ，如此下去，则2019S =_____．【答案】20172 【解析】Q 四边形11OAA B 是正方形，1111OA AA A B ∴===，1111122S ∴=⨯⨯=，190OAA ∠=o Q ，2111112AO ∴=+=∴，2232OA A A ∴==，212112S ∴=⨯⨯=，同理可求：312222S =⨯⨯=，44S =…，22n n S -∴=， 201720192S ∴=，故答案为：20172．2、（2019·淄博中考）如图，在以A 为直角顶点的等腰直角三角形纸片ABC 中，将B 角折起，使点B 落在AC 边上的点D （不与点A ，C 重合）处，折痕是EF ．如图，当CD =12AC 时，tanα1=34； 如图，当CD =13AC 时，tanα2=512； 如图，当CD =14AC 时，tanα3=724；……依此类推，当CD =1n+1AC （n 为正整数）时，tanαn =_____． 【答案】2n+12n 2+2n【解析】观察可知，正切值的分子是3，5，7，9，…，2n +1，分母与勾股数有关系，分别是勾股数3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，2n +1，(2n+1)2−12，(2n+1)2+12中的中间一个．∴tanαn =2n+1(2n+1)2−12=2n+12n 2+2n .故答案为：2n+12n 2+2n ．典例4：坐标系内的规律探究（2019·泰安中考）在平面直角坐标系中，直线:1l y x =+与y 轴交于点1A ，如图所示，依次作正方形111OA B C ，正方形1222C A B C ，正方形2333C A B C ，正方形3444C A B C ，…，点1A ，2A ，3A ，4A ，…在直线l 上，点1C ，2C ，3C ，4C ,…在x 轴正半轴上，则前n 个正方形对角线的和是_____.【答案】(212n-【解析】解：根据根据题意可得11OA =,212A C =,324A C =,L 112n n n A C --=所以可得正方形111OA B C 2 正方形1222C A B C 的对角线为2 正方形2333C A B C 的对角线为2正方形3444C A B C 的对角线为82L正方形1n n n n C A B C -的对角线为22n -所以前n 个正方形对角线的和为1222428222(1248+2)2n n --+=++++L L =(212n -故答案为(212n -思路点拨 此类问题考查通常与函数图象相结合，解答是除了注意要做到数形结合之外，还要根据相应函数的性质解决问题，以找到题目中包含的变化规律.巩固练习1．（2019·雅安中考）如图，在平面直角坐标系中，直线13:1y l x =+与直线2:3l y x =交于点1A ，过1A 作x 轴的垂线，垂足为1B ，过1B 作2l 的平行线交1l 于2A ，过2A 作x 轴的垂线，垂足为2B ，过2B 作2l 的平行线交1l 于3A ，过3A 作x 轴的垂线，垂足为3B …按此规律，则点n A 的纵坐标为（ ）A ．3()2n B ．1()12n + C ．131()22n -+ D ．312n - 【答案】A【解析】 解：联立直线1l 与直线2l 的表达式并解得：3x =，32y =，故13322A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭；则点13,0)2B ，则直线12B A 的表达式为3y x b =+， 将点1B 坐标代入上式并解得：直线12B A 的表达式为：3332y x =-， 将表达式3y 与直线1l 的表达式联立并解得：534x =，94y =，即点2A 的纵坐标为94； 同理可得3A 的纵坐标为278， …按此规律，则点n A 的纵坐标为3()2n ，故选：A ．2、（2019·东营中考）如图，在平面直角坐标系中，函数33y x =和3y x =-的图象分别为直线12,l l ，过1l 上的点13A ⎛ ⎝⎭作x 轴的垂线交2l 于点2A ，过点2A 作y 轴的垂线交1l 于点3A ，过点3A 作x 轴的垂线交2l 于点4A ，…依次进行下去，则点2019A 的横坐标为_____．【答案】10093-【解析】解：由题意可得，13A ⎛ ⎝⎭，(21,3A -，(33,3A --，(43,33A -，5933A （，），69,93A -（），…， 可得21n A +的横坐标为3n （-）2019210091⨯+＝Q ，∴点2019A 的横坐标为：1009100933（-）＝-，故答案为：10093-．典例5：周期规律探究（2019·河北石家庄桥西区）如图所示，一动点从半径为2的O e 上的0A 点出发，沿着射线0A O 方向运动到O e 上的点1A 处，再向左沿着与射线1A O 夹角为60︒的方向运动到O e 上的点2A 处；接着又从2A 点出发，沿着射线2A O 方向运动到O e 上的点3A 处，再向左沿着与射线3A O 夹角为60︒的方向运动到O e 上的点4A 处；40A A 间的距离是________；…按此规律运动到点2019A 处，则点2019A 与点0A 间的距离是________.【答案】3 2.【解析】解：如图，∵⊙O 的半径=2，由题意得，A 0A 1=4，A 0A 2=23，A 0A 3=2，A 0A 4=23，A 0A 5=2，A 0A 6=0，A 0A 7=4，…∵2019÷6=336…3，∴按此规律运动到点A 2019处，A 2019与A 3重合，∴A 0A 2019=A 0A 3=2，故答案为：3 2.思路点拨所谓周期变化是指相应的量重复出现的情况，比如钟表的时针每隔12个小时会经过表盘上的同一个位置.解决这类问题要注意找出题目中的循环节，以确定未知量是经过若干次重复之后第几次出现.巩固练习1、（2019·河北中考模拟）如图所示在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O 2、O 3，……，组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2019秒时，点P 的坐标是（ ）A ．（2018，0）B ．（2019，1）C ．（2019，﹣1）D ．（2020，0）【答案】C【解析】 解：点运动一个半圆用时为2ππ＝2秒∵2019=1009×2+1∴2019秒时，P 在第1010个的半圆的中点处∴点P 坐标为（2019，-1）故选C ．2、（2019·湖南中考）观察下列等式：01234571,77,749,7343,72401,716807,,======L 根据其中的规律可得01220197777++++L 的结果的个位数字是（ ）A ．0B ．1C ．7D ．8【答案】A【解析】∵01234571,77,749,7343,72401,716807,,======L ∴个位数4个数一循环，∴()201914505+÷=，∴179320+++=，∴01220197777++++L 的结果的个位数字是：0． 故选A ．。