中南民族大学毕业论文(设计)学院: 数学与统计学学院专业: 统计学年级:2008 题目: 行列式计算的若干方法学生姓名: 曹金金学号:08067005指导教师姓名: 汪宝彬职称:讲师2012年4月30日中南民族大学本科毕业论文（设计）原创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果.除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品.本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担.作者签名：年月日目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key words (1)1 引言 (2)2.1排列 (2)2.2行列式的定义 (2)2.2.1 二阶、三阶行列式 (2)2.2.2 n阶行列式的定义 (3)2.2.3 几种特殊的行列式的定义 (3)2.3 行列式的基本性质 (5)3几种常见的行列式的计算方法 (6)3.1利用行列式定义直接计算 (6)3.2 利用行列式的性质计算 (6)3.3 三角化法 (7)3.4 降阶法 (8)3.5利用范德蒙德行列式求解 (10)3.6 数学归纳法 (11)3.7 拆项法 (12)3.8析因子法 (13)3.9 加边法(升阶法) (13)3.10递推公式法 (14)3.11超范德蒙行列式法 (15)3.12利用分块计算行列式 (16)4 结论 (16)致谢 (17)参考文献 (17)行列式计算的若干方法摘要：在线性代数中,行列式的求解是非常重要的. 本文首先介绍行列式的定义与性质；然后通过实例给出了计算行列式的几种方法.从文中可以看出，选择合适的计算方法可有效的计算行列式.关键词：行列式；性质；计算方法Some Methods of Determinant CalculationAbstract: Determinant plays an important role in the linear algebra. In this paperwe first introduce the definition and properties of determinant. Then several methods of the calculation are given by some examples. It can be seen from the paper that choose the appropriate calculation method can efficiently compute the determinant.Key words: determinant; property; the calculation methods1 引言行列式最早出现在十六世纪关于线性方程组的求解问题，时至今日行列式的应用却远不如此，它在消元法，矩阵论，坐标变换，多重积分中的变量替换，解行星运动的微分方程组，二次型有广泛应用，其中行列式的计算是个重要问题.利用行列式的性质与计算方法的技巧较易地解决初等数学中的一些较繁与较难解决的问题, 如运用行列式分解因式, 证明等式与不等式, 以及在几何方面的应用, 从而体现用高等数学理论与方法解决初等数学问题的优越性.线性代数在各门学科中占据着重要地位，在大多数的理工科专业都开设这个课程，是所有理工科的基础学科，而行列式在线性代数里是最为基础且最重要的一章.行列式是研究线性代数的有力手段和重要工具，主要应用在线性方程组、二次型、矩阵的计算求解中，例如求解线性方程组、求矩阵的秩、判断向量线性相关、求矩阵的特征值等.许多实际和理论问题归结为行列式计算.因此，行列式尤为重要，跟其他理工学科相辅相成，然而行列式的计算往往是极为复杂的，求解行列式的算法要比解线性方程组的算法要少得多，所以在实际运用中，我们要掌握各种计算行列式的方法，寻求最优算法来计算行列式，从而解决各种实际问题.行列式计算的基本思想：对于某些特殊的行列式可以直接利用行列式的定义计算.对于一般的行列式，我们主要有下面两种计算思想：①利用行列式的性质进行行列式的初等变换,将其划为上(或下)三角形行列式,进而得到结果.②利用行列式按行(列)展开定理进行降阶和递推.在典型的计算过程中一般两种方法同时应用,先利用性质化出尽可能多的零元素,然后再利用行(列)展开定理降阶,化为低阶行列式进行计算.本文将介绍行列式的定义以及性质，通过介绍行列式计算的基本方法——利用行列式定义直接计算、利用行列式的性质计算、三角形化法、降阶法、利用特殊行列式、数学归纳法、拆项法、析因子法、加边法、递推法、超范德蒙行列式法等.再应用实例计算行列式，理论和应用相结合，较全面的介绍行列式的几种计算方法.2 行列式的定义及性质[1][8]2.1排列定义 1 由n 个不同自然数n ,,2,1 组成的一个有序数组称作为n 级排列，n 级排列的总数为(1)(2)21!n n n n ⋅-⋅-⋅⋅=定义2 在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的大于后面的数，那么它们就为一个逆序.一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数.定义3 逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列. 2.2行列式的定义 2.2.1 二阶、三阶行列式行列式是代数式的简要记号，如下：1112112212212122a a a a a a a a =- （2-1）111213212223112233122331132132313233a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++322311332112312213a a a a a a a a a --- （2-2）分别是二阶、三阶行列式，两式的左端表示行列式的记号，右端是行列式的全面展开式.行列式的元素有两个下标，分别称为行标和列标.如32a 表示该元素位于第3行、第2列.从上面的二级行列式和三级行列式的定义中可以看出，行列式的结果都是由一些乘积的代数和，而且每一项乘积都是由行列式中位于不同的行和不同的列中的元素组成，并且所有的展开式恰好是由所有这种可能的乘积组成.每一项乘积所带的符号是由排列的逆序数奇偶性原则决定的（当排列的逆序数为偶排列时，在三级行列式的展开式定义中，该项带有正号，当排列的逆序数为奇排列时，在三级行列式的展开式定义中，该项带有正号）.2.2.2 n 阶行列式的定义 12121112121222()12!12(1)n nn n p p p p p np n n n nna a a a a a a a a a a a τ=-∑ （2-3）其中∑!n 表示对所有n 阶排列np p p 21 的种数进行相加，共有!n p n =项2.2.3 几种特殊的行列式的定义在行列式计算中，往往会将行列式转换成具有特殊形式的行列式，再进行计算，因此熟悉和掌握这些特殊行列式及其计算公式对提高计算行列式的技巧和效率是非常重要的.（1）上(下)三角行列式等于它主对角线元素的乘积.nn nnnn a a a a a a a a a221122211211= ；nn nn n n a a a a a a a a a 121121222111=. （2-4）（2）对角行列式等于它的主对角线元素的乘积，nn nna a a a a a22112211=. （2-5）（3）副对角线下(上)边的元素全为0的行列式()()11,212112221112111n n n n n n n a a a a a a a a a---=； （2-6）()()1122,1212,11121.nn n n n n n n n n nna a a a a a a a a ---=- （2-7）（4）n 阶范德蒙德行列式()2≥n()∏≤<≤-----=ni j j i n n n n n nn a a a a a a a a a a a a a a 1113121122322213211111（2-8） 称为范德蒙德（Vandermonde ）行列式，其中∏表示连乘.范德蒙德行列式的特点：① 第一行全为1； 第二行的各个数各不相同； 后一行与前一行对应列的比值等于第二行对应列的元素; ② 范德蒙德行列式为零的充要条件是12,,n a a a 这n 个数中至少有两个相同.（5）箭形行列式设n j a jj ,,3,2,0 =≠，则n n n j jj j j nnnn a a a a a a a a a a a a a a a a a 3322211111331322121131211000000⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=∑=. （2-9） 若存在某个或某些对角元()20≥=k a kk 可对k 行进行降阶处理，箭形行列式有以下几个形式：这几个形式的都可类似方法化为三角行列式进行计算.（6）分块上(下)三角行列式等于它的主对角线上各方阵的行列式的乘积分块上三角行列式，又称为上块(准)三角行列式：kk kkkk A A A A A A A A A221122211211=. （2-10）其中对角块ii A det 为i n 阶行列式，且n nki i=∑=1，n 为行列式的阶，特别地，当2=k ，11=n ，12-=n n 时成立：nnn nnnn nna a a a a a a a a a a a222211222211211=分块下三角行列式，又称为下块(准)三角行列式：kk kkk k A A A A A A A A A 221121221211=. （2-11）（7）分块对角方阵的行列式等于主对角线上各方阵的行列式的乘积kk kkA A A A A A22112211=. （2-12）2.3 行列式的基本性质性质1 行列式的行与列对应互换得到的新行列式，记作,T T D D D = （2-13） 性质2 任意对换行列式的两行（或两列）元素，其值变号.性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式. 推论 两行（或两列）元素对应相同或者有一行（或列）全为零的行列式，其值为零. 性质4 行列式中若有两行（或两列）对应元素成比例，其值为零 性质5 行变换s t λγγ+与列变换s t c c λ+行列式的值不变.性质6下列行列式成立111211112111121'''''''''11222'''''''''12212121212nn n s s s s s sn s s s s s snn n nn n n nnn n nna a a a a a a a a a a a a a a aaaaaaa a a a a a a a a +++=+ （2-14）3几种常见的行列式的计算方法3.1利用行列式定义直接计算 例1计算行列式00100210000n D n n=-解: n D 中不为零的项用一般形式表示为112211!n n n nn a a a a n ---=. （3-1）该项列标排列的逆序数t （n －1 n －2…1n ）等于(1)(2)2n n --，故(1)(2)2(1)!.n n n D n --=- （3-2）3.2 利用行列式的性质计算例2一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2,,,ij ji a a i j n =-= （3-3）则称n D 为反对称行列式，证明奇数阶反对称行列式为零. 证明：由ij ji a a =-知ii ii a a =-，即0,1,2,,ii a i n ==故行列式n D 可表示为121311223213233123000n n n n nnna a a a a a D a a a a a a -=----- 由行列式的性质A A '= （3-4）12131121311223212232132331323312312300000(1)0(1)0n n n nn n n n n n nnnnnna a a a a a a a a a a a D a a a a a a D a a a a a a ------=-=---=---- 当n 为奇数时，得n nD D =-，因而得0n D = 3.3 三角化法[2]运用行列式的性质把行列式变换成位于主对角线一侧的所有元素全等于零，这样得到的行列式等于主对角线上元素的乘积，对于次对角线上的情形，行列式的值等于()()121n n --与次对角线上所有元素的乘积.例3计算行列式xa a a a xaa D aa ax=解：把每行均加至第一行, 提出公因式(1)x n a +-,再把第一行的-a 倍分别加到第二行至第n 行,得111111111[(1)][(1)][(1)]()n ax a ax aD x n a aa x a x n a xn a x a x ax aaaa x --=+-=+-=+----例4计算n 阶行列式1232341112121n n D n n n n n =---解：利用性质7对行列式做变换，依次将第i 行乘()1-加到第1+i 行()1,,2,1 --=n n i ，再将第n ,,3,2 列全加到第1列.得()112323211110111111101111111111n n n n n nn D n nn n +--==---- 按()2111+=n n a 展开，得()11111112111n n n n D n n-+=--再将1-n 阶行列式的第1行乘()1-加到其余各行后，将第2,,2,1-n 列全加到第1-n 列，得()11111112nn nn nn n D nnn----+==--，根据副对角线下三角为零的行列式，得()()()()()()()()()12122221111122n n n n n n n n n n n D n n -----++=---=-⨯3.4 降阶法[2][3]就是把一个阶行列式化简为个阶行列式，然后以此类推，直到把阶行列式化为若干个2阶行列式来计算.特别需要注意的是，按行或列展开时一定要使某一行或某一列含有充分多的零元素，这样才能有效减少运算量. （1）一般降阶法n 阶行列式D 等于它的任一行（列）各元素与其对应代数余子式乘积的和，即1,1,2,,nij ij j D a A i n ===∑或1,1,2,,nij ij i D a A j n ===∑. （3-5）行列式按一行（列）展开能将高阶行列式转化为若干低阶行列式计算，称为降级法.这是一种计算数字行列式的常用方法.值得注意的是，在使用时应先利用行列式的性质，将某行（列）元素尽可能多的变成零，然后再展开，计算才能更方便，对一些特殊构造的行列式可利用拉普拉斯定理降阶计算.此法中由于n 级行列式D 的第i 行构成的k 级子式kn C 个，所以对一般行列式能降阶却不能减少计算量.例5 计算n 阶行列式0000000n x y x y D x y y x=分析：该行列式的元素分布规律来看，可以用直接递推降阶法，找出1n D -，再依次递推出其他项，最终可求出n D .解：根据行列式展开定理，将n D 按第一行展开，则000000000000000000000000n n x y y y x x x D xy x y x y x y x y xyxyx=-=-将后面的行列式按第一列展开，则()()100000110000nn n n n n y xy D x yy x y y xy+=--⨯=+-（2）递推降阶法设n 阶行列式ijn nD a ⨯=，欲求其值，由于交换行列式的两行（列），行列式只改变符号，故110a ≠，现在令11A a =，()12131n B a a a =，21311n a a M a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，2223232n n n nn a a aa N a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦递推降阶法可分为直接递推和间接递推.直接递推关键是找出一个关于1n D -的代数式来表示n D ，依次从123n D D D D →→→→逐级递推便可以求出n D 的值.间接递推即借助于行列式中元素的对称性，交换行列式构造出关于n D 和1n D -的方程组，从而消去1n D -就可以解得n D .例6 计算n 阶行列式0000000n a xa a a a yx D y x yx+-=-- 解：将n D 按第n 列展开可得()11111nn n n n yx yxD x D a x D ay x y+-----=+-=+-， 整理得，12111221;;.n n n n n n D x D ay D x D ay D x D ay -----=+=+=+将这1-n 个式子两边分别同乘以22,,,,1-n x x x 后，再相加得11221n n n n n D x D ayay x ayx----=++++而1D a x =+则()1221n n n n n n D x a x x y xy y ----=+++++这道例题也可以直接用一般的降阶法直接展开，一般降阶法和递推降阶法之间是没有很明确的界定，往往在计算行列式中，是两种方法融汇结合的.如果一个行列式的元素分布上比较有规律，则可以设法找出n 阶行列式n D 与低级行列式的关系依次类推，将行列式按行(列)展开，达到降阶的目的，最后将低阶行列式计算即可.3.5利用范德蒙德行列式求解[4][12]例7计算行列式1222211221212121122111111n n nn n n n n n n nx x x D x x x x x x x x x x x x ------+++=++++++解：把第1行的－1倍加到第2行，把新的第2行的－1倍加到第3行，以此类推直到把新的第n－1行的－1倍加到第n 行，便得范德蒙行列式 1222212111112111()n n i j j i nn n n nx x x D x x x x x x x x ≤≤≤---==-∏例8 计算n+1 阶行列式 122111111111122122222222122111111111nn n n nn n n n n n n n n nn n n n n n n n a a b a b a b b a a b a b a b b D a a b a b a b b ---------++++++++=解：从第i 行提取公因子ni a (i=1,2,…,n+1)就可以得到转置n+1 阶范德蒙行列式2111112111112122222122221211111211111111n n n n n n nn n n ii n n n n n n n n n n n n b b b b a a a a b b b b D aa a a ab b b b a a a a ----=-++++-++++=∏求解得111=()nj ni i i j i n jib b D a a a =≤≤≤+-∏∏3.6 数学归纳法[1][4]一般是采用不完全归纳法，先分析猜想出行列式值的规律，得到一般性结论，然后再利用数学归纳法证明结论的正确性.行列式nD 的特点是主对角线上元素含有三角函数,并且几近相同，沿主对角线两侧的元素全是1.例9计算0001001n D αβαβαβαβαβ++=+分析：221D αβαβαβ-=+=-，33222D αβααββαβ-=++=-，，所以猜想11n n n D αβαβ++-=-所以考虑用数学归纳法证明原行列式的值等于猜想值.证明：当1n =时命题成立. 假设1n k ≤-时命题成立. 当n k =时，将k D 按第一列展开()()2000010010000000101k K D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ-++++=+-++++级()()111112k k k k k k k k D D αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ--++-----=+-=+⋅-⋅=--- 当n k =时命题成立，对n N ∀∈有：11n n n D αβαβ++-=-，证明猜想值成立.3.7 拆项法[2][5]就是利用行列式的性质，将行列式拆成若干个较容易计算的行列式，再分别计算.例10行列式n xm m m m mx m m mD mmxmm m m m m x-=------的特点是主对角线的元素全部是x ，上三角与下三角的元素分别是m 和m -,二者互为相反数.此类行列式常用拆分法来计算.11100011()11n n x m m m m x m m m m mm m m mxm m m D m mm m m mxm m x mm m m mmx m m m mxm m x m D m m mxm m m mm---=--+--------=-+------1112220020()00201()()n n n x m m m mx m m m x m D m x mm mmmmx m D m x m ---++=-++----=-++1[()()]2n n n D x m x m =++- （3-6）根据行列式的性质，行列式的行列互换时行列式的值不变，得11()()n n n D x m D m x m --=+-- （3-7） 由式子（3-6），（3-7）消去1n D -，得1[()()]2n n n D x m x m =++-3.8析因子法[4][10]所谓析因子法, 就是当行列式0D =时, 求得方程的根, 从而将行列式转化为其因子和积, 这样会大大减少计算量.该方法适用于主对角线上含x 多项式的题型. 例11计算行列式2112312-23=23152319x D x -解：由行列式的定义知D 为x 的4次多项式.当1x =±时，1、2行相同，有0D =，1x ∴=±是D 的根. 当2x =±时，1、2行相同，有0D =，2x ∴=±是D 的根. 故D 有四个一次因式，1,1,2, 2.x x x x +-+- 设(1)(1)(2)(2)D a x x x x =+-+-令0x =则11231223==-1223152319D ， 即1(1)2(2)12. 3.a a ⋅⋅-⋅⋅-=-∴=-3(1)(1)(2)(2)D x x x x ∴=-+-+-3.9 加边法(升阶法)[2][4]加边升阶法是将所要计算的n 阶行列式适当地添加一行一列（或m 行m 列）得到一个新的1n +（或n m +）阶行列式，保持行列式的值不变，但要所得的1n +（n m +）阶行列式较易计算，加边法的一般做法是：1111111212212111000nn nn n n nnn nna a a a a a a a a a a a a a =或1111111212221211100nnn n n nnnn nna ab a a a a b a a a a b a a = （3-8）特殊情况取121n a a a ====或121n b b b ====例12计算行列式1111111111111111aa Db b+-=+-解：1111111110111111110111111111111111101111a a a D a b b bb ++-==-++--2211111100010001000100a a ab b b-=--=---3.10递推公式法[3][10]递推公式法就是先将行列式表示两个(或几个)低阶同型的行列式的线性关系式, 再用递推关系及某些低阶( 2 阶, 1阶)行列式的值求出D的值.该方法适用于行(列) 中0 较多的或主对角线上、下方元素相同的题型.例13计算行列式9500495049095049n D = 解：112150049594920549n n n n n D D D D ----=-=-该二阶齐次线性递归式的特征方程为2920x =-x ，其根为4、5，既有11254(5)n n n n D D D D ----=-，于是有2221232154(5)==4(5)4(6145)4n n n n n n n D D D D D D ------=--=-=同理有2221232145(4)==5(4)5(6136)5n n n n n n n D D D D D D ------=--=-=所以，115=4,45.n n n n n n D D D D ----= 联立两式的11=54.n n n D ++- 3.11超范德蒙行列式法[3][9]超范德蒙行列式法就是考察n+ 1阶范德蒙行列式()f x , 利用行列式n D与()f x 某元素余子式的关系计算行列式的方法.该方法适用于nD 具有范德蒙行列式形式的题型.例14 计算行列式(超范德蒙德行列式)12222122221212111nnn n n n n nn n nx x x x x x D x x x x x x ---=解：考察1n +阶范德蒙德行列式12222212121111112121111()()()()().nnn i j j i nn n n n n n n n nnx x x x x x x x f x x x x x x x x x x x x x x x x x ≤≤≤----==----∏显然n D 就是行列式()f x 中元素1n x -的余子式,1M n n +.即,1,1M n n n n n D A ++==-（,1n n A +为代数余子式）.又由f(x)的表达式（及根与系数的表达式）知，f(x)中1n -x 的系数为121()().n ijj i nx x x x x ≤≤≤-+++-∏即,112,11211()().()().n n n i j n n n i j j i nj i nA x x x x x D x x x x x ++≤≤≤≤≤≤=-+++-=+++-∏∏3.12利用分块计算行列式[11]分块矩阵是行列式计算中的一个重要方法，这个计算方法就是通过分块矩阵的行（列）的初等变换将它化成准三角行列式，从而可以将它化成较低阶行列式的乘积，再根据分块矩阵的公式进行计算求出行列式的值.例15计算5阶行列式00000000021212154321543215e e d d c c b b b b b a a a a a D = 解：先对行列式中的行列转换得()000000012154321543212121325c c b b b b b a a a a a e ed d D ⨯-=由公式（2-10）式，得0054354321215==b b b a a a e e d d D .4 结论行列式的计算方法灵活多变，但万变不离其宗，在计算时一定要仔细观察其类型特点，恰当运用行列式计算的常用方法及技巧，一切便可迎刃而解.选择行列式计算方法最主要的还是看行列式元素分布的规律，例如用范德蒙德行列式计算时，要注意行列式中元素的分布要与范德蒙德行列式有所相似，才能对行列式进行转换变成范德蒙德行列式计算，否则盲目的进行转换不仅不能使行列式计算更快捷反而会使计算更繁杂.所以要按不同的情况进行选择：（1）对于阶数较低的行列式可以直接用定义、性质或是化三角法进行计算；（2）而阶数较高的行列式可以进行降阶递推计算，或者进行拆分计算.当然在选择这些计算方法时不一定是一种方法独立进行计算，也可以是多种方法的综合计算，例如可以对行列式进行降阶，再根据性质展开递推出行列式的结果；也可能先对行列式进行加边升阶再递推降阶计算.有时对于一个行列式也可以有很多种计算方法计算.因此，要对行列式的性质和定理等相关的基础非常的熟悉，了解各种行列式计算方法的不同，才能针对不同的行列式选择最适合的计算方法.利用高等数学理论与方法解决初等数学问题具有很强的优越性.可以利用行列式的性质与计算方法的技巧较易地解决了初等数学中的一些较繁与较难解决的问题. 本文较全面的介绍行列式的几种计算方法，然而行列式的计算方法很多，无法一一列举，本文只介绍了其中一部分.致谢四年的读书生涯在这个季节即将画上句号.首先，我要感谢大学以来的老师们，是他们传授了我很多知识，带我走进了数学这个神奇的领域，同时也交给了我很多学习方法，使我受益匪浅；其次，感谢这篇论文所涉及的各位学者，本文引用了数位学者的研究文献，如果没有各位学者研究成果的帮助和启发，我将很难完成本片论文的写作.在此，尤其要感谢我的论文指导老师—汪宝彬老师，他对我进行了无私的指导和帮助，不厌其烦的进行论文的修改与改进，谢谢老师！参考文献[1]王萼芳. 石生明. 《高等数学》[M ] . 高等教育出版社, 2003.[2]万广龙.《行列式的计算方法与技巧》[J].大庆师范学院数学科学学院,2005.[3]黄璞生,赵冰,赵生久.《线性代数题解手册》[M].北京:机械工业出版社,2004.[4]黄光谷.《高等代数辅导与习题解答》[M].武汉:华中科技大学出版社,2005.[5]张学茂.《行列式计算的几种新方法》[J]. 江苏泰州师范高等学校, 2008.[6]杨家骐.《高等代数在初等数学中的应用》[M]. 济南: 山东教育出版社, 1992.[7]齐成辉.《求解行列式的方法和技巧》[J].陕西师范大学学报(自然科学版)，2003.[8]徐胜林，孙平.《几类特殊行列式的求解方法》[J].高等函授学报(自然科学版)，2002.[9]同济大学数学系.《线性代数》[M].北京：高等教育出版社，2007.[10]蒋银山.《行列式的计算》，[J].广东外语外贸大学南国商学院教师，2009.[11]陈文华.《计算行列式的几种特殊方法》[J]．保山师专学报，2009.[12]毛纲源.《线性代数解题方法技巧归纳》(第二版)[M].华中科技大学出版社，2000.17。