函数的概念与性质
一、学习要求
①了解映射的概念，理解函数的概念；
②了解函数的单调性和奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数单调性奇偶性的方法； ③了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数；
④理解分数指数幂的概念，掌握有理数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质； ⑤理解对数函数的概念、图象和性质；⑥能够应用函数的性质、指数函数和对数函数性质解决某些简单实际问题．
二、两点解读
重点：①求函数定义域；②求函数的值域或最值；③求函数表达式或函数值；④二次函数与二次方程、二次不等式相结合的有关问题；⑤指数函数与对数函数；⑥求反函数；⑦利用原函数和反函数的定义域值域互换关系解题．
难点：①抽象函数性质的研究；②二次方程根的分布．
三、课前训练
1．函数2log )(2-=x x f 的定义域是 （ D ）
（A ）),3(+∞ （B ）),3[+∞ （C ）),4(+∞ （D ）),4[+∞
2．函数)0(1ln >+=x x y 的反函数为 （ B ）
（A ）)(1R x e
y x ∈=+ （B ）)(1R x e y x ∈=- （C ）)(1
R x e y x ∈=+ （D ）)1(1>=-x e y x 3．设⎪⎩⎪⎨⎧>≤=,
0,ln ,0,)(x x x e x g x 则=))21((g g 21 ． 4．设1,0≠>a a ，函数x a x f -=)(是增函数，则不等式0)75(log 2>+-x x a 的解集为 (2,3)
四、典型例题
例1 设x x x f -+=22lg )(，则)2()2(x
f x f +的定义域为 （ ） （A ）)4,0()0,4(Y - （B ）)4,1()1,4(Y --
（C ）)2,1()1,2(Y -- （D ）)4,2()2,4(Y -- 解：∵在x x x f -+=22lg )(中，由022>-+x
x ，得0)2)(2(<-+x x ， ∴22<<-x ，
∴在)2()2(x f x f +中，4114,11,44,222,222<<-<<-⇒⎩⎨⎧>-<<<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<-x x x x x x
x 或或． 故选B
例2 已知⎩⎨
⎧≥<+-=1,log ,1,4)13()(x x x a x a x f a
是),(+∞-∞上的减函数，那么a 的取值范围是 （ ）
（A ）)1,0( （B ）)31
,0( （C ）)31,71[ （D ）)1,71[ 解：∵)(x f 是),(+∞-∞上的减函数，当1≥x 时，x x f a log )(=，∴10<<a ；又当1<x 时，a x a x f 4)13()(+-=，∴013<-a ，∴31<a ，且1log 41)13(a a a ≥+⨯-，解得：71≥a ．∴综上，3
171<≤a ，故选C 例3 函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)
(1)2(x f x f =+，若5)1(-=f ，则=))5((f f 解：∵函数)(x f 对于任意实数x 满足条件)(1)2(x f x f =
+， ∴)()
(1
1)2(1)22()4(x f x f x f x f x f ==+=++=+，即)(x f 的周期为4， ∴5)1()5(-==f f ，
∴)45()5())5((+-=-=f f f f 5
1)1(1)21(1)1(-==+-=-=f f f 例4 设3()log (6)f x x =+的反函数为1()f x -,若]6)([1+-m f ×
27]6)([1=+-n f ，则()f m n += 2
解：,63)(1-=-x x f ,63)(,63)(11-=-=∴--n m n f m f
,27333]6)([]6)([11==⋅=+⋅+∴+--m m n m n f m f
∴m +n =3，f (m +n )=log 3(3+6)=log 39=2
（另解∵11333log (()6)log (()6)log 273m n f m f n --+=+++==,
∴3()log 92f m n +==）
例5 已知βα,是关于x 的方程042)3(22=++++k x k x 的两个实根，则实数k 为何值时，α大于3且β小于3？
解：令42)3(2)(2++++=k x k x x f ，则方程
042)3(22=++++k x k x 的两个实根可以看成是抛物线)(x f 与x 轴的两个交点（如图所示）
， 故有：0)3(<f ，所以：042)3(69<++++k k ， 解之得：8
31-<k 例6 已知函数x a x y +=有如下性质:如果常数0>a ,那么该函数在],0(a 上是减函数,在
),[+∞a 上是增函数．如果函数)0(2>+=x x
x y b
的值域为),6[+∞，求b 的值； 解：函数)0(2>+=x x x y b 的最小值是b 22，则b 22＝6，∴9log 2=b ；。