第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.1函数的概念第1课时函数的概念(一)知识点1函数的概念定义设A 、B 是非空的，如果对于集合A 中的____，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有____的数y和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y ＝f (x )，x ∈A三要素对应关系y ＝f (x )，x ∈A 定义域的取值集合值域与x 的值相对应的y 的值的集合{f (x )|x ∈A}.思考1：(1)对应关系f 一定是解析式吗？(2)f (x )与f (a )有何区别与联系？知识点2区间及有关概念(1)一般区间的表示．设a ，b ∈R ，且a <b ，规定如下：定义名称符号数轴表示{x |a ≤x ≤b }闭区间{x |a ＜x ＜b }开区间{x |a ≤x ＜b }半开半闭区间{x |a ＜x ≤b }半开半闭区间(2)特殊区间的表示．定义R {x |x ≥a }{x |x >a }{x |x ≤a }{x |x <a }符号思考2：(1)区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都能用区间表示吗？(2)“∞”是数吗？以“－∞”或“＋∞”作为区间一端时这一端可以是中括号吗？基础自测1．区间[5,8)表示的集合是()A ．{x |x ≤5或x >8}B ．{x |5<x ≤8}C ．{x |5≤x <8}D ．{x |5≤x ≤8}2．已知f (x )＝2x ＋1，则f (5)＝()A ．3B ．7C ．11D ．253．函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是.4．已知f (x )＝12－x，g (x )＝－x 2＋2.(1)求f (3)，g (3)的值；(2)求f [g (2)]的值；(3)求f [g (x )]的解析式．题型探究题型一函数概念的理解例1(1)下列对应或关系式中是A 到B 的函数的是()A ．A ∈R ，B ∈R ，x 2＋y 2＝1B ．A ＝{1,2,3,4}，B ＝{0,1}，对应关系如图：C ．A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x －2D ．A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝2x －1(2)设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数y ＝f (x )的定义域为M ，值域为N ，对于下列四个图象，不可作为函数y ＝f (x )的图象的是()[归纳提升]例1（1）例1（2）1.判断一个对应关系是否是函数，要从以下三个方面去判断，即A ，B 必须是非空数集；A 中任何一个元素在B 中必须有元素与其对应；A 中任一元素在B 中必有唯一元素与其对应．2．函数的定义中“任一x ”与“有唯一确定的y ”说明函数中两变量x ，y 的对应关系是“一对一”或者是“多对一”而不能是“一对多”．【对点练习】❶下列对应是否为A 到B 的函数：(1)A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |；(2)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x 2；(3)A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ；(4)A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0.题型二求函数的定义域例2求下列函数的定义域：(1)y ＝x ＋2|x |－x ；(2)f (x )＝x 2－1x －1－4－x .[归纳提升]求函数的定义域：(1)要明确使各函数表达式有意义的条件是什么，函数有意义的准则一般有：①分式的分母不为0；②偶次根式的被开方数非负；③y ＝x 0要求x ≠0.(2)函数由两个或两个以上代数式的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使得各式子都有意义公共部分集合．(3)定义域是集合，要用集合或区间表示，若用区间表示数集，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．【对点练习】❷函数y ＝1x ＋1的定义域是()A ．[－1，＋∞)B ．[－1,0]C ．(－1，＋∞)D ．(－1,0)题型三求函数值例3已知f (x )＝x1＋x，x ∈R .(1)求f (2)，f (12)，f (3)，f (13)的值；(2)求f (2)＋f (3)＋…＋f (2018)＋f (12)＋f (13＋…＋f (12018)的值．[归纳提升]解题时要注意审题，观察分析、发现规律．【对点练习】❸已知函数f (x )＝x 2－1x 2＋1，则f (1)＋f 2f12＋…＋f10f110＝.课堂检测1．下列图形中，不能确定y 是x 的函数的是()2．设函数f (x )＝ax ＋b ，若f (1)＝－2，f (－1)＝0，则()A ．a ＝1，b ＝－1B ．a ＝－1，b ＝－1C ．a ＝－1，b ＝1D ．a ＝1，b ＝13．用区间表示数集{x |x ≤2或x >3}为.4．若f (x )＝5xx 2＋1，且f (a )＝2，则a ＝.课后自测一、选择题1．下列图形中，可以作为y 关于x 的函数图象的是()2．下列四组中的f (x )与g (x )表示相等函数的是()A ．f (x )＝x ，g (x )＝x xB ．f (x )＝x ，g (t )＝tC ．f (x )＝12，g (x )＝x2xD ．f (x )＝x ，g (x )＝|x |3．函数f (x )＝x ＋1＋12－x()A ．[－1,2)∪(2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．[－1,2)D ．[－1，＋∞)4．函数y ＝－x 2＋2x 的定义域为{－1,0,1,2,3}，那么其值域为()A ．{－3,0,1}B ．{－3,0,1,3}C ．{y |－3≤y ≤0}D ．{y |－3≤y ≤1}5．函数f (x )＝1x －1＋2－x 的定义域为()A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |1<x ≤2}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |1<x <2}6．已知函数f (x )＝3x ，则f (1a)＝()A ．1aB ．3aC ．aD ．3a二、填空题7．若[a,3a －1]为一确定区间，则a 的取值范围是___.8．若函数f (x )满足f (2x －1)＝x ＋1，则f (3)＝.9．已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的定义域是.(9题)三、解答题10．已知函数f (x )＝6x －1－x ＋5.(1)求函数f (x )的定义域；(2)求f (－1)，f (12)的值．11．已知f (x )＝11＋x(x ∈R ，且x ≠－1)，g (x )＝x 2＋2(x ∈R )．(1)求f (2)，g (2)的值；(2)求f [g (3)]的值；(3)求g (a ＋1)．第2课时函数的概念(二)知识点1同一个函数前提条件相同完全一致结论这两个函数是同一个函数思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？知识点2常见函数的定义域和值域函数一次函数反比例函数二次函数__a >0____a <0__对应关系y ＝ax ＋b (a ≠0)y ＝k x(k ≠0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)定义域R {x |x ≠0}R R值域R {y |y ≠0}{y |y ≥4ac －b 24a }{y |y ≤4ac －b 24a}思考2：求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域时为什么分a >0和a <0两种情况？基础自测1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．()(2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数．()(3)函数f (x )＝x 2－x 与g (t )＝t 2－t 是同一个函数．()2．下图中，能表示函数y ＝f (x )的图象的是()3．若函数y ＝x 2－3x 的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为()A ．{－2,0,4}B ．{－2,0,2,4}C ．{y |y ≤－94}D ．{y |0≤y ≤3}4．下表表示y 是x 的函数，则函数的值域是()x x <22≤x ≤3x >3y－101A ．{y |－1≤y ≤1}B ．RC ．{y |2≤y ≤3}D ．{－1,0,1}题型探究题型一函数的值域例1函数y＝－x2＋1，－1≤x<2的值域是()A．(－3,0]B．(－3,1]C．[0,1]D．[1,5)[归纳提升]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的值域(1)对称轴在限定区间的左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴较远的端点取最大值．【对点练习】❶下列函数中，值域为(0，＋∞)的是()A．y＝x B．y＝1x C．y＝1xD．y＝x2＋1题型二同一函数例2判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？(1)y＝xx与y＝1；(2)y＝x2与y＝x；(3)y＝x＋1·1－x与y＝1－x2.[归纳提升]判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤（1）先看定义域，若定义域不同，则两函数不同．(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数．【对点练习】❷f(x)与g(x)表示同一函数的是()A．f(x)＝x2，g(x)＝x2B．f(x)＝1，g(x)＝(x－1)0C．f(x)＝x2－9x＋3，g(x)＝x－3D．f(x)＝x2x，g(x)＝xx2题型三复合函数、抽象函数的定义域例3(1)若函数f(x)的定义域为(－1,2)，则函数f(2x＋1)的定义域为____.(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x)的定义域为.(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为.[归纳提升]函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定：(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数f[g(x)]的定义域由g(x)∈A解出．(2)若已知函数f[g(x)]的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域．【对点练习】❸(1)已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，求函数f(x－5)的定义域；(2)已知函数f(x－1)的定义域是[0,3]，求函数f(x)的定义域．误区警示函数概念理解有误例4设集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是()A．0B．1C．2D．3[方法点拨]函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B之间的关系．学科素养：求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用1．分离常数法例5求函数y＝3x＋2x－2的值域．[归纳提升]求y＝ax＋cx＋b 这种类型的函数的值域，应采用分离常数法，将函数化为y＝a＋c－abx＋b的形式．2．配方法例6求函数y＝－x2－2x＋3(－5≤x≤－2)的值域．[归纳提升]遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化为y＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a的形式，从而求得函数的值域．3．换元法例7求函数y＝x＋2x－1的值域．[归纳提升]求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围．课堂检测1．下列表格中的x与y能构成函数的是()2．下列各组函数中，表示同一函数的是()A．y＝x与y＝3x3B．y＝x2与y＝x3xC．y＝1与y＝(x＋1)0D．y＝|x|与y＝(x)2 3．已知函数f(x)的定义域[－2,3]，则函数f(x＋1)的定义域为.4．若函数f(x)＝12x2－x＋a的定义域和值域均为[1，b](b>1)，则a＋b的值为____.课后自测一、选择题1．函数f(x)＝x＋2－x的定义域是()A．[2，＋∞)B．(2，＋∞)C．(－∞，2]D．(－∞，2)2．函数y＝x＋10|x|－x()A．{x|x>0}B．{x|x<0}C．{x|x<0，且x≠－1}D．{x|x≠0，且x≠－1}3．函数f(x)＝x＋1，x∈{－1,1,2}的值域是()A．{0,2,3}B．[0,3]C．[0,3)D．[1,3) 4．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是()A．y＝x B．y＝100x＋2C．y＝16xD．y＝x2＋x＋15．已知函数y＝f(x)与函数y＝x＋3＋1－x是相等的函数，则函数y＝f(x)的定义域是() A．[－3,1]B．(－3,1)C．(－3，＋∞)D．(－∞，1] 6．若函数f(x)＝(x)2与g(x)＝x(x∈D)是相等函数，则D是()A．(－∞，0)B．(0，＋∞)C．[0，＋∞)D．(－∞，0]二、填空题7．函数y＝6－x|x|－4的定义域用区间表示为.8．函数f(x)＝2＋1x2－2x＋3的值域是.9．若函数y＝f(x)的定义域为[－1,1)，则f(2x－1)的定义域为____.三、解答题10．求下列函数的值域．(1)y＝2x＋1，x∈[1,5]；(2)y＝x－1；(3)y＝5x－14x＋2.11．已知函数y＝x2＋2x－3，分别求它在下列区间上的值域．(1)x∈R；(2)x∈[0，＋∞)；(3)x∈[－2,2]；(4)x∈[1,2]．3.1.2函数的表示法第1课时函数的表示法知识点函数的表示法表示法定义解析法用数学表达式表示两个变量之间的对应关系，这种表示方法叫做解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式图象法以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数y＝f(x)的图象，这种用__图象__表示两个变量之间对应关系的方法叫做图象法列表法列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种列出__表格__来表示两个变量之间对应关系的方法叫做列表法思考：三种表示法的优缺点分别是什么？表示法优点缺点解析法简明、全面地概括了变量之间的关系，且利用解析式可求任一自变量对应的函数值不够形象直观，而且并不是所有函数都有解析式图象法能形象直观地表示变量的变化情况只能近似地求出自变量所对应的函数值列表法不需计算可以直接看出与自变量对应的函数值只能表示有限个数的自变量所对应的函数值基础自测1．已知f (x )＝π(x ∈R )，则f (π2)等于()A ．π2B ．πC ．πD ．不确定2．已知函数y ＝f (x )的图象如图，则f (x )的定义域是()A ．(－∞，1)∪(1，＋∞)B ．RC ．(－∞，0)∪(0，＋∞)D ．(－1,0)3．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f [f (3)]的值等于_.4．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：则f [g (1)]的值为；当g [f (x )]＝2时，x ＝.题型探究题型一列表法表示函数例1某商场新进了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数x 与收款数y 之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来．[归纳提升]列表法、图象法和解析法是从三个不同的角度刻画自变量与函数值的对应关系，同一个函数可以用不同的方法表示．在应用三种方法表示函数时要注意：(1)解析法：必须注明函数的定义域．(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．(3)图象法：是否连线．【对点练习】❶某种笔记本的单价是5元，买x (x ∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y 元．试用函数的三种表示法表示函数y ＝f (x )．题型二与函数图象有关的问题例2作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]；(2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．[归纳提升](1)常见函数图象的特征：①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)是一条直线；②y ＝kxk ≠0)是与坐标轴无限接近的双曲线；③y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是顶点为(－b 2a ，4ac －b 24a )，对称轴为x ＝－b2a 的抛物线．(2)作函数图象时应注意以下几点：①在定义域内作图；②图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象；③要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．【对点练习】❷作出下列函数的图象，并指出其值域．(1)y ＝x 2＋x (－1≤x ≤1)；(2)y ＝2x(－2≤x ≤1，且x ≠0)．题型三求函数解析式角度1待定系数法求解析式例3(1)已知一次函数f (x )满足f [f (x )]＝4x ＋6，则f (x )的解析式为.(2)已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，则该二次函数的解析式为.角度2换元法(或配凑法)求解析式例4(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )的解析式为.(2)已知函数f (x ＋1)＝x 2－2x ，则f (x )的解析式为.角度3方程组法求函数解析式例5(1)已知函数f (x )满足f (x )＋2f (1x)＝x ，则函数f (x )的解析式为.(2)已知af (x )＋f (－x )＝bx ，其中a ≠±1，则函数f (x )的解析式为.[归纳提升]函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．(2)换元法：已知复合函数f [g (x )]的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围．(3)解方程组法：已知f (x )与f (1x )或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．【对点练习】❸(1)已知f (x )是一个正比例函数和一个反比例函数的和，且f (2)＝3，f (1)＝3，则f (x )＝.(2)①已知函数y ＝f (x )满足f (1x－2)＝x ＋1.求f (x )的解析式；②已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f (1x)·x －1，求f (x )的解析式．课堂检测1．如图，函数f(x)的图象是折线段，其中点A，B，C的坐标分别是(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f[f(2)]＝() A．0B．2C．4D．62．函数y＝x2－2x的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为()A．{－1,0,3}B．{0,1,2,3}C．{y|－1≤y≤3}D．{y|0≤y≤3}3．学校升旗仪式上，徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画，这幅图是下图中的()4．一个面积为100cm2的等腰梯形，上底长为x cm，下底长为上底长的3倍，则它的高y与x的函数关系为.5．已知函数f(x)＝ax＋b，且f(－1)＝－4，f(2)＝5.求：(1)a，b的值；(2)f(0)的值．课后自测一、选择题1．已知一次函数的图象过点(1,0)和(0,1)，则该一次函数的解析式为()A．f(x)＝－x B．f(x)＝x－1C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝－x＋12．已知函数f(x)由下表给出，则f(3)等于()x1≤x<222<x≤4f(x)123A．1B．2C．3D．不存在3．函数f(x)＝x|x|的图象是()4．某人开车去某地旅行，先沿直线匀速前进了a km，到达目的地后游玩了一段时间，又原路返回匀速行驶了b km(b<a)，再折回匀速前进c km，则此人距起点的距离s与时间t的关系示意图正确的是()5．若f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式为()A．g(x)＝2x＋1B．g(x)＝2x－1C．g(x)＝2x－3D．g(x)＝2x＋76．若f(x)对于任意实数x恒有3f(x)－2f(－x)＝5x＋1，则f(x)＝()A．x＋1B．x－1C．2x＋1D．3x＋3二、填空题7．已知函数f (x )的图象如图所示，其中点O ，A ，B ，C 的坐标分别为(0,0)5(0,4)，(2,0)，则f (－5)＝，f [f (2)]＝.8．若3f (x )－f (1x)＝2x (x ≠0)，则f (x )＝.9．设函数f (x )－1，x ≥0，x <0，若f (m )>m ，则m 的取值范围是.三、解答题10．作出函数的图象．(1)y ＝x2＋1，x ∈{1,2,3,4,5}；(2)y ＝2x 2－4x －3(0≤x <3)．11．设f (x )是R 上的函数，且f (0)＝1，并且对任意实数x ，y 都有f (x －y )＝f (x )－y (2x －y ＋1)．(1)求f (x )的解析式；(2)求函数的值域．第2课时分段函数知识点分段函数【分类讨论思想、数形结合思想】如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．思考：分段函数对于自变量x 的不同取值区间对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？基础自测1．函数f (x )＝x ＋1x －1的定义域为()A ．[－1,1)∪(1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(－1,1)∪(1，＋∞)2．若f (x )2x ≥0，xx <0.则f [f (－2)]＝()A ．2B ．3C ．4D．53．函数y ＝|x |的图象是()4．已知f(x )＋4x <0－4x >0，则f [f (－3)]的值为.题型探究题型一分段函数的求值问题例1已知函数f(x)＋2x≤－12－1<x<2x x≥2.(1)求f(－4)，f(3)，f[f(－2)]；(2)若f(a)＝10，求a的值．[归纳提升]求分段函数函数值的方法(1)先确定要求值的自变量属于哪一段区间．(2)然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f[f(x0)]的形式时，应从内到外依次求值．【对点练习】❶已知f(x)＋3x>10f x＋5]x≤10，则f(5)的值是()A．24B．21C．18D．16题型二分段函数的图象及应用例2已知函数f(x)＝1＋|x|－x2(－2<x≤2)．(1)用分段函数的形式表示函数f(x)；(2)画出函数f(x)的图象；(3)写出函数f(x)的值域．[归纳提升]1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤：(1)定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型．(2)设函数式：设出函数的解析式．(3)列方程(组)：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式．(4)下结论：最后用“{”表示出各段解析式，注意自变量的取值范围．2．作分段函数图象的注意点：作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是空心点．【对点练习】❷已知函数f(x)2x＋1x<12－2x x≥1.(1)画出函数的图象；(2)若f(x)＝1，求x的值．题型三分段函数的应用问题例3如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿折线BCDA由点B(起点)向点A(终点)运动，设点P 运动的路程为x，△APB的面积为y.(1)求y关于x的函数关系式y＝f(x)；(2)画出y＝f(x)的图象；(3)若△APB的面积不小于2，求x的取值范围．[归纳提升]利用分段函数求解实际应用题的策略(1)首要条件：把文字语言转换为数学语言．(2)解题关键：建立恰当的分段函数模型．(3)思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．【对点练习】❸某市有A，B两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内(含20小时)每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12小时，也不超过30小时．(1)设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为f(x)元(12≤x≤30)，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为g(x)元(12≤x≤30)，试求f(x)与g(x)的解析式；(2)问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为什么？误区警示分段函数概念的理解错误例4求函数f(x)2－1x≥0x<0的定义域．学科素养:建模应用能力数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．例5某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h(x)，其中h(x)x－12x2，0<x≤400，000，x>400，x是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本．(1)试将自行车厂的利润y表示为月产量x的函数；(2)当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？[归纳提升]求分段函数的最值，应分别计算各段函数的最值，然后再比较它们的大小，确定最后的最值．课堂检测1．已知函数f (x )中，f (1)＝0，且对任意n ∈N *，都有f (n ＋1)＝f (n )＋3，则f (3)＝()A ．0B ．3C ．6D ．92．函数f (x )＋2x ≤－12－1＜x ＜2xx ≥2，若f (x )＝3，则x 的值为()A ．1B ．1或3C ．32D ．33．函数f (x )x0≤x ≤11<x <2x ≥2的值域是()A ．RB ．[0，＋∞)C ．[0,3]D ．[0,2]∪{3}4．已知函数f (x )x －3x ＞0x ＝0x ＋3x ＜0.求f [f (12)]的值．课后自测一、选择题1．下列函数中，与函数y ＝x －1相等的是()A ．y ＝x 2－2x ＋1B ．y ＝x 2－1x ＋1C ．y ＝t －1D ．y ＝－x －122．设函数f (x )x －b ，x <1，x ，x ≥1.若f [f (56)]＝4，则b ＝()A ．1B ．78C ．34D ．123．函数y ＝－1x －1＋1的图象是下列图象中的()4．已知函数f (x )2－4x ＋6，x ≥0＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是()A ．(－3,1)∪(3，＋∞)B ．(－3,1)∪(2，＋∞)C ．(－1,1)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(1,3)5．函数f (x )x 2，0≤x ≤1，1<x <2＋1，x ≥2的值域是()A ．RB ．(0,2)∪(2，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．[0,2]∪[3，＋∞)6．某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3km)，以后每1km 价为1.8元(不足1km 按1km 计价)，则乘坐出租车的费用y (元)与行驶的里程x (km)之间的函数图象大致为下列图中的()二、填空题7．已知函数f (x )x ＋2，x <12－ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝a ，则实数a ＝.8．函数y ＝x －1－x (x ≥2)的值域为.9．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝.三、解答题10．若方程x 2－4|x |＋5＝m 有4个互不相等的实数根，求m 的取值范围．11．画出函数f (x )＝－x 2＋2x ＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f (0)，f (1)，f (3)的大小；(2)若x 1<x 2<1，比较f (x 1)与f (x 2)的大小；(3)求函数f (x )的值域．3.2函数的基本性质3.2.1单调性与最大(小)值第1课时函数的单调性知识点1函数的单调性前提条件设函数f (x )的定义域为I ，区间D ⊆I条件__∀x 1，x 2∈D __，x 1<x 2都有f (x 1)<f (x 2)都有f (x 1)>f (x 2)图示结论f (x )在区间D 上单调____f (x )在区间D 上单调特殊情况当函数f (x )在它的定义域上单调递增时，我们就称它是当函数f (x )在它的定义域上单调递减时，我们就称它是思考1：在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？知识点2函数的单调性与单调区间函数y＝f(x)在__区间D__上是单调递增或单调递减，则函数在区间D上具有(严格的)单调性，区间D叫做函数的单调区间．思考2：区间D一定是函数的定义域吗？基础自测1．函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减函数，x1，x2∈(a，b)，且x1＜x2，则有()A．f(x1)<f(x2)B．f(x1)＞f(x2)C．f(x1)＝f(x2)D．以上都有可能2．下列函数中，在区间(0,2)上为增函数的是()A．y＝3－x B．y＝x2＋1C．y＝1D．y＝－x2x3．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有f a－f b>0成立，则必有()a－bA．f(x)在R上是增函数B．f(x)在R上是减函数C．函数f(x)是先增后减D．函数f(x)是先减后增)的大小关系为.4．已知函数f(x)是区间(0，＋∞)上的减函数，那么f(a2－a＋1)与f(34题型探究题型一求函数的单调区间例1如图为函数y＝f(x)，x∈[－4,7]的图象，指出它的单调区间．[归纳提升]函数单调区间的求法及表示方法(1)由函数图象确定函数的单调区间是一种直观简单的方法，对于较复杂的函数的单调区间，可利用一些基本函数的单调性或根据函数单调性的定义来求．(2)单调区间必须是一个区间，不能是两个区间的并，如不能写成函数y＝1x在(－∞，0)∪(0，＋∞)上是减函数，而只能写成在(－∞，0)和(0，＋∞)上是减函数．(3)区间端点写法：对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，没有增减变化，所以不存在单调问题，因此写单调区间时，可以包括端点，也可以不包括端点，但对于某些点无意义时，单调区间就不包括这些点．【对点练习】❶据下列函数图象，指出函数的单调增区间和单调减区间．题型二用定义法证明函数的单调性。