行列式的求法有多种，以下简单进行总结。

一、逆序定义法
行列式的逆序法定义如下：
1212121112121222(,,......,)12,,......,1
2(1)......n n n
n n j j j j j nj j j j n n nn
a a a a a a a a a a a a τ=
-∑
这里，12,,......,n j j j 为1,2,...,n 的任一排列，12(,,......,)n j j j τ为该排列的逆序数，求和是对所有的排列求的，因此，该和式一共有!n 项，每项都是n 个数相乘，并得计算逆序数，计算量巨大。

因此，一般而言，逆序法定义具有理论上研究的意义，而比较少用于求行列式。

但是，如果行列式的项中有大量的0，那么用逆序法计算可能会很简单。

以下举例如下：
例1：求
11
22
nn
a a a。

解答：
12121211
22
(,,......,)12,,......,(1)......n n n
j j j j j nj j j j nn
a a a a a a τ=
-∑
只当11j =，22j =，……，n j n =，其项才可能非零。

因此，
11
22
(1,2,......,)01,12,2,1,12,2,1,12,2,(1)......(1)............n n n n n n n
nn
a a a a a a a a a a a a τ=-=-=
例2、求
1
2
n
d d d 。

解答：
1212121
2
(,,......,)12,,......,(1)......n n n
j j j j j nj j j j n
d d a a a d τ=
-∑
只当1j n =，21j n =-，……，1n j =，其项才可能非零。

因此，
1
(1)2
(,1, (1)
2
1,2,1,112(1)
(1)
......n n n n n n n n n
d d a a a d d d d τ---=-=- 。

例3、求
1
2
1
n n
d d d d -。

解答：1212121
2
(,,......,)12,,......,1
(1)......n n n
j j j j j nj j j j n n
d d a a a d d τ-=
-∑
只当12j =，23j =，……，1n j n -=，1n j =时，其项才能非零，于是
1
2
(2,3,4,......,1,,1)11,22,31,,11211
(1)......(1)......n n n n n n n n
n n
d d a a a a d d d d d d τ-----=-=-
二、按任意行或任意列展开
11121212221
1
1
21
1
(1)
(1)n n
n
n i j
ij ij
j j n n nn
n
n
i j
ij ij
i i a a a a a a M A a a a M A +==+===-==-=∑∑∑∑
其中，ij M 是原行列式划去第i 行和第j 列所成的行列式，称为i 行j 列位置上的余子式，而
(1)i j ij ij A M +=-则称为i 行j 列位置上的代数余子式。

至于各个ij M 的计算，则继续按照此
递归定义计算下去。

当然，必须说的是，如果单纯这样做，计算量也是相当之大的。

不过，如果行列式中有大量零，可以考虑这种方法(没有零，就利用行列式性质弄出大量零)。

以下举几个例子：
例4、438 951 276。

解答：438
519195
951438423352853360 762627
276
=-+=⨯-⨯+⨯=
例5、3642 0157 3456 2175。

解答：
3642
342362364
0157
135653467345
3456
275215217
2175
=⨯-+
342
563635
356342317)4321141
752527
275
=⨯-⨯+⨯=⨯(--⨯+⨯=-
362
623236
34625228125(6)14
463634
215
=⨯-+⨯=⨯-+⨯-=
364
353434
345641611413317
272735
217
=-⨯+⨯-⨯=-⨯+⨯-=-
这样，
3642
342362364
0157
1356534673451(41)5147(17)230 3456
275215217
2175
=⨯-+=⨯--⨯+⨯-=-
三、利用初等变换求行列式
利用初等变换求行列式是最常用的行列式求法。

以下简单举几个例子：
例6、1111 1200 1030 1004
解答：
111111111111111112000111011101111(2)210300121001200121004011300220002------====⨯1⨯1⨯-=---------例7、
010001000
1
a b c a b c
解答：
2
222222220000000100100100100()010010010010001001
001
001
a b c a b c a b c a b c a a
a a a
b
c b b b b c c
c
c
------=
=
=
=-++
四、递归法求行列式
用递归法求行列式，必须寻找行列式的自相似结构。

以下讲解几个例题： 例8、求解范德蒙行列式
1
2
3
2
22212
3
1
11112
31111n
n n n n n n n
x x x x D x x x x x x x x ----=
1
2
3
21
31
1
2
222
22
2
12
3
212
313
111
1112
1212
12
321231312131
12213311111111100
011
1100
()
()
(n n n n n n
n n n n n n n n n n n n n
n n x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -------------==---------=--
1222
221331121311232
2223232131121312
222
3)
0()()()
11110
111()()......()0
01
11()()......()
()()......n n n n n n n n n n n n
n n n n n n
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x -------------=---=---=--
11
()n n x x D --利用上述递推公式，有
213111
21311324222
213113242243311()()......()()()......()()()......()......()()......()()()......()()......()......()(n n n n n n n n n n n D x x x x x x D x x x x x x x x x x x x D x x x x x x x x x x x x x x x x x x D ---=---=------==---------=
1)
j i i j n
x x ≤<≤-∏
例9、求解行列式
0111
1
1
n n
x x
x a a a a - 。

解答：记111
1
1
1
n n n x x D x a a a a +-=
，则
11
111
12
1
21211112011
11
1
11(1)111
(1)()..................n n n
n n n n n n n n n n n n n n n n n n
n x x x
x x x
D x x x
a a a a a a a a x
D a x D a x D a x a x D a x a x a x a a x a x +++---+---------=
=⨯
+-----=+--=+=++==++++=+++
五、其它方法
与线性代数的其它知识相结合，还有其它一些方法，日后细说。