1.已知函数f(x)=-cos x+ln x,则f′(1)的值为( ) A .sin1-1 B.1-sin1
C.1+sin1 D .-1-sin1
答案 C
解析∵f(x)=-cos x+ln x,∴f′(x)=1
x
+sin x,∴f
′(1)=1+sin1.
2.曲线y =tan x在x=-
π
4
处的切线方程为______ 答案
y=2x+
π
2
-1
解析y′=(
sin x
cos x
)′=
cos2x+sin2x
cos2x
=
1
cos2x
,所以在x=-
π
4
处的斜率为2,曲线y=tan x在x=-
π
4
处的切线方程为y=2x+
π
2
-1.
3.函数y=x-2sin x在(0,2π)内的单调增区间为________.答案(
π
3
,
5π
3
)
∴函数y=x-2sin x在(0,2
π)内的增区间为(
π
3
,
5π
3
).
4. 函数()2sin
f x x x
=+的部分图象可能是
O
y
x O
y
x O
y
x O
y
x
A B C D
5.已知函数f (x )=x sin x ,x ∈R ,f (-4),f (4π3),f (-5π4
)的大小关系为______(用“<”连接).
答案 f (4π3)<f (-4)<f (-5π4
). 解析 f ′(x )=sin x +x cos x ,当x ∈[5π4,4π3
]时,sin x <0,cos x <0,
∴f ′(x )=sin x +x cos x <0,则函数f (x )在x ∈[5π4,4π3
]时为减函数,
∴f (4π3)<f (4)<f (5π4
),又函数f (x )为偶函数, ∴f (4π3)<f (-4)<f (-5π4
). 6.设函数f (x )=sin x -cos x +x +1,0<x <2π,求函数f (x )的单调区间与极值.
解析 由f (x )=sin x -cos x +x +1,0<x <2π,
知f ′(x )=cos x +sin x +1,
于是f ′(x )=1+2sin(x +π4
). 令f ′(x )=0,从而sin(x +π
4)=-22,得x =π,或x =3π2
.
因此,由上表知f (x )的单调递增区间是(0,π)与(2
,2π),单调递减区间是(π,3π2),极小值为f (3π2)=3π2
,极大值为f (π)=π+2.
7. 已知函数2()sin cos f x x x x x =++
(1)若曲线()y f x =在点(,())a f a 处与直线y b =相切,求a 与b 的值。
(2)若曲线()y f x =与直线y b =有两个不同的交点,求b 的取值范围。
解:(1)'()2cos (2cos )f x x x x x x =+=+
因为曲线()y f x =在点(,())a f a 处的切线为y b =
所以'()0()f a f a b =⎧⎨=⎩,即22cos 0
sin cos a a a a a a a b +=⎧⎨++=⎩,解得0
1a b =⎧⎨=⎩
(2)因为2cos 0x +>
所以当0x >时'()0f x >,()f x 单调递增
当0x <时'()0f x <,()f x 单调递减
所以当0x =时,()f x 取得最小值(0)1f =,
所以b 的取值范围是(1,)+∞
8.已知函数.
(Ⅰ)当时,求函数值域;
(Ⅱ)当时,求函数的单调区间.
解:(Ⅰ)当时,
--------------------------------1分
由得
--------------------------------------2分
的情况如下
()()sin cos ,(0,)f x x a x x x π=-+∈π
2a =()f x π
2a >()f x π2a =π
()()sin cos ,(0,)2f x x x x x π=-+∈π
'()()cos 2f x x x
=-'()0f x =π2x =(),'()f x f x
--------------------------------------------------4分
因为,,
所以函数的值域为. ---------------------------------------------------5分 (Ⅱ),
①当时,的情况如下
-------------------------------------------------9分 所以函数的单调增区间为,单调减区间为和
②当时,的情况如下
(0)1f =(π)1f =-()f x (1,1)-'()()cos f x x a x =-π
πa <<(),'()f x f x ()f x π(,)2a π
(0,)2(,π)a πa ≥(),'()f x f x。