最大值原理的其它条件（运动方程）：
dy H （状态变量的运动方程） dt d H g 1 g 2 1 2 （共态变量的运动方程） dt y y y y
加适当横截条件
第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束
0 0
Γ T G t , y, u dt k
T 0
第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束

（3）等周问题
问题重新表述为：（两个状态变量的一个无约束问题）
Max S .T .
F t , y, u dt
T 0
dy f t , y, u dt dΓ G t , y, u dt y 0 y0 Γ 0 0 y T 自由 （y0 , T给定） Γ T k （k给定）
0 u1 0 u 2 0 i 0 3
0 3u1 0 3
第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束

（2）不等式约束
如果构造拉格朗日函数为：
F f 1 c1 g 1 2 c2 g 2 即： 0 3u1
dy f t , y, u1 , u 2 dt g t , y, u1 , u 2 c1
1
S .T .

dy f t , y, u1 , u 2 dt g 1 t , y, u1 , u 2 c1 g 2 t , y, u1 , u 2 c2 u1 0
加适当横截条件
第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束

（2）不等式约束

Max S .T .

0
如果模型存在控制变量的非负性约束： ui t 0 最优控制问题如： T T Max F t , y, u1 , u 2 dt F t , y, u , u dt
1 2 0

（一）涉及控制变量的约束

（3）等周问题
引入1个新的状态变量，使得积分约束可以用这个 状态变量表示的1个条件代替： 有：
Γ t Gt , y, u dt
t 0
dΓ G t , y, u （Γ的运动方程） dt Γ 0 G t , y, u dt 0
dy H （状态变量的运动方程） dt d H g （共态变量的运动方程） dt y y y
加适当的横截条件
第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束

（2）不等式约束
2个控制变量和2个不等式约束：
Max S .T .
F t , y, u , u dt
汉密尔顿函数：
H F t , y, u1 , u2 t f t , y, u1 , u2
构造拉格朗日函数：
H 1 t c1 g 1 t , y, u1 , u2 2 t c2 g 2 t , y, u1 , u2
F f 1 c1 g 1 2 c2 g 2
并把最大化拉格朗日一阶条件的：
0 ui
直接替换为： 0, ui 0, ui 0 ui ui
其它条件跟没有变量非负性约束形式的条件一致
第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束

（2）不等式约束
拉格朗日函数： F f 1 c1 g 1 2 c2 g 2
动态最优化方法
——第10讲 具有约束的最优控制问题
第十讲 具有约束的最优控制问题

最优控制两种类型额约束

1. 涉及控制变量的约束 控制变量出现在约束中，有或者没有状态变量 （等式约束、不等式约束、等式积分约束、不 等式积分约束） 2. 涉及状态变量的约束（状态空间约束） 没有控制变量，约束仅影响状态变量
第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束

（2）不等式约束
对于 F f 1 c1 g 1 2 c2 g 2 的最大化一阶条件：




u 3 0 1 0 , u 0 , u 0 1 1 u1 u1 简化为： 0 u 2 0 u 2 0, i 0, i 0 i i 0, i 0, i 0 u 0, 0, u 0 i 3 3 1 1 i
F f 1 c1 g 1 2 c2 g 2 3u1




第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束

（2）不等式约束 0 F f 1 c1 g1 2 c2 g 2 3u1
最大化拉格朗日函数 0 的一阶条件：
第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束

（2）不等式约束
F f 1 c1 g 1 2 c2 g 2
最大值原理的其它条件（运动方程）：
dy H （状态变量的运动方程） dt d H g 1 g 2 1 2 （共态变量的运动方程） dt y y y y
由于： 3 , 3 0, u1 0 u1
第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束

所以，对于控制变量的非负性约束： ui 0 可直接把拉格朗日函数设为不包含此非负性约束的形式：
（2）不等式约束
F f 1 c1 g 1 2 c2 g 2
g t , y, u1 , u 2 c2
2
u1 0
第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束

（2）不等式约束
汉密尔顿函数：
H F t , y, u1 , u2 t f t , y, u1 , u2
构造拉格朗日函数：
0 H 1 c1 g 1 2 c2 g 2 3 0 u1
第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束

（1）等式约束
F t , y, u1 , u2 t f t , y, u1 , u2 t c g t , y, u1 , u2
最大化拉格朗日函数的一阶条件：
f g F j 1,2） 0 对于所有的t 0, T（ u j u j u j u j c g t , y, u , u 0 对于所有的t 0, T 1 2
最大化拉格朗日函数 0 的一阶条件等价为：
0 0 3 0 u1 u1 0 0 0 u2 u2
0 0 0, i 0, i 0 0, i 0, i 0 （i 1,2） i i i i 0 0 u1 0, 3 0, 3 3u1 0 3 3

（3）等周问题
1个状态变量，1个控制变量，1个积分约束问题：
Max S .T .
F t , y, u dt
T 0
dy f t , y, u dt
Gt , y, u dt k
T 0
y 0 y0
y T 自由 （y0 , T给定）
第十讲 具有约束的最优控制问题
F f g 1 g 2 1 2 3 0 u1 u1 u1 u1 F f g 1 g 2 1 2 0 u 2 u 2 u 2 u 2 ci g i 0, i 0, i u1 0, 3 0, 3 0 0 （i 1,2） i
第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束

（3）等周问题
汉密尔顿函数： H F t , y, u f t , y, u Gt , y, u 最大值原理条件：
Max
u
H
对于所有的t 0, T d H （的运动方程） dt y d H （的运动方程） dt Γ
dy H （y的运动方程） dt dΓ H （Γ的运动方程） dt
T 0
（横截条件）
第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束

（3）等周问题
由于Γ变量是人为引入，它的时间路径没有直接意义 dΓ H 所以可省略Γ的运动方程： dt 又由于：汉密尔顿函数H独立于Γ , d H 所以有： 0 t 常数 dt Γ 最大值原理条件重新表述为： Max

第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束

（1）等式约束
2个控制变量u1和u2满足1个约束条件：
g t , y, u1 , u2 c
T 0
最优控制问题： Max
F t , y, u , u dt
1 2
S .T .
dy f t , y, u1 , u 2 dt g t , y, u1 , u 2 c 边界条件
T 0 1 2
dy f t , y, u1 , u 2 dt g 1 t , y, u1 , u 2 c1 g 2 t , y, u1 , u 2 c2 边界条件
不需要求约束条件个数小于控制变量个数
第十讲 具有约束的最优控制问题

（一）涉及控制变量的约束

（2）不等式约束
源自第十讲 具有约束的最优控制问题