1i jn
P( Ai Aj Ak ) 1n P( A1 A2 An ).
1i jkn
概率的重要性质
性 质3
性 质4 性 质5 性 质6 否则
设A,B是 两 个 事 件 ，A若B， 则 P(B A) P(B) P(A)；
P(B) P(A). 对 于 任 一 事A件 ，P(A) 1.
若A为A的 对 立 事 件 ， 则P(A) 1 P A.
的取值具有随机性，随机变量的取值有一定的概率（按一定的
概率取某个值 ）。样本空间上可以定义多个随机变量。随机变
量分为离散和连续随机变量。
用掷硬币10次来说明上述概念
掷硬币为随机实验， ={正面，反面}为样本空间}.
正面朝上的次数可以定义为随机变量。
6次正面朝上一个随机事件A。
P A
在所有的实验中，出现6次朝上事件的频率为A 的概率
lim F ( x) 1, lim F ( x) 0
x
x
F ( x ) 右连续，即
F (x 0) lim F (t) F (x) tx0
7 二维随机变量的分布函数 设( X , Y ) 为二维随机变量, ( x , y )为任一对实数，称函数
F(x, y) P X x Y y P X x,Y y
若AB ， 则P(AB) P(A) P(B);
P(AB) P(A) P(B) P(AB).
6、条件概率
在事件A 发生的条件下事件B 发生的概率称为条件概率，记为
PB A
P( B A ) P( AB ) P( A )
满足可列可加性：设B1 ，B2 ，… 两两互不相容的事件，即
对于i≠j, BiBj= , i,j=1,2, …,则有
右图几何意义，F(x)为阴 影部分的面积
F(x)
y
0.08 0.06 0.04
y0.02
-10
-5
y f（x）
5
x
x
P（a X b）=P（X b）- P（X a）= F(b)- F(a)
分布函数的性质
F ( x ) 单调不减，即
x1 x2 , F (x1) F (x2 )
0 F(x) 1 且
P
Bi
A
P( Bi
A ).
i1
i1
全概率公式与Bayes 公式
B1
Bn
n
Bi
i1
AB1 A
AB2
ABn
Bi B j
n
A ABi
B2
n
n
i 1
( ABi )(AB j )
P( A) P( ABi ) P(Bi ) P( A Bi ) 全概率公式
i1
i1
P(Bk
A)
P( ABk P( A)
概率与统计基础
一 随机变量与分布函数 1、随机试验
满足条件: （1）可在相同的条件下重复进行； （2）试验结果不止一个,但事先能明确所有的结果； （3）试验前不能预知哪一个结果出现的实验称为随机实验。用
E 表示。
2、样本空间
随机试验E 所有可能的结果组成的集合称为样本空间记为Ω ={e}
试验的每—个可能结果称为样本点。 3、随机事件 满足某些条件的样本点所组成的集合（为 的子集）,常用大写 字母A、B、C表示，组成随机事件的一个样本点发生称为随机 事件发生。
高温度，并设这一地区的温度不会小于To，也不会大于T1。
4 概率
对于一个随机事件A (除必然事件和不可能事件外)来说， 它在一次试验中可能发生，也可能不发生。我们希望知道的是 事件在一次试验中发生的可能性。 用一个数P(A)来表示该事件发生的可能性大小，这个数P(A)就 称为随机事件A的概率。
我们希望找到一个数来表示P(A)。 严格定义应用公理化三条件非负性、归一性和可列可加性。
)
P(Bk )P( A Bk )
n
P(Bi )P( A Bi )
i1
Bayes公式
6 一维随机变量分布函数
对于离散的 随机变量X, x1，x2，…xk是X的所有取值，则X的概率 分布列（也称概率分布）为：
X
x1
x2
…
xk
…
p
p(x1)
…
p(xk) …
设 X为随机变量, 则对于任意实数x
F (x) P( X x), x
称为X 的分布函数，对离散型随机变量，P（X =xk） pk
xk x
xk x
对连续型随机变量，其分布函数公式：
x
F( x ) f ( t ) d t x
非负可积函数 f (x) F(x) 是它 的概率密度函数
也可以将硬币朝向作为随机变量X：正面朝上X=1，否则X=0
概率的重要性质
性质1 P(S) 1，P() 0. 性质2 对任意n个事件A1, A2 ,, An ,若他们是两两 互不相容的事件，则有
否则
n
n
P( i 1
Ai
)
i 1
P( Ai )；
n
n
P( i 1
Ai )
i 1
P( Ai ) P( Ai Aj ).
E４：抛一颗骰子，观察出现的点数。 Ω 4：｛1，2，3，4，5，6}；
E５：记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。 Ω 5：{0，l，2，3，…}；
E６：在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。 Ω 6：｛t︱t≥0}；
E７：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。 Ω 7：{(x，y) ︱T0≤x≤y≤T1}，这里x示最低温度，y表示最
称为二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数，也称为X和Y的联合分布
函数，
对离散型随机变量，其联合分布函数公式：
F (x, y) P X xi ,Y y j pij
xi x y j y
xi x y j y
对连续型随机变量，其联合分布函数公式：
频率
在相同的条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件 A发生的次数nA称为事件A发生的频数。比值nA ／n称为事件 A发生的频率，并记成ƒn(A)。
当n足够大时， ƒn(A )P(A)
5、随机变量
随机变量是定义在样本空间记上的一个单值函数，用来表示
随机现象的结果的变量。常用大写字母X、Y…表示，随机变量
例1：
E1随机试验：抛一枚硬币，观察正面、反面了出现的情况。 样本空间 Ω 1：{H，T}；
E２：将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。 Ω 2：{HHH，HHT，HTH，THH，HTT，THT，TTH，TTT}；
E３：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。 Ω 3：{0，1，2，3}；