一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[2019·肇庆统测]若复数z 满足12i1iz +=+,则z =( )AB .32CD .122.[2019·武汉六中]设集合{}2540A x x x =∈+->N ,集合[]0,2B =,则A B =( )A .{}0,1,2B .[]0,2C .∅D .{}1,23.[2019·海淀八模]如图给出的是2000年至2016年我国实际利用外资情况,以下结论正确的是( )A .2000年以来我国实际利用外资规模与年份呈负相关B .2010年以来我国实际利用外资规模逐年增大C .2008年以来我国实际利用外资同比增速最大D .2010年以来我国实际利用外资同比增速最大4.[2019·湘潭一模]已知数列{}n a 是等比数列,其前n 项和为n S ,223S a =,则3412a a a a +=+( ) A .14B .12C .2D .45.[2019·河南名校联考]已知函数()32f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为()0,1,且()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,7,则b =( ) A .1B .2C .3D .46.[2019·肇庆统测]已知ABC △的边BC 上有一点D 满足3BD DC =,则AD 可表示为( ) A .1344AD AB AC =+ B .3144AD AB AC =+ C .2133AD AB AC =+D .4155AD AB AC =+7.[2019·遵义联考]如图为一个几何体的三视图,则该几何体中任意两个顶点间的距离的最大值为( )A.B .4 C.D .58.[2019·滨州期末]已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是PF 直线与抛物线C 的一个交点,若3PF FQ =,则QF =( ) A .3B .83C .4或83D .3或49.[2019·宁德期末]已知函数()32,0ln ,0x x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩,若函数()()g x f x x a =--有3个零点,则实数a 的取值范围是( )A .[)0,2B .[)0,1C .(],2-∞D .(],1-∞10.[2019·衡水中学]如图在圆O 中,AB ,CD 是圆O 互相垂直的两条直径,现分别以OA ,OB ,OC ,OD 为直径作四个圆,在圆O 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是( )A .1πB .12πC .112π- D .1142π-11.[2019·湖北联考]椭圆Γ:()222210x y a b a b +=>>与双曲线Ω:()222210,0x y m n m n-=>>焦点相同,F 为左焦点,曲线Γ与Ω在第一象限、第三象限的交点分别为A 、B ,且2π3AFB ∠=,则当这两条曲线的离心率之积最小时,双曲线有一条渐近线的方程是( ) A .20x y -=B .20x y +=C.0x =D0y +=12.[2019·丰台期末]如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E ,F ,G 分别是棱AB ,BC ,1CC 的中点,P 是底面ABCD 内一动点,若直线1D P 与平面EFG 不存在公共点,则三角形1PBB 的面积的最小值为( )AB .1 CD .2二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.[2019·驻马店期中]设变量x ,y 满足约束条件:3000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩,则目标函数2z x y =+的最大值为_____.14.[2019·呼和浩特调研]已知数列{}n a 满足11a =,12n n n a a +=+,则数列{}n a 的通项公式n a =____. 15.[2019·长沙一模]为培养学生的综合素养,某校准备在高二年级开设A ,B ,C ,D ,E ,F 六门选修课程,学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门,且A ,B 两门课程至少要选1门,则学生甲共有__________种不同的选法.16.[2019·黄山八校联考]不等式()2cos 3sin 3a x x -≥-对x ∀∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是________.三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(12分)[2019·镇江期末]在ABC △中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且co s co s 3co s c B b C a B +=.(1)求cos B 的值;(2)若2CA CB -=,ABC △的面积为b .18.(12分)[2019·惠州调研]在四棱锥P ABCD -中,侧面PAD ⊥底面ABCD ,底面ABCD 为直角梯形,BC AD ∥,90ADC ∠=︒,1BC CD ==,2AD =,PA PD =,E 为AD 的中点,F 为PC 的中点.(1)求证:PA ∥平面BEF ; (2)求二面角F BE A--的余弦值.19.(12分)[2019·朝阳期末]某日A ,B ,C 三个城市18个销售点的小麦价格如下表:(1)甲以B 市5个销售点小麦价格的中位数作为购买价格,乙从C 市4个销售点中随机挑选2个了解小麦价格.记乙挑选的2个销售点中小麦价格比甲的购买价格高的个数为X ,求X 的分布列及数学期望;(2)如果一个城市的销售点小麦价格方差越大,则称其价格差异性越大.请你对A ,B ,C 三个城市按照小麦价格差异性从大到小进行排序(只写出结果).20.(12分)[2019·德州期末]已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上,椭圆C 的离心率是12. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)设点A 为椭圆长轴的左端点,P ,Q 为椭圆上异于椭圆C 长轴端点的两点,记直线AP ,AQ21.(12分)[2019·泉州质检]已知函数()ln 1x f x ae x x =++. (1)当1e a =-时,证明()f x 在()0,+∞单调递减;(2)当1ea ≥-时,讨论()f x 的零点个数.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】[2019·哈尔滨三中]在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为2y k x =-,()k ∈R .以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为22cos 6sin 80ρρθρθ--+=.(1)求2C 的直角坐标方程;(2)若1C 与2C 有四个公共点,求k 的取值范围.23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】[2019·揭阳毕业]已知函数()22f x x a x =--+. (1)当2a =时,求不等式()2f x <的解集;(2)当[]2,2x ∈-时,不等式()f x x ≥恒成立,求a 的取值范围.理科数学答 案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C【解析】依题意()()()()12i 1i 12i 31i 1i 1i 1i 22z +-+===+++-,∴z =C . 2.【答案】A【解析】集合{}{}{}2540150,1,2,3,4A x x x x x =∈+-=∈-<<=>N N ,集合[]0,2B =, 则{}0,1,2AB =.故选A .3.【答案】C【解析】从图表中可以看出,2000年以来我国实际利用外资规模基本上是逐年上升的, 因此实际利用外资规模与年份正相关,选项A 错误; 我国实际利用外资规模2012年比2011年少,∴选项B 错误;从图表中的折线可以看出,2008年实际利用外资同比增速最大,∴选项C 正确; 2008年实际利用外资同比增速最大,∴选项D 错误;故选C . 4.【答案】A【解析】由题意得,22123S a a a =+=,2112a a =,公比12q =,则2341214a a q a a +==+,故选A . 5.【答案】A【解析】∵函数()32f x x ax bx c =+++的图象的对称中心为()0,1,∴()()2f x f x -+=, ∴()()()()112222f f f f ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩,即141a c a c +=⎧⎨+=⎩,得01a c =⎧⎨=⎩,∴()31f x x bx =++,()23f x x b '=+,又∵()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线过点()2,7, ∴()()17112f f -'=-,即531b b -+=-,解得1b =,故选A . 6.【答案】A【解析】画出图像如下图所示,故()33134444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+,故选A .7.【答案】C【解析】∵根据三视图得出:几何体为下图AD ,AB ,AG 相互垂直,面AEFG ⊥面ABCDE ,BC AE ∥,3AB AD AG ===,1DE =,根据几何体的性质得出:AC =GC ==5GE =,BG =,4AE=,EF CE故最长的为GC =.故选C . 8.【答案】B【解析】设Q 到l 的距离为d ,则由抛物线的定义可得QF d =, ∵3PF FQ =,∴4PQ d =,1Q x >, ∴直线PF的斜率为= ∵抛物线方程为24y x =,∴()1,0F ,准线:1l x =-, ∴直线PF 的方程为)1y x =-,与24y x =联立可得53Q x =或35Q x =(舍去), ∴58133QF d ==+=,故选B . 9.【答案】A【解析】绘制出()f x 的图像,()f x x a =+有3个零点,令()h x x a =+与()f x 有三个交点,则()h x 介于1号和2号之间,2号过原点,则0a =,1号与()f x 相切,则()2321f x x '=-=,1x =-,1y =,代入()h x 中,计算出2a =, ∴a 的范围为[)0,2,故选A . 10.【答案】C【解析】如下图所示,连接相邻两个小圆的交点,得四边形EFMN ,易知四边形EFMN 为正方形,设圆O 的半径为r ,则正方形EFMN 的边长也为r ,∴正方形的EFMN 的面积为2r ,阴影部分的面积为22222π2π22r rr r r ⎡⎤⎛⎫--=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦,∴阴影部分占总面积的比值为222π112π2πr r r -=-,即在圆O 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是112π-,故选C .11.【答案】C【解析】设双曲线的右焦点为1F ,由题意点A 与点B 关于原点对称,因此1AF BF =, 又2π3AFB ∠=,∴1π3FAF ∠=; 由椭圆与双曲线定义可得12AF AF a +=,12AF AF m -=, ∴AF a m =+,1AF a m =-,根据余弦定理可得22211112cos FF AF AF AF AF FAF =+-∠, 即()()()()222π42cos 3c a m a m a m a m =++--+-,化简得22243c m a =+≥,∴离心率乘积为2c c c a m am ⋅=≥,当且仅当223m a =(1)时,去等号;由2222a b m n -=+,∴2222243c m b m n --=+,∴223b n =(2), 再将(1)(2)代入2222a b m n -=+可得222m n =,∴双曲线的渐近线方程为0x =或0x =,故选C . 12.【答案】C【解析】延展平面EFG ,可得截面EFGHQR ,其中H 、Q 、R 分别是所在棱的中点,直线1D P 与平面EFG 不存在公共点,∴1D P ∥平面EFGHQR ,由中位线定理可得AC EF ∥,EF 在平面EFGHQR 内,AC 在平面EFGHQR 外, ∴AC ∥平面EFGHQR ,∵1D P 与AC 在平面1D AC 内相交, ∴平面1D AC ∥平面EFGHQR ,∴P 在AC 上时,直线1D P 与平面EFG 不存在公共点, ∵BO 与AC 垂直,∴P 与O 重合时BP 最小,此时,三角形1PBB的面积最小,最小值为122⨯故选C .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.【答案】92【解析】作出变量x ,y 满足约束条件:3000x y x y y +-≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩可行域如图,由2z x y =+知122zy x =-+,∴动直线122z y x =-+的纵截距2z取得最大值时,目标函数取得最大值.由300x y x y +-=⎧⎨-=⎩得33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭.结合可行域可知当动直线经过点33,22A ⎛⎫⎪⎝⎭时,目标函数取得最大值3392222z =+⨯=.故答案为92.14.【答案】21n -【解析】∵11a =,12n n n a a +=+,∴1212a a =+,2322a a =+,3432a a =+,…,112n n n a a +=﹣﹣,等式两边分别累加得:121122221n n n a a +++==+-﹣,故答案为21n -. 15.【答案】16【解析】总体种数有36C 20=,A ,B 都不选的个数有34C 4=,∴一共有16种.16.【答案】3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】令sin x t =,11t -≤≤,则原函数化为()()23g t at a t =-+-,即()()33g t at a t =-+-, 由()333at a t -+-≥-,()()21310at t t ----≥,()()()1130t at t --+-≥及10t -≤知,()130at t -+-≤,即()23a t t +≥-,(1) 当0t =,1-时(1)总成立,对01t <≤,202t t <+≤,2max332a t t -⎛⎫≥=- ⎪+⎝⎭;对10t -<<,2104t t -≤+<,2min 312a t t -⎛⎫≤= ⎪+⎝⎭,从而可知3122a -≤≤,故答案为3,122⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】(1)13;(2)3b =.【解析】(1)由cos cos 3cos c B b C a B +=及余弦定理得:2222222223222a c b a b c a c b c b aac ab ac+-+-+-+=,整理得22223ac a c b =+-, ∴由余弦定理得222213cos 223aca cb B ac ac +-===. (2)∵在ABC △中,()0,πB ∈,又∵1cos 3B =,∴sin B =,由2CA CB -=得2BA =,即2c =,由1sin 2S ac B ==可得3a =,由余弦定理得2222212cos 3223293b ac ac B =+-=+-⨯⨯⨯=,∴3b =.18.【答案】(1)见证明;(2). 【解析】(1)连接AC 交BE 于N ,并连接CE,FN ,∵BC AD ∥,12BC AD =,E 为AD 中点,∴AE BC ∥,且AE BC =, ∴四边形ABCE 为平行四边形,∴N 为AC 中点,又F 为PC 中点,∴NF PA ∥, ∵NF ⊂平面BEF ,PA ⊄平面BEF ,∴PA ∥平面BEF . (2)〖解法1〗(向量法)连接PE ,由E 为AD的中点及PA PD =PE AD ⊥,则PE ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,且交于AD ,∴PE ⊥面ABCD ,如图所示,以E 为原点,EA 、EB 、EP 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系, 则()0,0,0E ,()1,0,0A ,()0,1,0B ,()1,1,0C -,(P .∵F 为PC的中点,∴11,22F ⎛- ⎝⎭,∴()0,1,0EB =,11,22EF ⎛=- ⎝⎭, 设平面EBF 法向量为(),,x y z =m,则0000110022y EB x y EF ++=⎧⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-++=⋅=⎪⎪⎩⎩m m ,取)=m ,平面EBA 法向量可取()0,0,1=n ,设二面角F BE A --的大小为θ,显然θ为钝角,∴cos cos ,θ⋅=-=-=m n m n m nF BE A --的余弦值为.(2)〖解法2〗(几何法1)连接PE ,由E 为AD的中点及PA PD ==,得PE AD ⊥, ∵1DE =,∴PE PD 中点M ,连ME ,MF ,MA ,∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,且交于AD ,BE AD ⊥,∴BE ⊥面PAD , ∵M E ⊂面PAD ,AE ⊂面PAD ,∴BE ME ⊥,BE AE ⊥,∵F 为PC 的中点,M 为PD 的中点,M E PA ∥,NF PA ∥,∴ME NF ∥,∴M EA ∠为二面角F BE A --的平面角, 在Rt PDE △中,cos PDE ∠=,ME = 在MDA △中,由余弦定理得MA =, ∴在MEA △中,由余弦定理得cos MEA ∠= ∴二面角F BE A --的余弦值为 (2)〖解法3〗(几何法2)连接PE ,由E 为AD的中点及PA PD =,得PE AD ⊥, ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,∴PE ⊥面ABCD , ∵1BC =,∴PE连BD 交CE 于点Q ,则Q 为CE 中点,连QF ,QN ,FN ,∵F 为PC 的中点,∴PE FQ ∥,FQ ⊥面ABCD , 又QN BC ∥,∴QN BE ⊥,∴FN BE ⊥,∴FNQ ∠为二面角F BE A --的平面角的补角 在Rt FQN △中,12FQ PE ==1122QN BC ==,由勾股定理得FN =cos FNQ ∠=,∴二面角F BE A --的余弦值为 19.【答案】(1)分布列见解析,期望为1;(2)C ,A ,B .【解析】(1)B 市共有5个销售点,其小麦价格从低到高排列为:2450,2460,2500,2500,2500.∴中位数为2500,∴甲的购买价格为2500.C 市共有4个销售点,其小麦价格从低到高排列为:2400,2470,2540,2580,故X 的可能取值为0,1,2.()202224C C 10C 6P X ===,()112224C C 421C 63P X ====,()022224C C 12C 6P X ===.∴分布列为∴数学期望()()()()2100112212136E X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯=.(2)三个城市按小麦价格差异性从大到小排序为C ,A ,B .20.【答案】(1)22143x y+=;(2)过定点()1,0. 【解析】(1)由点31,2M ⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆C 上,且椭圆C 的离心率是12,可得22191412a b c a ⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,可解得222431a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩,故椭圆C 的标准方程为22143x y +=.(2)设点P ,Q 的坐标分别为()11,x y ,()22,x y ,(i )当直线PQ 斜率不存在时,由题意知,直线方程和曲线方程联立得31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,31,2Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,(ii )当直线PQ 的斜率存在时,设直线PQ 的方程为y kx m =+, 联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩,消去y 得()()2224384120k x kmx m +++-=, 由()()()2222226444341248430k m k m k m ∆=-+-=-+>,有2243k m +>,由韦达定理得:122843kmx x k +=-+,212241243m x x k -=+, 故()()1212121224y y k k x x ==-++,可得()()12124220y y x x +++=, 可得()()()()12124220kx m kx m x x +++++=, 整理为()()()2212124142440k x x km x x m ++++++=, 故有()()22222412841424404343mkm k km m kk -+-+++=++, 化简整理得2220m km k --=,解得:2m k =或m k =-,当2m k =时直线PQ 的方程为2y kx k =+,即()2y k x =+,过定点()2,0-不合题意, 当m k =-时直线PQ 的方程为y kx k =-,即()1y k x =-,过定点()1,0, 综上,由(i )(ii )知,直线PQ 过定点()1,0.21.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】(1)当1e a =-时,()1e ln 1ex f x x x =-++,()1e ln 1x f x x -+'=-+,令()()()1e ln 10x g x f x x x -=-++'=>,则()10g =, ()11e x g x x-=-'+,在()0,+∞上为减函数,且()10g '=, 令()0g x '>,得01x <<,∴()g x 的递增区间为()0,1, 同理,可得()g x 的递减区间为()1,+∞, ∴()()10g x g ≤=,即()0f x '≤, 故()f x 在()0,+∞单调递减.(2)由(1)得1e a =-时,()f x 在()0,+∞单调递减,又()10f =,∴1ea =-时,()f x 有一个零点.∵()f x 定义域为()0,+∞,故()f x x与()f x 有相同的零点,令()()e 1ln x f x a h x x xx x ==++,则()()()()2221e 11e 11xx x a a x h x x x x x -+-=+-=', 当0a ≥时,()0,1x ∈时,()0h x '<,()1,x ∈+∞时,()0h x '>, ∴()()min 1e 10h x h a ==+>,()h x 无零点,()f x 也无零点. 当10a -<<时,令()0h x '=,得1x =或1ln x a ⎛⎫=- ⎪,()1e 10h a =+>,当211e ea -≤≤-时,()()()222e 2e 222e 4222e e e e 2e 2e e 2e 0e e a h ------⋅=++<++=-++<, 当210e a -<<,即21e a ->时,311e a a -⎛⎫>- ⎪⎝⎭,31121111111e ln e ln 1110a ah a a a a a a a a a a a a a --⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+--=---+<-----+<⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎣⎦,故()h x 有一个零点,()f x 也有有一个零点. 综上可知,当0a ≥时,()f x 无零点; 当10ea -≤<时,()f x 有一个零点.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.【答案】(1)()()22132x y -+-=;(2)7k >. 【解析】(1)由222x y ρ=+,cos x ρθ=,sin y ρθ=, 代入曲线2C 的极坐标方程可得222680x y x y +--+=, 因此,曲线2C 的普通方程为()()22132x y -+-=. (2)将曲线1C 的方程可化为()()2,22,2k x x y k x x ⎧-≥⎪=⎨-<⎪⎩,由于曲线1C 与曲线2C 有四个公共点,直线()202kx y k x --=≥与曲线2C 相交且直线()202kx y k x +-=<与曲线2C 相交,<2670k k -->,解得1k <-或7k >,<2670k k +->,解得7k <-或1k >,∴7k <-或7k >,综上所述,实数k 的取值范围是7k >. 23.【答案】(1)()4,43⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭,;(2)12a ≤-. 【解析】(1)①当2x <-时,()()22262f x x x x =-+++=+<,解得4x <-, ②当22x -≤<时,()()222322f x x x x =-+-+=--<,解得423x -<<,③当2x ≥时,()()22262f x x x x =--+=--<,解得2x ≥, 综上知,不等式()2f x <的解集为()4,43⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭,. (2)当[]2,2x ∈-时,()()()()22121f x x a x a x a =--+=-++-,设()()g x f x x =-,则[]2,2x ∀∈-,()()()2210g x a x a =-++-≥恒成立, 只需()()2020g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩, 即60420a ≥⎧⎨--≥⎩,解得12a ≤-.。