将上式推广，进行递归可以得到更一般的结果，对于有n期的期权，期 权价格C满足，
C [ (
j 0
n
n! ) p j (1 p)n j MAX [0, u j d n j S K ]] r n j !(n j )!
新设变量
a 使得 a 满足 u a d na S K
，则，
买权与卖权概述
买权，又称看涨期权（Call Option），是指期权的出 售者给予期权的持有者在到期日或之前、以确定的价 格（执行价格）向期权出售者购买一定数量资产的权 力。 卖权，又称看跌期权（Put Option），是指期权的出售 者给予期权的持有者在到期日或之前、以确定的价格 （执行价格）向期权出售者卖出一定数量资产的权力。
头寸情况 策略一 从现货市场上购入1单位铜 一份看跌期权 策略二 即期现金流
(S0 P)
未来到期现金流
St MAX (0, X St )
St
MAX (0, X St )
X MAX (0, St X )
S0
P
[ X *(1 rf )T C]
从资本市场上买入面值为X的国库券
uS rB
以概率q
S B
dS rB
以概率1-q
图19.5投资组合收益二叉树图
适当选择 和B使得该组合的期末价值与期权的期末价值相等， 也就是 和B满足，
uS rB Cu dS rB Cd
即，

Cu Cd uC dCu ,B d (u d ) S (u d )r
一份看涨期权
X *(1 rf )T
C
X
MAX (0, St X )
期权定价模型
期权定价理论的核心原理是动态无套利均衡原理， 即用一组头寸不断调整的衍生工具证券组合来复制 期权，保持时刻无套利的均衡状态。 目前，最经典的两个期权定价模型是Black-Scholes 期权定价模型和二叉树（Binomial Theory）期权定 价公式。
u2SBiblioteka uSudSS
dS
d 2S
图19.3 资产价格的二叉树图
下面来分析一下以上述资产为标的物的期权的二叉树情况。 在0时刻，期权价格为C；时间为 t 时，期权价格有两种可 Cu 和Cd ；时间为 2t 时，期权价格有三种可能 能： Cuu，Cdu 和Cdd 。以此类推，图19.4中给出了期权价格的完整树 图。在时刻 i t ，期权价格有i+1种可能：
二叉树期权定价模型
衍生证券的有效期可分为n段时间间隔t，假设在每一个时间段 内资产价格从开始的S运动到两个新值uS和dS中的一个。其中 u>1,d<1，设价格上升的概率是p，下降的概率则为1-p。在0时 刻，股票价格为S；时间为t 时，股票价格有两种可能：uS和 dS；时间为 2t 时，股票价格有三种可能： u 2 S , udS和d 2 S ， 以此类推
根据无套利均衡原理可以得出该组合和期权的期初价值也应该 一样，即，
C S B Cu Cd uCd dCu r d ur [( )Cu ( )Cd ] r ud ud ud (u d )r
定义，
p
r d ur ,1 p ud ud
上式就可以简化成, C [ pCu (1 p)Cd ] r 很容易得到，
Cu [ pCuu (1 p)Cud ] r Cd [ pCud (1 p)Cdd ] r
C [ p 2Cuu 2 p(1 p)Cud (1 p)2 Cdd ] r 2 [ p 2 MAX [0, u 2 S K ] 2 p(1 p)MAX [0, duS K ] (1 p) 2 MAX [0, d 2 S K ]] r 2
期权定价模型介绍
期权的概念
期权（option）是一种选择权，期权交易实质上是一种 权利的买卖。期权的买方在向卖方支付一定数额的货 币后，即拥有在一定的时间内以一定价格向对方购买 或出售一定数量的某种商品或有价证券的权利，而不 负必须买进或卖出的义务。 按期权所包含的选择权的不同，期权可分为看涨期权 和看跌期权；按期权合约对执行时间的限制，期权可 分为欧式期权和美式期权。
Cuu MAX [0, u 2 S K ]
Cu
C
Cd
Cdu MAX [0, udS K ]
Cdd MAX [0, d 2 S K ]
图19.4 期权收益的二叉树图
假设有一个投资组合包含了 份股票和价值为B的无风险债券，那 么在期末，这个组合的价值会变成（r为无风险利率），
有关期权的专用术语： 执行价（X）：预先商定的期权执行时的交易价格。 到期日（T）：期权到达一定日期便会失效，这一日期被 称为到期日。 交易数量（N）：期权执行时，标的物品的交易数目。 期权价格（P）：为得到期权所赋予权力而支付的价格。 欧式期权是只有在到期日才能执行的期权；美式期权是在 到期日之前都可以执行的期权。
对于所有，. j a，MAX [0, u j d n j S K ] 0 对于所有，
j a，MAX [0, u j d n j S K ] u j d n j S K
n
从而
C [ (
j a
n! ) p j (1 p)n j [u j d n j S K ]] r n j !(n j )!
或（更便于实证计算的形式），
a 1 n! n! j n j j n j n C [ ( ) p (1 p) [u d S K ]] r [ ( ) p j (1 p) n j [u j d n j S K ]] r n j 0 j !( n j )! j 0 j !( n j )! n j n j j n j a 1 n! n! j n j u d j n j u d S{[ ( ) p (1 p) ( n )] [ ( ) p (1 p) ( n )]} j !( n j )! r j !( n j )! r j 0 j 0 n a 1 n! n! j n j Kr {[ ( ) p (1 p) ] [ ( ) p j (1 p) n j ]} j 0 j !( n j )! j 0 j !( n j )! n n
A B
100美元
x
图19.1 看涨期权的收益曲线
100美元
C x D
100美元
图19.2 看跌期权的收益曲线
买权与卖权的平价关系
X C S0 P T (1 rf )
考虑一下这样两个策略： 策略一：在零时刻从现货市场上购入1单位铜，同时购入一份看跌期 权。 策略二：在零时刻从资本市场上买入面值为X的国库券，同时购入一 份看涨期权。 设时刻T铜的现货价格为 St 。