跟踪训练1 已知|a|＝4，|b|＝3，当(1)a∥b；(2)a⊥b； (3)a与b的夹角为60°时，分别求a与b的数量积. 解 (1)当a∥b时，若a与b同向， 则a与b的夹角θ＝0°， ∴a·b＝|a||b|cos θ＝4×3×cos 0°＝12. 若a与b反向，则a与b的夹角为θ＝180°， ∴a·b＝|a||b|cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.
2.平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a与b，我们把数量 |a||b|cos θ 叫 做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ ， 其 中θ是a与b的夹角. (2)规定：零向量与任一向量的数量积为0. (3)投影：设两个非零向量a、b的夹角为θ，则向量a在b方向 的投影是 |a|cos θ ，向量b在a方向上的投影是 |b|cos θ .
＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12. |a＋b|＝ a＋b2＝ a2＋2a·b＋b2
＝ 1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1.∴2a－|ab＋·ba|＋b＝12.
积的定义a·b＝|a||b|cos θ可得：|a|cos θ＝a|b·b| ；|b|cos θ＝a|a·b| .
思考2 根据投影的概念，数量a·b＝|a||b|cos θ的几何意义如何？ 答 数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影|b|cos θ的乘积，或 等于b的模与a在b方向上的投影|a|·cos θ的乘积.
第二章 平面向量
§2.4 平面向量的数量积
内容 索引
01 明目标
知重点
填要点 记疑点
02
03
探要点 究所然
当堂测 查疑缺
04
明目标、知重点
1.了解平面向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产 生位移s所做的功. 2.掌握平面向量数量积的定义和运算律，理解其几何意义. 3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量 是否垂直.
思考2 对于两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的 数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a|·|b|cos θ，那么a·b的运算结 果是向量还是数量？特别地，零向量与任一向量的数量积是多少？ 答 a·b的运算结果是数量. 0·a＝0.
思考3 对于两个非零向量a与b，夹角为θ，其数量积a·b何时为正 数？何时为负数？何时为零？ 答 当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当θ＝90° 时，a·b＝0. 小结 已知两个非零向量a与b，我们把数量|a||b|cos θ叫做a与b的 数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，其中θ是a与b的夹角， θ∈[0，π].规定：零向量与任一向量的数量积为0.
例2 已知a·b＝－9，a在b方向上的投影为－3，b在a方向上的投
影为－32，求a与b的夹角θ.
|a|cos θ＝－3，
解
∵ |b|cos
θ＝－32，
∴aa||ba··bb|| ＝＝－－332，，
－|b9| ＝－3， 即
－|a9| ＝－32，
|a|＝6， ，∴
|b|＝3.
∴cos θ＝|aa|·|bb|＝6－×93＝－12. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝120°.
反思与感悟 (1)理清“谁在谁上”的投影，再列方程，将条件转 化解决. (2)注意数量积公式的变形式的灵活应用.
跟踪训练2 已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量 2a－b在向量a＋b方向上的投影. 解 (2a－b)·(a＋b) ＝2a2＋2a·b－a·b－b2＝2a2＋a·b－b2
(2)当a⊥b时，向量a与b的夹角为90°， ∴a·b＝|a||b|cos 90°＝4×3×0＝0. (3)当a与b的夹角为60°时，
∴a·b＝|a||b|cos 60°＝4×3×12＝6.
探究点二 投影
思考1 对于两个非零向量a与b，设其夹角为θ，|a|cos θ叫做 向量a在b方向上的投影.那么该投影一定是正数吗？向量b在a 方向上的投影是什么？ 答 不一定；|b|cos θ. 小结 我们把|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos θ叫 做向量b在a方向上的投影，其中θ为向量a与b的夹角.由数量
思考4 向量的数量积与数乘向量的区别是什么？ 答 向量的数量积a·b是一个实数，不考虑方向；数乘向量λa是一 个向量，既有大小，又有方向.
例1 已知|a|＝4，|b|＝5，当(1)a∥b； (2)a⊥b；
(3)a与b的夹角为30°时，分别求a与b的数量积. 解 (1)a∥b，若a与b同向，则θ＝0°， a·b＝|a|·|b|·cos 0°＝4×5＝20； 若a与b反向，则θ＝180°， ∴a·b＝|a|·|b|cos 180°＝4×5×(－1)＝－20. (2)当a⊥b时，θ＝90°，∴a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0. (3)当a与b的夹角为30°时，a·b＝|a|·|b|cos 30°
填要点·记疑点
1.两个向量的夹角 (1)已知两个非零向量a，b，作 O→A＝a，O→B ＝b，则 ∠AOB 称作向 量a和向量b的夹角，记作 〈a，b〉，并规定它的 范围是 0≤〈a，b〉≤π .
在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有〈a，b〉 ＝(2)〈当〈b，a，a〉b〉.＝π2 时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作 a⊥b .
＝4×5× 23＝10 3.
反思与感悟 求平面向量数量积的步骤是：①求a与b的夹角θ， θ∈[0° ， 180°] ； ② 分 别 求 |a| 和 |b| ； ③ 求 数 量 积 ， 即 a·b ＝ |a|·|b|·cos θ，要特别注意书写时a与b之间用实心圆点“·”连接， 而不能用“×”连接，也不能省去.
3.数量积的几何意义 a·b的几何意义是数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向 上的投影 |b|cos θ 的乘积.
探要点·究所然 探究点一 平面F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的 功W是多少？ 答 W＝|F||s|cos θ.