（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）若 在 ， 及 所在的取值范围上恒成立，求 的取值范围；
（Ⅲ）试讨论函数 的零点的个数．
【解析】解：（Ⅰ） 是 上的奇函数
，
， （4分）
（Ⅱ）由 知 ， ，
又 在 ， 上单调递减，
在 ， 上恒成立．
对 ， 恒成立，
， （6分）
在 ， 上恒成立，即 （7分）
，
，
即 对 恒成立
令 ，则 （8分）
经检验， 满足题意．（5分）
（2） 函数 在 单调递增． 在 上恒成立．（7分）
即 在 上恒成立．即
， （10分） ．（11分）
检验， 时， ， ，仅在 处取得．所以满足题意．
．（12分）
第20讲导数解答题之导数解决含三角函数式的证明
1．已知函数 ．
（1）证明：函数 在 上单调递增；
（2）若 ， ，求 的取值范围．
【解析】解：（1）证明： ，
因为 ，所以 ， ，
于是 （等号当且仅当 时成立）．
故函数 在 上单调递增．
（2）由（1）得 在 上单调递增，
又 ，所以 ，
（ⅰ）当 时， 成立．
所以在 时 ，所以 时不符合题意．
综上，实数 的取值范围为 ， ． （12分）
（Ⅱ）解法二：因为 等价于 （6分）
设 ，则
可求 ， （8分）
所以当 时， 恒成立， 在 ， 是增函数，
所以 ，即 ，即
所以 时， 对任意 恒成立． （9分）
当 时，一定存在 ，满足在 时， ，
所以 在 是减函数，此时一定有 ，
【解析】解：（1）由于 ，
所以 ，
当 ， ，即 ， ， 时， ；
当 ， ，即 ， ， 时， ．
所以 的单调递增区间为 ， ， ，
单调递减区间为 ， ， ；
（2）令 ，
要使 总成立，只需 ， 时 ，
对 求导，可得 ，
令 ，
则 ，
所以 在 ， 上为减函数，
所以 ， ；
对 分类讨论：
①当 时， 恒成立，
所以 在 ， 上为增函数，
（3） ，
设切点坐标为 ，则切线斜率为 ，
从而切线方程为 ，
，
令 ， ，这两个函数的图象均关于点 对称，
则它们交点的横坐标也关于 对称，
从而所作的所有切线的切点的横坐标构成数列 的项也关于 成对出现，
又在 共有1008对，每对和为 ．
． （12分）
6．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）如果对于任意的 ， ， 恒成立，求实数 的取值范围．
的增区间为 ；
减区间为 ． （4分）
（2）令
要使 恒成立，只需当 时， ，
令 ，则 对 恒成立，
在 上是增函数，则 ，①当 时， 恒成立，源自在 上为增函数，， 满足题意；
②当 时， 在 上有实根 ， 在 上是增函数，
则当 ， 时， ， 不符合题意；
③当 时， 恒成立， 在 上为减函数，
不符合题意， ，即 ， ． （8分）
（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）知 时， ， ，
所以 ， （6分）
设 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时 ，所以 为增函数，
所以 ，所以 为增函数，所以 ，
所以 对任意的 恒成立． （8分）
又 ， 时， ，
所以 时 对任意的 恒成立． （9分）
当 时，设 ，则 ， ，
所以存在实数 ，使得任意 ，均有 ，所以 在 为减函数，
两边同除以 ，得 ，
所以 ，
令 ，得 ，
得 ．
因为 ，
所以 ，
因为 ，
又 ，易知 ，所以 ，
又 ，所以 ，故 ，得 ．
4．设 ．
（Ⅰ）求证：当 时， ；
（Ⅱ）若不等式 对任意的 恒成立，求实数 的取值范围．
【解析】（Ⅰ）证明： ，则 ，
设 ，则 ， （2分）
当 时， ，即 为增函数，
所以 ，
即 在 时为增函数，所以 ． （4分）
【解析】解：（1）由于 ，
所以 ，
当 ，即 时， ；
当 ，即 时， ．
所以 的单调递增区间为 ，
单调递减区间为 ；
（2）令 ，
要使 总成立，只需 时 ，
对 求导，可得 ，
令 ，
则 ，
所以 在 上为增函数，
所以 ；
对 分类讨论：
①当 时， 恒成立，
所以 在 上为增函数，
所以 ，
即 恒成立；
②当 时， 在上有实根 ，
（ⅱ）当 时，令 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，
又 ，所以 ，
故 时， ．
由 式可得 ，
令 ，则
由 式可得
令 ，得 在 上单调递增，
又 ， ，所以存在 使得 ，
即 时， ，
所以 时， ， 单调递减，
又 ，所以 ，
即 时， ，与 矛盾．
综上，满足条件的 的取值范围是 ， ．
2．已知函数 为常数， 是自然对数的底数）是实数集 上的奇函数，函数 是区间 ， 上的减函数．
因为 在 上为增函数，
所以当 时， ，
所以 ，不符合题意；
③当 时， 恒成立，
所以 在 上为减函数，
则 ，不符合题意．
综上，可得实数 的取值范围是 ， ．
8．已知 ，其中 ．
（1）若 在 处取得极值，求实数 的值．
（2）若 在 ， 上单调递增，求实数 的取值范围．
【解析】解：（1） ，（2分）
由 可得 ， ；（4分）
所以 ，
即 ，故成立；
②当 时， 在上有实根 ，
因为 在 ， 上为减函数，
所以当 ， 时， ，
所以 ，不符合题意；
③当 时， 恒成立，
所以 在 ， 上为减函数，
则 ，
由 ，可得 ，
即有 ．
综上，可得实数 的取值范围是 ， ．
7．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）如果对于任意的 ， 总成立，求实数 的取值范围．
， ． （9分）
（Ⅲ）由 知 ，
讨论函数 的零点的个数，即讨论方程 根的个数．
令 ， ，
，
当 时， ， 在 上为增函数；
当 时， ， 在 上为减函数，
当 时， （e）
而 ，
函数 、 在同一坐标系的大致图象如图所示，
①当 ，即 时，方程无解．函数 没有零点； （10分）
②当 ，即 时，方程有一个根．函数 有1个零点 （11分）
③当 ，即 时，方程有两个根．函数 有2个零点． （12分）
3．已知函数 在点 处的切线方程为 ．
（Ⅰ）求 ， 的值，并讨论 在 上的增减性；
（Ⅱ）若 ，且 ，求证： ．
（参考公式：
【解析】（Ⅰ）解：由题意知 ， 解得
故 ， ．
当 时， 为减函数，且 ，
， 为增函数．
（Ⅱ）证明：由 ，得 ，
所以 ，
即 ，即 ，不符合题意，故 不能满足题意，
综上所述， 时， 对任意 恒成立． （12分）
5．已知函数 ．
（1）求函数 的单调区间；
（2）如果对于任意的 ， 恒成立，求实数 的取值范围；
（3）设函数 ， ．过点 作函数 的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列 ，求数列 的所有项之和 的值．
【解析】解：（1） ，