整式中的规律探究问题一．选择题组1．（2021·重庆市育才中学九年级月考）用同样大小的圆按下列方式组成图案.第1个图形有7个圆.第2个图形有19个圆.第3个图形有37个圆.第4个图形有61个圆.….则第7个图中有（ ）个圆．A ．126B ．148C ．169D ．212【答案】C【解析】解：根据图形可知.第1个图形中有7个圆.第2个图形中有7+2×6个圆.第3个图形中有7+2×6+3×6个圆.第4个图形中有7+2×6+3×6+4×6个圆.....∴第7个图形就有7+2×6+3×6+4×6+5×6+6×6+7×6=7+(2+3+4+5+6+7)×6=169(个).故选：C ．2．（2021·湖北·武汉第三寄宿中学九年级月考）如图.“杨辉三角”是我国古代奉献给人类伟大的数学遗产之一.从图中取一列数1.3.6.10.….记11a =.2312a ==+.36123a ==++.….那么911i 83a a a +-=.则i 的值是（ ）A ．13B ．10C ．8D ．7【答案】D【解析】解：由a 1＝1.a 2＝3.a 3＝6.a 4＝10.….知a n ＝1+2+3+…+n ()12n n +=.∴a 99102⨯==45、a i ()12i i +=、a 1111122⨯==66.则a 9+a 11﹣a i ＝83.可得：45+66()12i i +-=83.解得：i ＝7.（负根舍去）故选：D ．3．（2021·宁夏·银川唐徕回民中学一模）利用如图1的二维码可以进行身份识别．某校建立了一个身份识别系统.图2是某个学生的识别图案.灰色小正方形表示1.白色小正方形表示0.将第一行数字从左到右依次记为a .b .c .d .那么可以转换为该生所在班级序号.其序号为a×23+b×22+c×21+d×20.如图2.第一行数字从左到右依次为0.1.0.1.序号为0×23+1×22+0×21+1×20＝5.表示该生为5班学生．表示10班学生的识别图案是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】解：由题知.A选项班级序号为1×23+0×22+1×21+0×20＝10.B选项班级序号为0×23+1×22+1×21+0×20＝6.C选项班级序号为1×23+0×22+0×21+1×20＝9.D选项班级序号为0×23+1×22+1×21+1×20＝7.故选：A．4．（2021·湖北·五峰土家族自治县中小学教研培训中心九年级期中）中国奇书《易经》中记载.远古时期.人们通过在绳子上打结来计数.即“结绳计数”．如图.一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结.满5进1.用来记录孩子自出生后的天数由图可知.孩子自出生后的天数是（）．A．10 B．89 C．164 D．294【答案】D【解析】∵从右到左满5进1.∴右边第一列为n个1.即05.右边第二列为n个5.即15.右边第三列为n个25.即25.右边第四列为n个125.即35.∴孩子出生的天数为32⨯+⨯+⨯+⨯=.故答案选D．251535412945．（2021·重庆市实验中学九年级月考）如图.下列图形都是由黑色和白色的棋子按一定的规律排列组成的.其中第①个图形中有2颗黑色棋子.第②个图形中有8颗黑色棋子.第③个图形中有将17颗黑色棋子……按此规体.则第⑧个图中黑色棋子的颗数是（）A ．83B ．95C ．107D ．134【答案】C【解析】解：设第n 个图形中有a n 颗黑色棋子（n 为正整数）.∵a 1＝2×1＝2.a 2＝3×3−1＝8.a 3＝4×5−1−2＝17.a 4＝5×7−1−2−3＝29.….∴a n ＝（n ＋1）（2n −1）−1−2−…−（n −1）＝（n ＋1）（2n −1）−())21(11n n --＋＝32n （n ＋1）−1（n 为正整数）.∴a 8＝32×8×（8＋1）−1＝107．故选：C ．6．（2021·江苏镇江·中考真题）如图.小明在3×3的方格纸上写了九个式子（其中的n 是正整数）.每行的三个式子的和自上而下分别记为A 1.A 2.A 3.每列的三个式子的和自左至右分别记为B 1.B 2.B 3.其中.值可以等于789的是（ ）A ．A 1B ．B 1C ．A 2D ．B 3【答案】B【解析】解：由题意得：A 1＝2n +1+2n +3+2n +5＝789.整理得：2n ＝260.则n 不是整数.故A 1的值不可以等于789.A 2＝2n +7+2n +9+2n +11＝789.整理得：2n ＝254.则n 不是整数.故A 2的值不可以等于789.B 1＝2n +1+2n +7+2n +13＝789.整理得：2n ＝256＝28.则n 是整数.故B 1的值可以等于789.B 3＝2n +5+2n +11+2n +17＝789.整理得：2n ＝252.则n 不是整数.故B 3的值不可以等于789.故选：B ．7．（2021·云南广南·九年级期末）按一定规律排列的单项式：2a -.43a .65a -.87a .…….第n 个单项式是 （ ） A ．2(21)n n a ±- B ．2(21)n n a ±+ C ．2(1)(21)n n n a -- D ．2(1)(21)n n n a -+【答案】C【解析】解：∵一列单项式：2a -.43a .65a -.87a .…….∴第n 个单项式是2(1)(21)n n n a --．故选：C8．（2021·云南·一模）观察下列关于x 的单项式.探究其规律：2345,3,5,7,9x x x x x ---⋅⋅⋅，.按照上述规律.第2021个单项式为（ ） A ．20214041x - B ．20214041xC ．20204041xD ．20204039x【答案】A【解析】系数的规律：第n 个对应的系数是(1)(21)n n -⨯-.指数的规律：第n 个对应的指数是n .∴第2021个单项式是20214041x -.故选：A ． 9．（2021·全国·九年级专题练习）观察下列等式：=123456733,39,327,381,3243,3729,32187,======．解答下列问题：234202033333+++++的末尾数字是 （ ）A ．0B ．2C ．3D ．9【答案】A 【解析】解：∵31=3.32=9.33=27.34=81.35=243.36=729.37=2187….∴3=3.3+9=12.12+27=39.39+81=120. 120+243=363.363+729=1092.1092+2187=3279....通过上面式子可以发现这些数加起来的和的末位数字分别是3.2.9.0.3.2.9.0.可知每四个为一个循环∵2020÷4=505∴3+32+33+34+…+32020的末位数字是0 故选A ．10．（2021·云南昭通·二模）如图是一组有规律的图案.它们是由大小相同的“”图案组成的.依此规律.第2021个图案中含有“”图案的个数为（ ）A ．10106B ．10105C ．11005D ．11006【答案】A【解析】由题可知.第1个图案共有12+1+13=6⨯⨯个所求图案.第2个图案共有22+1+23=11⨯⨯个所求图案.第3个图案共有32+1+33=16⨯⨯个所求图案.第4个图案共有42+1+43=21⨯⨯个所求图案.……则第n 个图案共有2+1351n n n ⋅+⋅=+个所求图案.∴第2021个图案中含有“”图案的个数为520211=10106⨯+故答案选：A ．11．（2021·江苏洪泽·二模）代数式：x ﹣3x 2+5x 3﹣7x 4+9x 5+…的第n 项为（ ）A ．（﹣1）n ﹣1（2n ﹣1）x nB ．（﹣1）n （2n ﹣1）x nC ．（﹣1）n ﹣1（2n +1）x nD ．（﹣1）n ﹣1nx n【答案】A【解析】解：x ＝（2×1﹣1）x .﹣3x 2＝（﹣1）2﹣1（2×2﹣1）x 2.5x 3＝（﹣1）3﹣1（2×3﹣1）x 3..∴第n 项是：（﹣1）n-1（2n ﹣1）x n .故选：A ．12．（2021·广西玉林·中考真题）观察下列树枝分杈的规律图.若第n 个图树枝数用n Y 表示.则94Y Y -=（ ）A ．4152⨯B ．4312⨯C ．4332⨯D ．4632⨯【答案】B【解析】解：由图可得到：11223344211213217211521n n Y Y Y Y Y =-==-==-==-==- 则：9921Y =-.∴944942121312Y Y -=--+=⨯.故答案选：B ．二、填空题组13．（2021·四川省内江市第六中学三模）将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放.请仔细观察.第n 个图形有___________个小圆．（用含n 的代数式表示）【答案】25n n -+【解析】第1个图有0×1+5个小圆.第2个图有1×2+5个小圆.第3个图有2×3+5个小圆.…第n 个图形有2-5n n +个小圆．故答案为2-5n n +．14．（2021·湖南新田·九年级期中）将边长为1的正方形纸片按如图所示方法进行对折.记第1次对折后得到的图形面积为S 1.第2次对折后得到的图形面积为S 2.….第n 次对折后得到的图形面积为S n .请根据图2化简. 12320202021S S S S S +++++=______．【答案】202111()2-【解析】解：∵42320211234202111111111,(),(),(),()242821622S S S S S ========设S =42320211234202111111()()()()22222S S S S S +++++=+++++① 123202*********11222222S S S S S S ∴=+++++4232021202211111()()()()+()22222=++++② ①-②得.2022111()222S ∴=-202111()2S ∴=-故答案为：202111()2-．15．（2021·山东龙口·九年级期中）如图.在正方形ABCB 1中.AB ＝1.AB 与直线l 的夹角为30°.延长CB 1交直线l 于点A 1.做正方形A 1B 1C 1B 2.延长C 1B 2交直线l 于点A 2.做正方形A 2B 2C 2B 3.延长C 2B 3交直线l 于点A 3.….依此规律.则A 2023B 2023＝_______．【答案】2023(3)【解析】解：∵四边形ABCB 1为正方形.∴AB 1＝AB ＝1.∵A 1C ∥AB .∴∠B 1A 1A ＝30°.∴A 1B 1313AA 1＝2AB 1＝2.∵四边形A 1B 1C 1B 2为正方形.∴A 1B 2＝A 1B 1＝3∵A 2C 1∥A 1B 1.∴∠B 2A 2A 1＝30°. ∴A 2B 231B 23×332.……∴A n B n 3n .∴A 2023B 202332023.故答案为：32023．16．（2021·西藏·中考真题）按一定规律排列的一列数依次为23.14.215.112.235.….按此规律排列下去.这列数中的第n 个数是___________________． 【答案】221n -【解析】解：观察一列数可知：223122=-.214123=-.2221541=-.2211251=-.2223561=-.…. 按此规律排列下去.这列数中的第n 个数是：221n -.故答案为：221n -． 17．（2021·辽宁·沈阳市第七中学九年级开学考试）在一条直线上.按如图所示的规律放置若干●与〇.组成图案：●〇●●〇●●●〇●●●●〇….当图案恰好以〇收尾.且图案中●的个数是2278时.则该图案中●与〇的个数之和是_______． 【答案】2345【解析】解：设该图案中有x 个〇.则有1+2+3+⋯+x =(1)2x x +个●.依题意得.(1)2x x +=2278.整理得.x 2+x -4556=0.解得.x 1=-68（舍去）.x 2=67.∴该图案中●与〇的个数之和是：67+2278=2345.故答案为：2345．18．（2021·海南海口·九年级期中）火柴棒按以下方式搭图形.按照这样的规律搭下去.第7个图形需要火柴棒______根.第n 个图形需要火柴棒______根．【答案】37 ()52n +【解析】解：∵搭第1个图形需要7根火柴棒.7=5+2.搭第2个图形需要12根火柴棒.12=5×2+2.搭第3个图形需要17根火柴棒.17=5×3+2.….∴搭第7个图形需要火柴棒数为：5×7+2=37.搭第n 个图形需要的火柴棒的根数是5n +2．故答案为：37.5n +2．19．（2021·广西梧州·中考真题）如图.直线l 的函数表达式为y ＝x ﹣1.在直线l 上顺次取点A 1（2.1）.A 2（3.2）.A 3（4.3）.A 4（5.4）.….A n （n +1.n ）.构成形如”的图形的阴影部分面积分别表示为S 1.S 2.S 3.….S n .则S 2021＝___．【答案】4044．【解析】解：根据题意.∵A 1（2.1）.A 2（3.2）.A 3（4.3）.A 4（5.4）.….A n（n +1.n ）.∴11135(12)1(23)142222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=.21157(23)1(34)162222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=.31179(34)1(45)182222S =⨯+⨯+⨯+⨯=+=.……∴22n S n =+.∴20212202124044S =⨯+=．故答案为：4044．20．（2021·湖北荆门·中考真题）如图.将正整数按此规律排列成数表.则2021是表中第____行第________列．【答案】64 5【解析】通过观察发现：1=1.3=1+2.6=1+2+3.10=1+2+3+4.…….故第n 行第n 列数字为：1(1)2n n +. 则第n 行第1列数字为：1(1)(1)2n n n +--.即1(1)2n n -+1. 设2021是第n 行第m 列的数字.则：1(1)2021()2m m n n n +=<-.即24421)0(n n m +=-,可以看作两个连续的整数的乘积.2263=396964=4096,,m n ，为正整数.64n ∴=.当64n =时.=5m .故答案为：64.5 三、解答题组21．（2021·安徽·九年级月考）我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列.如图1的“杨辉三角”就是其中的一例．如图2.某同学发现杨辉三角给出了()na b +（n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如.在三角形中第三行的三个数1.2.1.恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中各项的系数.第四行的四个数1.3.3.1.恰好对应着()3322333a b a a b ab b +=+++展开式中各项的系数等等．（1）填出()4a b +展开式中共有 项.第三项是 ． （2）直接写出()512y -的展开式． （3）利用上面的规律计算：26541126215222⎫⎫⎛⎛+⨯⨯-+⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭33212021522⎫⎛+⨯⨯-+⨯ ⎪⎝⎭456111621222⎫⎫⎫⎛⎛⎛⨯-+⨯⨯-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎝⎝⎭⎭⎭． 【答案】（1）5.226a b .（2）()523451211040808032y y y y y y -=-+-+-.（3）66564【解析】解：（1）由杨辉三角的系数规律可得.()4432234464a b a a b a b ab b +=++++.∴展开式共有5项.第三项是226a b ．（2）()543225345510105a a b a b a a a b b b b =++++++.当1a =.2b y =-时.原式()()2152102y y =+⨯-+⨯-()()()345102522y y y +⨯+⨯--+-234511*********y y y y y =-+-+-.()523451211040808032y y y y y y ∴-=-+-+-．（3）由杨辉三角可知.原式61212⎫⎛=-- ⎪⎝⎭6312⎫⎛=- ⎪⎝⎭729164=-66564=．22．（2021·重庆市广益中学校九年级月考）阅读下列材料解决问题：如果一个自然数末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）是13的倍数.则这个数能被13整除．如：593814.814－593＝221.221是13的17倍.所以593814能被13整除．（1）若对任意一个七位数.末三位所表示的数与末三位以前的数字所表示的数之差（大数减小数）是13的倍数.证明这个七位数一定能被13整除.（2）已知一个五位自然数.末三位为m ＝500＋10y ＋52.末三位以前的数为n ＝10（x ＋1）＋y （其中1≤x ≤8.1≤y ≤9且为整数）.交换这个五位自然数的十位和百位上的数字后所得的新数能被13整除.求这个五位数．【答案】（1）见解析.（2）这个五位数为：94592.41562.33582.59642.67622.75602【解析】（1）证明：设任意七位数的末三位为s .末三位以前的数为t .则这个七位数为1000t s +.由题意可令t －s ＝13k （k 为整数）．1000t ＋s ＝1000t －13k ＋t ＝1001t －13k ＝13（77t －k ）.∴这个七位数一定能被13整除.（2）解：①当1≤y ≤4时.m ＝500＋10（5＋y ）＋2．交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m ′＝100（5＋y ）＋52.m ′－n ＝100（5＋y ）＋52－10（x ＋1）－y ＝99y －10x ＋542＝13（42＋8y －x ）－（4＋5y －3x ）.∵1≤x ≤8.1≤y ≤4.且x .y 都为整数.∴－21≤－（4＋5y －3x ）≤15．∴－（4＋5y －3x ）的值为13或0或－13．Ⅰ．若－（4＋5y －3x ）＝13.则92x y ==，(舍去)．Ⅱ．若－（4＋5y －3x ）＝0.则84x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩.∴这个五位数为94592.41562．Ⅲ．若－（4＋5y －3x ）＝－13.则23x y =⎧⎨=⎩．∴这个五位数为33582．②当5≤y ≤9时.m ＝600＋10（y －5）＋2．交换这个五位数的十位数和百位上的数字后所得的新数为m ′＝100（y －5）＋62.m ′－n ＝100（y －5）＋62－10（x ＋1）－y ＝99y －10x －448＝13（8y －x －34）－（6＋5y －3x ）.∵1≤x ≤8.5≤y ≤9.且x .y 都为整数.∴－48≤－（6＋5y －3x ）≤－7．∴－（6＋5y －3x ）的值为－39.－26.－13．Ⅰ．若－（6＋5y －3x ）＝－39.则49x y =⎧⎨=⎩．∴这个五位数为59642．Ⅱ．若－（6＋5y －3x ）＝－26.则57x y =⎧⎨=⎩．∴这个五位数为67622．Ⅲ．若－（6＋5y －3x ）＝－13.则65x y =⎧⎨=⎩．∴这个五位数为75602．综上所述：这个五位数为：94592.41562.33582.59642.67622.75602． 23．（2021·内蒙古松山·九年级期中）阅读下面的材料：按照一定顺序排列着的一列数称为数列.数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一项.记为a 1.排在第二位的数称为第二项.记为a 2.依此类推.排在第n 位的数称为第n 项.记为a n .所以.数列的一般形式可以写成：a 1.a 2.a 3.….an .…．一般地.如果一个数列从第二项起.每一项与它前一项的差等于同一个常数.那么这个数列叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差.公差通常用d 表示． 如：数列1.3.5.7.…为等差数列.其中a 1＝1.a 2＝3.公差为d ＝2． 根据以上材料.解答下列问题：（1）等差数列5.10.15.…的公差d 为 .第5项是 ．（2）如果一个数列a 1.a 2.a 3.….a n .….是等差数列.且公差为d .那么根据定义可得到：a 2﹣a 1＝d .a 3﹣a 2＝d .a 4﹣a 3＝d .….a n ﹣a n ﹣1＝d .…．所以a 2＝a 1+d .a 3＝a 2+d ＝（a 1+d ）+d ＝a 1+2d .a 4＝a 3+d ＝（a 1+2d ）+d ＝a 1+3d .…．由此.请你填空完成等差数列的通项公式：a n ＝a 1+（ ）d ．（3）﹣4045是不是等差数列﹣5.﹣7.﹣9…的项？如果是.是第几项？【答案】（1）5.25.（2）1n -.（3）是.2021【解析】（1）依题意得1055d =-=.315a =.4315520a a d ∴=+=+=.5420525a a d ∴=+=+=.故答案为：5,25.（2）a 2＝a 1+d .a 3＝a 2+d ＝（a 1+d ）+d ＝a 1+2d .a 4＝a 3+d ＝（a 1+2d ）+d ＝a 1+3d .……1(1)n a a n d ∴=+-.故答案为：1n -.（3）﹣5.﹣7.﹣9⋅⋅⋅是等差数列∴通项公式为：52(1)n a n =---.若n a =﹣4045.则404552(1)n -=---.解得2021n =．∴﹣4045是等差数列﹣5.﹣7.﹣9…的项.它是此数列的第2021项． 24．（2021·江苏·九年级专题练习）如果下列图形由相同的小正方形组成.观察图形的变化.回答下列问题：（1）第6个图形有________个小正方形.第n 个图形有________个小正方形.（2）若第n 个图形有576个小正方形.求n 的值．【答案】（1）49.()21n +（或221n n ++）.（2）第23个图形有576个小正方形．【解析】（1）根据前四个图知：第一个图有4个.第二个图有9个.第三个图有16个.第四个图有25个.则依次类推每个图都有()21n +个.则第六个图有49个.故答案为：49.()21n +（或 221n n ++）.（2）根据题意.得()21576n +=.解得125n =-（舍去）.223n =.故第23个图形有576个小正方形．25．（2021·重庆市育才中学三模）材料一：如果一个自然数右边的数字总比左边的数字小.我们称它为“下滑数”．如果一位三位“下滑数”满足个位数字与十位数字之和等于百位数字.那么称这个数为“下滑和平数”．例如：A＝321.满足1＜2＜3.且1+2＝3.所以321是“下滑和平数”.B＝643.满足3＜4＜6.但3+4≠6.所以643不是“下滑和平数”．材料二：对于一个“下滑和平数”m＝100a+10b+c（1≤a.b.c≤9且a.b.c为整数）交换其百位和个位数字得到新数m'＝100c+10b+a.规定：F（m）＝m﹣m'．例如：m＝321为“下滑和平数”.m'＝123.F（m）＝321﹣123＝198．（1）请任意写出两个三位“下滑数”.并判断你所写的两个三位“下滑数”是不是“下滑和平数”？并说明理由．（2）若m与m'的和能被7整除.求F（m）的最小值．【答案】（1）两个下滑数：645.987.都不是“下滑和平数”.理由见解析.（2）396【解析】解：（1）两个下滑数：645.987．∵4+5≠6.7+8≠9．∴645.987都不是“下滑和平数”．（2）设m＝100a+10b+c.则m′＝100c+10b+a（a．b.c均为整数）∵m是“下滑和平数”．∴b+c ＝a.且1≤c＜b＜a≤9．m+m′＝101a+20b+101c．F（m）＝m﹣m′＝99（a﹣c）＝99b．∴要使F（m）最小.只需b最小．∵m+m′能被7整除．∴①当b＝2.a＝3.c＝1.m+m′＝444.不合题意.舍去．②当b＝3.a＝4.c＝1或a＝5.c＝2．当a＝4.c＝1.m+m′＝515.不合题意.舍去．当a＝5.c＝2.m+m′＝767.不合题意.舍去．当b＝4.a＝5.c＝1或a＝6.c＝2或a＝7.c＝3．当a＝5.c＝1时.m+m′＝686.686能被7整除．综上所述.满足上述条件的b的最小值为4．∴F（m）最小＝500+40+1﹣145＝396．26．（2021·山东南区·二模）实际问题：有n支队伍.每支队伍都有足够多的水平完全相同的队员.要从这n支队伍中抽调部分队员安排到一张有四个位置的方桌进行竞技比赛.四个位置可以出现来自于同一队伍的队员.为了防止他们作弊.需要避免同队的队员坐在相邻的座位上．那么一共有多少种不同的安排方法？问题探究：探究一：如果有两支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队的队员.那么共有多少种不同的安排方法？不妨设两支队伍分别为,A B．从①号位开始.我们有2种选择.即A队员或B队员.②③号位置都只有1种选择（另一支队伍的队员）．④号位也只有1种选择．这样就得到了21112⨯⨯⨯=.一共有两种不同的安排方法．探究二：如果有三支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队的队员.那么共有多少种不同的安排方法？A B C．让我们运用上面的方法试试①号位置有3种队员可以选择.不妨设三支队伍分别为,,即A队员、B队员或C队员.②③两个位置选择队员时.我们需要考虑两种不同的情形：第一种：若②③号位队员来自于同一队伍.则②号位有2种选择.③号只有1种选择.④号位会⨯⨯⨯=种安排方法.有2中选择.此时会有321212位也只有1种选择.此时会有32116⨯⨯⨯=种安排方法．把上述两种情况的结果加起来得到12＋6＝18.一共有18种不同的安排方法．探究三：如果有四支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队的队员.那么共有多少种不同的安排方法？（请按照前面的探究方法.描述如果有四支参赛队伍时.会有多少种结果的推算过程）归纳探究：如果有n 支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队的队员.那么共有多少种不同的安排方法？无论有多少支参赛队伍.我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自于同一个队伍.②③号位队员来自于不同的队伍．（1）如果有n 支参赛队伍.①号位有 种队员可以选择.②号位有 种队员可以选择．（2）若②③号位队员来自于同一队伍.则③号位只有1种选择.④号位有 种选择.这样我们就有 种安排方法（结果不需化简）.（3）若②③号位队员来自不同队伍.则③号位有 种选择.④号位有 种选择.这样我们就有 种安排方法．（结果不需化简）（4）如果有n 支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队的队员.那么共有 种不同的安排方法．（结果不需化简）【答案】探究三：48种.归纳探究：（1）n .()1n -.（2）()1n -.()21n n -.（3）()2n -.()2n -.()()212n n n --.（4）()()2133n n n n --+【解析】解：不妨设为,,,A B C D 四支队伍.让我们运用上在的方法试试.①号位置有4种队员可以选择.即A 队员、B 队员或C 队员或 D 队员.②③两个位置选择队员时.我们需要考虑两种不同的情形：第一种：②③号位队员来自于同一队伍.②号位有3种选择.那么③号位与②号位队友相同.所以③号只有1种选择.④号位就会有3种选择.此时会有：431336⨯⨯⨯=种安排方法.同.③号位只有2种选择.那么④号位只有2种选择.此时会有432248⨯⨯⨯=种安排方法． 把上述两种情况的结果加起来得到36＋48＝84.一共有84种不同的安排方法．归纳探究：如果有n 支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队伍的队员.那么有多少种不同的安排方法呢？无论有多少支参赛队伍.我们都要考虑两种情况：②③号位队员来自于同一个队伍.②③号位队员来自于不同的队伍．（1）如果有n 支参赛队伍.①号位有n 种队员可以选择.②号位有()1n -种队员可以选择. （2）若②③号位队员来自于同一队伍.则③号位只有1种选择.这样.④号位有()1n -种选择.这样我们就有()()()21111n n n n n ⨯-⨯⨯-=-种安排方法（结果不需要化简）.（3）若②③号位队员来自于不同队伍.则③号位有()2n -种选择.④号位有()2n -种不同的队员可以选择.这样我们就有 ()()()()()212212n n n n n n n ⨯-⨯-⨯-=--种安排方法（结果不需要化简）.（4）如果有n 支队伍参赛.要求相邻的座位不能安排同一队伍的队员.那么把（2）、（3）种情况的结果加起来得到有：()()()()()()()2111122133n n n n n n n n n n n ⨯-⨯⨯-+⨯-⨯-⨯-=--+种安排方法． 27．（2021·山东·青岛市崂山区教育教学研究室一模）问题提出：在平面上.给出n 个圆把平面至多分割成多少个区域？问题探究：为探究规律.我们采用一般问题特殊化的策略.先从简单的情形入手.再逐次递进.最后得出一般性的结论．下面我们先从直线分割平面入手来探究这个问题．探究一：1条直线可以将平面分成2个区域.2条直线时.要使分成的区域尽量多.则第2条直线要与第1条直线相交可以将平面分成4部分.3条直线时.如图1.要使分成的区域尽量多.就必须将第3条直线与前面2条直线尽可能两两相交.避免多条直线相交于一点和平行关系的出现.这样就会得到2个交点.这2个交点将第3条直线分为了2条射线和1条线段.而每条射线和线段将已有的区域一分为二.这样就多了2+13=个区域.所以3条直线至多将平面分成7个区域.4条直线时.如图2.要使分成的区域尽量多.就必须将第4条直线与前面3条相交直线尽可能两两相交.避免多条直线相交于一点和平行关系的出现.这样就会得到3个交点.这3个交点将第4条直线分为了2条射线和422-=条线段.而每条射线和线段将已有的区域一分为二.这样就多了2+24=个区域.所以4条直线至多将平面分成11个区域.5条直线时.如图3.要使分成的区域尽量多.就必须将第5条直线与前面4条相交直线尽可能两两相交.避免多条直线相交于一点和平行关系的出现.这样就会得到4个交点.这4个交点将第5条直线分为了2条射线和523-=条线段.而每条射线和线段将已有的区域一分为二.这样就多了2+35=个区域.所以5条直线至多将平面分成16个区域.由此可推断6条直线可以将平面至多分成 个区域.依此类推n 条直线可以将平面至多分成 个区域．探究二：1个圆可以将平面分成2个区域.2个圆时.要使分成的区域尽量多.2个圆相交将平面分成4个区域.3个圆时.要使分成的区域尽量多.第3个圆与前2个圆都相交被分成了2(31)4-=条弧.将平面至多分成了448+=个区域.4个圆时.要使分成的区域尽量多.第4个圆与前3个圆都相交被分成了2(41)6-=条弧.将平面至多分成了8614+=个区域.以此类推5个圆可以将平面分成 个区域．问题解决：n 个圆至多可以将平面分成 个区域．问题拓展：仿照前面的过程.n 个三角形至多可以将平面分成 个区域．【答案】探究一：22.222n n ++ .探究二：22.问题解决：(22n n -+).问题拓展：(2332n n -+) 【解析】解：探究一：根据题意：1条直线.将平面分成了112+=个区域.2条直线.将平面分成了1124++=个区域.3条直线.将平面分成了11237+++=个区域.4条直线.将平面分成了1123411++++=个区域.5条直线.将平面分成了11234516+++++=个区域.6条直线.将平面分成了112345622++++++=个区域..n 条直线.将平面分成了()2121123122n n n n n ++++++++=+=个区域.故答案为：22.222n n ++. 探究二：根据题意：1个圆.分成了()11122-⨯+=个区域.2个圆.分成了()21224-⨯+=个区域.3个圆.分成了()31328-⨯+=个区域.4个圆.分成了()414214-⨯+=个区域.5个圆.分成了()515222-⨯+=个区域.故答案为：22.问题解决：n 个圆.分成了()2122n n n n -⨯+=-+个区域.故答案为：(22n n -+).问题拓展：设n 个三角形最多将平面分为n a 个区域.1n =时.12a =.2n =时.第二个三角形的每一条边与第一个三角形最多有2个交点.三条边与第一个三角形有236⨯=个交点.6个交点将第二个三角形的边分成了6段.这6段的每一段都将原来的每1个区域分成了2个区域.从而增加了6个区域.即22238a =+⨯=.2n =时.第三个三角形与前面两个三角形最多有4312⨯=个交点.从而增加了12个区域.即32234320a =+⨯+⨯=.一般地.第n 个三角形与前面(n -1)个三角形最多有()213n -⨯个交点.从而增加了()213n -⨯个区域.故()22343213n a n =+⨯+⨯++-⨯()224213n ⎡⎤=++++-⨯⎣⎦()231n n =+-2332n n =-+. 故答案为：(2332n n -+)．28．（2021·安徽合肥·二模）观察下面由“※”组成的图案和算式.并解答问题：21342+==.213593++==.21357164+++==. 213579255++++==．（1）试猜想13573739++++⋯++=____________.（2）试猜想()()()135********n n n +++++⋯+-++++=____________.（3）按上述规律计算：10110310520172021+++⋯++的值．【答案】（1）400.（2）2(2)n +.（3）1019621【解析】（1）∵2n -1=39.∴n =20.根据规律.得13573739++++⋯++=220=400.（2）设2m -1=2n +3, ∴m =n +2.根据规律.得()()()135********n n n +++++⋯+-++++=2(2)n +.（3）根据题意.得原式=(1357910110310520172021)+++++++++⋯++-(1357999)++++++.=22101150-=1019621．。