行列式的计算方法综述
目录
1.定义法（线性代数释疑解难参考）
2.化三角形法（线性代数释疑解难参考）
3.逐行（列）相减法（线性代数释疑解难参考）
4.升降法（加边法）（线性代数释疑解难参考）
5.利用范德蒙德行列式（线性代数释疑解难参考）
6.递推法（线性代数释疑解难参考）
7.数学归纳法（线性代数释疑解难参考）
8.拆项法（课外辅导书上参考）
9.换元方法（课外辅导书上参考）
10.拆因法（课外辅导书上参考）
线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式的计算其中起重要作用。
下面由我介绍几种常见的计算行列式的方法：
1.定义法
由定义看出，n级行列式有!n个项。
n较大时，!n是一个很大的数字。
直接用定义来计算行列式是几乎不可能的事。
但在n级行列式中的等于零的项的个数较多时，它展开式中的不等于零的项就会少一些，这时利用行列式的定义来计算行列式较方便。
例1.算上三角行列式
解：展开式的一般项为
同样，可以计算下三角行列式的值。
2.化三角形法
画三角形法是先利用行列式的性质将原行列式作某种保值变形，化为上
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（下）三角形行列式，再利用上（下）三角形行列式的特点（主对角线上元素的乘积）求出值。
例2.计算
解：各行加到第一行中
把第二列到第n 列都分别加上第一列的()1-倍，有
3.逐行（列）相减法
有这样一类行列式，每相邻两行（列）之间有许多元素相同，且这些相同元素都集中在某个角上。
因此可以逐行（列）相减的方法化出许多零元素来。
例3.计算n 级行列式
解：从第二行起，每一行的()1-倍都加上上一行，有
上式还不是特殊三角形，但每相邻两行之间有许多相同元素()10或，且最后一行有()1n -元素都是x 。
因此可再用两列逐列相减的方法：第()1n -列起，每一列的()1-倍加到后一列上
4.升降法（加边法）
升降法是在原行列式中再添加一列一行，是原来的n 阶成为()1n +阶，且往往让()1n +阶行列式的值与原n 阶行列式的值相等。
一般说，阶数高的比阶数低的计算更复杂些。
但是如果合理的选择所添加的行，列元素，是新的行列式更便于“消零”的话，则升降后有利于计算行列式的值。
例4.计算n 级行列式
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解： 1212121
2
10
10
10
1n n n
n D αααααααααααα+=++L L L
M M
M
M L
121110010101
000
n
ααα-=--L
L L M M M M L
121
110100
100100001
n
i n
n i ααααα+=
=+∑∑L
L L M M M M L
5.利用范德蒙德行列式
例5. 计算n 级行列式
解：这个行列式与范德蒙行列式很相似，可以利用行列式的性质将它化为范德蒙行列式。
n D 的第n 行依次与1n -行，2n -行,K ,2行,1行对换，再将所得到的行
列式的第n 行，依次与1n -行，2n -行,L ,2行对换。
如此继续下去，直到最后将第n 行与1n -行对换，这样经过()()()1
122112
n n n n -+-+++=-L L 次对换后，得到
这是一个范德蒙行列式。
于是有
范德蒙行列式是一个重要的行列式，它可以作为公式应用。
6.递推法
这种方法是计算n 阶行列式较有用的一种方法。
首先利用行列式性质把给
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定的n 阶行列式n D 用同样形式的低阶行列式表示出来，这种表示式称为递推关系式。
然后从递推关系式出发求出n D 的一般表示式。
例6. 计算n 级行列式
解：本题第一列只有两个非零元素，且11a 的余子式恰为1n D -。
因此我们有可能找出递推关系式。
按第一列展开得
故
这就是本题行列式的一个递推关系式，往n 减少方向递推有 故有
7.数学归纳法
计算和证明一些行列式时用数学归纳法来计算和证明比较方便，所以我们就用数学归纳法。
数学归纳法一般是在已知行列式的结果或猜出其结果作严格论证时用的方法。
例7．试证n 阶行列式 证明：用归纳法步骤 1.验证：当2n =时， 左()212122
11
x x a x a x a x a a a x
-=
=++=+++ 右212
x a x a =++∴左边=右边
注意：当本题行列式为2阶时，应取右下角的2阶与12,a a 有关的行列式，而不能取左上角的。
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2设当1n -阶时，结论成立。
则将n D 用第一列展开，有()
1
11000100100000
1
n n n n x D xD a x x +---=+--L L L M M M M L =右
8.拆项法
由行列式拆项性质知，将已知行列式拆成若干个行列式之和，计算其值，再得原行列式值。
此法称为拆行（列）法。
例8. 0000000000n a a a a a a b
a a
b a a D b
b a b b a b b b
b b b
a a
--==--L L L L L L M M M M M M M M L L 对于上面的第一行列式，将第n 列乘()b -加到其余各列上，对第二个行列式按第n 列展开，最后可得：
这样我们得一个递推公式：()
1
1n n n D a b aD --=-+
如果将第一列对b 按类此方法拆项，又可得到另一递推公式：
()
1
1n n n D b a bD --=--
取立上述两递推公式()()1
11
1
n n
n n n n D a b aD D b a bD ----⎧=--⎪⎨=--⎪⎩
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当a b ≠时，()
11
1
1n n n n a b D ab
a b
----=-- 当a b =时，()
()1
11n n n D n a -=--
9.换元方法
这种方法利用行列式的这样一条性质：
设11121111212122221222112
12,n n n
n n n nn n n nn x x x x x x
D D x x x
αααααααααααααααααα++++++=
=
+++L L L
L
L
L
L L
L L L L
L
L
则1,1
n
ij i j D D x A ==+∑
例9.计算n 阶行列式n x
x D x
ααα
α
αα
=
L
L L
L
L L L
解： ()()()000000n x x D x αα
ααααα
α
α
ααα
-++++-++=
++-+L L L L L L
L
()1
000000
n x x n x x ααααα
---=+--L L L L L L L
10．拆因法
如果行列式D 中有一些元素是x 的多项式，那么可以将行列式D 当作一个多
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项式()f x ，然后对行列式施行某些变换，求出()f x 的互素的一次因式，使得()f x 与这些因式的乘积()g x 只相差一个常数因子c ，根据多项式相等的定义，比较()f x 与()g x 的某一项的系数，求出c 的值，便可求得()D cg x =
例10.计算1
231
131
211231
n n x n D x n x +=++L
L L L L L L L L 解：已知行列式n D 是x 的()1n -次多项式，利用行列式的性质我们把
()1n -次多项式分解成n D 的一次因式的乘积。
当1x =时，n D 的第一列和第二
列的对应元素成比例，所以0n D =。
显然1x -是n D 的一个因式。
当2x =时，n D 的第一列和第三列的对应元素成比例，所以0n D =。
显然2x -是n D 的一个因式。
同法得出()3,4,,1x x x n ----L L 是n D 的因式。
因为x i -和 x j -(),,1,2,,1i j i j n ≠=-L L 为互素，所以
()()()121n
x x x n D --⎡--⎤⎣⎦L
，但n
D 的展开式中的最高项1n x -的系数是1，因此
总结
以上我们介绍了计算行列式的10种方法。
在具体计算时，要根据行列式构造上的特点，利用行列式的性质，选用适当的方法来计算。
这就需要我们熟悉个类型行列式的构造上的特点及善于不断的归纳总结。
学无止境。
明天，将是我终身学习另一天的开始。
在此谨向帮助过我的所有老师和同学表示诚挚的感谢！
此致
敬礼
潘滨
2013年12月28日希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：：
1、世事忙忙如水流，休将名利挂心头。
粗茶淡饭随缘过，富贵荣华莫强求。
2、“我欲”是贫穷的标志。
事能常足，心常惬，人到无求品自高。
3、人生至恶是善谈人过；人生至愚恶闻己过。
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