规律探索型问题1. 如图,下面是按照一定规律画出的“数形图”,经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”, 图A 3比图A 2多出4个“树枝”, 图A 4比图A 3多出8个“树枝”,……,照此 规律,图A 6比图A 2多出“树枝”D. 124答案C2. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放,请仔细观察,第 n 个图形有 个小圆. 用含 n 的代数式表示答案(1)4n n ++或24n n ++3. 观察下列算式：① 1 × 3 - 22= 3 - 4 = -1② 2 × 4 - 32= 8 - 9 = -1③ 3 × 5 - 42= 15 - 16 = -1 ④ ……1请你按以上规律写出第4个算式； 2把这个规律用含字母的式子表示出来；3你认为2中所写出的式子一定成立吗并说明理由．答案解：⑴246524251⨯-=-=-；⑵答案不唯一.如()()2211n n n +-+=-；⑶()()221n n n +-+ ()22221n n n n =+-++22221n n n n =+--- 1=-.第1个图形第 2 个图形第3个图形 第 4 个图形4. 观察上面的图形,它们是按一定规律排列的,依照此规律,第_____个图形共有120 个;答案155. 先找规律,再填数：1111111111111111,,,,122342125633078456............111+_______.2011201220112012+-=+-=+-=+-=-=⨯则 答案110066. 观察下面的变形规律：211⨯ ＝1－12； 321⨯＝12－31；431⨯＝31－41；……解答下面的问题： 1若n 为正整数,请你猜想)1(1+n n ＝ ；2证明你猜想的结论； 3求和：211⨯＋321⨯＋431⨯＋…＋201020091⨯ .答案 1111n n -+ 2证明：n 1－11+n ＝)1(1++n n n －)1(+n n n ＝1(1)n nn n +-+＝)1(1+n n .3原式＝1－12＋12－31＋31－41＋…＋20091－20101 ＝12009120102010-=. 7. 设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++ 设12...n S S S S =+++,则S=_________ 用含n 的代数式表示,其中n 为正整数．答案122++n nn ．22111(1)n S n n =+++=21111[]2(1)(1)n n n n +-+⨯++=2111[]2(1)(1)n n n n ++⨯++ =21[1](1)n n ++∴S=1(1)12+⨯+1(1)23+⨯+1(1)34+⨯+…+1(1)(1)n n ++122++=n n n .接下去利用拆项法111(1)1n n n n =-++即可求和．8. 如下数表是由从1 开始的连续自然数组成,观察规律并完成各题的解答.1表中第8行的最后一个数是 ,它是自然数 的平方,第8行共有 个数；2用含n 的代数式表示：第n 行的第一个数是 ,最后一个数是 ,第n 行共有 个数；3求第n 行各数之和．解164,8,15；22(1)1n -+,2n ,21n -；3第2行各数之和等于3×3；第3行各数之和等于5×7；第4行各数之和等于7×7-13；类似的,第n 行各数之和等于2(21)(1)n n n --+=322331n n n -+-.9.求1+2+22+23+…+22012的值,可令S=1+2+22+23+…+22012,则2S=2+22+23+24+…+22013,因此2S ﹣S=22013﹣1．仿照以上推理,计算出1+5+52+53+…+52012的值为A ．52012﹣1 B ．52013﹣1 C ． D ．解析设S=1+5+52+53+…+52012,则5S=5+52+53+54+…+52013,因此,5S ﹣S=52013﹣1,S=答案选C ．10.观察下列一组数：32,54,76,98,1110,…… ,它们是按一定规律排列的,那么这一组数的第k 个数是 ． 答案122+k k11. 观察下列面一列数：1,-2,3,-4,5,-6,…根据你发现的规律,第2012个数是___________ 答案-201212.在下图中,每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成,照此规律,第10个图案中共有 个小正方形;答案100．13、如图,第1个图有2个相同的小正方形,第1个图有2个相同的小正方形,第2个图有6个相同的小正方形,第3个图有12个相同的小正方形,第4个图有20个相同的小正方形,……,按此规律,那么第n 个图有 个相同的小正方形;（1） 2 3 4 解析：因为()()()()1445420,1334312,122326,111212+⨯=⨯=+⨯=⨯=+⨯=⨯=+⨯=⨯=,故第n 个图有n n +2个小正方形 .答案n n +2或nn+114．如图,是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案,则第n 个图案中阴影小三角形的个数是 ．故答案为：4n ﹣2或2+4n ﹣1 答案4n ﹣2或2+4n ﹣115．在平面直角坐标系xOy 中,点1A ,2A ,3A ,…和1B ,2B ,3B ,…分别在直线y kx b =+和x 轴上．△OA 1B 1,△B 1A 2B 2,△B 2A 3B 3,…都是等腰直角三角形,如果A 11,1,A 223,27,那么点nA 的纵坐标是_ _____．答案123-⎪⎭⎫⎝⎛n 16．观察下列等式： 第1个等式：a 1==21×1﹣31； 第2个等式：a 2==21×31﹣51； 第3个等式：a 3==21× 51﹣71； 第4个等式：a 4==21×71﹣91； …请解答下列问题：1按以上规律列出第5个等式：a 5= = ；2用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n = = n 为正整数； 3求a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 100的值． 解答： 解：根据观察知答案分别为：1； ；2；；3．y xy=kx+bOB 3B 2 B 1 A 3 A 2A 117.右图中每一个小方格的面积为1,则可根据面积计算得到如下算式： ()127531-+⋅⋅⋅++++n = .()是正整数表示，用n n解答：当2=n 时：()224122131==-⨯+=+当3=n 时：()23913231531==-⨯++=++当4=n 时：()24161425317531==-⨯+++=+++猜想：()127531-+⋅⋅⋅++++n =2n18．一组数据为：234,2,4,8,x x x x --观察其规律,推断第n 个数据应为 .答案11(1)2n n n x +--19. 小明用棋子摆放图形来研究数的规律.图1中棋子围成三角形,其颗数3,6,9,12,···成为三角形数,类似地,图2中的4,8,12,16,···称为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是答案：D20.下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成,其中第①个图形一共有2个五角星,第②个图形一共有8个五角星,第③个图形一共有18个五角星,…,则第⑥个图形中五角星的个数为解析：都是轴对称图形,每一排的个数都是偶数,分别是2,4,6,…6,4,2,故第六个图形五角星个数可列式为：2+4+6+8+10+12+10+8+6+4+2=72.答案D21．根据排列规律,在横线上填上合适的代数式：x,-3x2,5x3, -7x4 ,9x5,… ,表示第n代数式．22．如图,第①个图形中一共有1个平行四边形,第②个图形中一共有5个平行四边形,第③个图形中一共有11个平行四边形,……则第⑩个图形中平行四边形的个数是解析图形①中1=1×1+0,图形②中5=2×2+1,图形③中11=3×3+2,……,依次类推,∴第⑩个图形中平行四边形的个数是10×10+9=109解答D.23．如图12,已知A1,A2,A3,…A n,…是x轴上的点,且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n-1A n…＝1,分别过点A1,A2,A3,…A n,…作x轴的垂线交反比例函数y＝1xx＞0的图象于点B1,B2,B3,…B n,…,过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1,过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2……,记△B1P1B2的面积为S1,△B2P2B3的面积为S2……,△B n P n B n+1的面积为S n,则S1＋S2＋S3＋…＋S n＝.解析由OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝A n-1A n…＝1,可得P1B2＝P2B3＝P3B4＝…＝P n B n+1＝1,以及B11,1,B22,12,B33,13,…,B n n,1n,B n+1n＋1,11n+,所以S1＋S2＋S3＋…＋S n＝12B1P1·P1B2＋1 2B2P2·P2B3＋…12B n P n·P n B n+1＝12B1P1＋B2P2＋…B n P n＝121－12＋12－13＋…＋1n－11n+＝1 2 1－11n+＝2(1)nn+．答案2(1)nn+yx O A1A2A3B1B2B3P1P2图1210题图24. 同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：① 第5个图形有多少颗黑色棋子 ② 第几个图形有2013颗棋子说明理由;解析第一个图需棋子6,第二个图需棋子9,第三个图需棋子12,第四个图需棋子15,第五个图需棋子18,…第n 个图需棋子3n+1枚． 答案118；2第670个图形25、如图,一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳,若它停在奇数点上,则下次沿顺时针方向跳两个点；若停在偶数点上,则下次沿逆时针方向跳一个点．若青蛙从5这点开始跳,则经过2012次后它停在哪个数对应的点上 A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 答案：D26、将1、错误!、错误!、错误!按右侧方式排列．若规定m ,n 表示第m 排从左向右第n 个数,则4,2与21,2表示的两数之积是 ． A ．1 B ．2 C ．2错误! D ．6答案：D27、下列图形都是由同样大小的正方形按一定的规律组成,其中,第①个图形中一共有1个正方形,第②个图形中一共有5个正方形,第③个图形中一共有14个正方形,……则第⑦个图形中正方形的个数为A 、49B 、 100C 、140D 、91 答案：C第1个第2个 第3个 第4个134111122663263323第1排第2排第3排第4排第5排……28、如图,已知直线l ：y =x ,过点A 0,1作y 轴的垂线交直线l 于点B ,过点B 作直线l 的垂线交y 轴于点A 1；过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1,过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点A 2；…；按此作法继续下去,则点A 4的坐标为A 、0,64B 、0,128C 、0,256D 、0,512答案： C29、如图,直线x y 33=,点1A 坐标为1,0,过点1A 作x 轴的垂线交直线于点1B ,以原点O 为圆心,1OB 长为半径画弧交x 轴于点2A ；再过点2A 作x 轴的垂线交直线于点2B ,以原点O 为圆心,2OB 长为半径画弧交x 轴于点3A ,…,按此做法进行 下去,点n A 的横坐标为A ．1)332(-n B ．23()3n C ．32()3n D ．132()3n答案：A第29题图30.如图,△ABC 是边长为1的等边三角形．取BC 边中点E ,作ED ∥AB ,EF ∥AC ,得到四边形EDAF ,它的面积记作S 1；取BE 中点E 1,作E 1D 1∥FB ,E 1F 1∥EF ,得到四边形E 1D 1FF 1,它的面积记作S 2．照此规律作下去,S 2012=A ．201023 B ．201223 C ．402423 D.402523答案：D31.观察下列图形：若图形1中阴影部分的面积为1,图形2中阴影部分的面积为43,图形3中阴影部分的面积为169,图形4中阴影部分的面积为6427,…,则第n 个图形中阴影部分的面积用字母表示为⑷⑶⑵⑴A ．n 43B ．n)43(C ．1)43(-nD ．1)43(+n答案：CA1第7题图第31题32．下列图形都是由同样大小的等边三角形按一定的规律组成,其中,第①个图形中一共有3根小棒,第②个图形中一共有9根小棒,第③个图形中一共有18根小棒,……,则第⑥个图形中小棒的根数为① ② ③A ．60B ．63C ．69D ．72 答案B33.已知a ≠0,12S a =,212S S =,322S S =,…,201220112S S =, 则2012S = 用含a 的代数式表示． 答案：1a34、如图,n +1个上底、两腰长皆为1,下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上,设四边形P 1M 1N 1N 2面积为S 1,四边形P 2M 2N 2N 3的面积为S 2,……,四边形P n M n N n N n +1的面积记为S n ,则S n = ▲答案：33121n n ++ 35、设12211=112S ++,22211=123S ++,32211=134S ++,…, 2211=1(1)n S n n +++,若12...n S S S S =则S =_________ 用含n 的代数式表示,其中n 为正整数． 答案： )1()2(2++n n n……36、如图,对面积为1的△ABC 逐次进行以下操作：第一次操作,分别延长AB 、BC 、CA 至A 1、B 1、C 1,使得A 1B =2AB ,B 1C =2BC ,C 1A =2CA ,顺次连接A 1、B 1、C 1,得到△A 1B 1C 1,记其面积为S 1；第二次操作,分别延长A 1B 1,B 1C 1,C 1A 1至A 2,B 2,C 2,使得A 2B 1=2A 1B 1,B 2C 1=2B 1C 1,C 2A 1=2C 1A 1,顺次连接A 2,B 2,C 2,得到△A 2B 2C 2,记其面积为S 2……,按此规律继续下去,可得到△A 5B 5C 5,则其面积为S 5=_________. 第n 次操作得到△A n B n C n ,则△A n B n C n 的面积S n = .答案：195 19n37、在∠A 0°＜∠A ＜90°的内部画线段,并使线段的两端点分别落在角的两边AB 、AC 上,如图所示,从点A 1开始,依次向右画线段,使线段与线段在两端点处互相垂直,A 1A 2为第1条线段．设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1,则∠A = ；若记线段A 2n-1A 2n 的长度为a n n 为正整数,如A 1A 2=a 1,A 3A 4=a 2,则此时a 2= ,a n = 用含n 的式子表示．答案：22．5；12+1(12)n -+38. 下图中的实心点个数1,5,12,22,…,被称为五角形数,若按此规律继续下去,则第5个五角形数是 ．答案：35第38题 5 12 1 22第39题 D 2D 3E 2E 3E 1D 1A BC 39.如图,已知Rt △ABC ,D 1是斜边AB 的中点,过D 1作D 1E 1⊥AC 于E 1,连结BE 1交CD 1于D 2；过D 2作D 2E 2⊥AC 于E 2,连结BE 2交CD 1于D 3；过D 3作D 3E 3⊥AC 于E 3,…,如此继续,可以依次得到点E 4、E 5、…、E n ,分别记△BCE 1、△BCE 2、△BCE 3···△BCE n 的面积为S 1、S 2、S 3、…S n . 则S n ＝ S △ABC 用含n 的代数式表示．答案：40. 一组按规律排列的数：2,0,4,0,6,0,…,其中第7个数是 ,第n 个数是 .用含字母n 的代数式表示,n 为正整数．答案：8,())1(2111+-++n n41、人们经常利用图形的规律来计算一些数的和、如在边长为1的网格图1中,从左下角开始,相邻的黑折线围成的面积分别是1,3,5,7,9,11,13,15,17…,它们有下面的规律：1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；1+3+5+7+9=52；…第1题1请你按照上述规律,计算1+3+5+7+9+11+13的值,并在图1中画出能表示该算式的图形；2请你按照上述规律,计算第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积；3请你在边长为1的网格图2中画出下列算式所表示的图形1+8=32；1+8+16=52；1+8+16+24=72；1+8+16+24+32=92．解答：解：11+3+5+7+9+11+13=72．算式表示的意义如图1．2第n条黑折线与第n﹣1条黑折线所围成的图形面积为2n﹣1．3算式表示的意义如图2,3等．。