平面向量习题及答案【篇一：平面向量练习题集答案】>典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量ab的长度与ba的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量ab与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝a?a；②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝ba；④在任意四边形abcd中，m为ad的中点，n为bc的中点，则ab ＋＝2；其中正确的个数为( )a.1b.2c.3d.4【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示，mn=++且mn=++，两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段do上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1313.【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o，111所以＝＝(－)a－b)，222＝2＝2(＋)＝2(a＋b).11又＝，＝， 331所以＝ad＋＝b＋ 31115＝b(a－b)＝a， 3266111＝＋＝＋3 4412＝＝(a＋b)a＋b). 3323所以＝－ 21511＝(a＋b)－＋)＝a. 36626【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.所以? (＋)＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以bd＝bc＋cd＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5ab，所以ab， bd共线.又因为它们有公共点b，所以a，b，d三点共线.(2)因为ka＋b和a＋kb共线，因为a与b是不共线的两个非零向量，【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】已知o是正三角形bac内部一点，+2+3=0，则△oac的面积与△oab的面积之比是（3a. 2c.2 2b. 31d. 3 ）【解析】如图，在三角形abc中， oa＋2ob＋3oc＝0，整理可得oa＋oc＋2(ob＋oc)＝0.1令三角形abc中ac边的中点为e，bc边的中点为f，则点o在点f与点e连线的处，即oe＝2of. 32由于ab＝2ef，oe＝，所以ab＝3oe， 31s△oacoe?h2＝＝.故选b. 3s△oabab?h4总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图?abcd中,m,n分别是dc，bc中点.已知am=a,=b,试用a，b表示，ad与ac【解析】易知am＝ad＋dm 1＝＋， 21an＝ab＋bn＝ab2ad， 1???a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b). 332所以＝＋＝a＋b). 3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知d为△abc的边bc上的中点，△abc所在平面内有一点p，满足＋＋＝0等于( ) 1b. 2c.1 d.2 1a. 3【解析】由于d为bc边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知pb＋pc＝2pd，因此结合pa＋bp＋cp＝0即得pa＝2pd，因此易得p，a，d三点共线且d是pa＝1，即选c.题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).(1)u＝3v?(2x＋1，3)＝3(2－x，1)?(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.?2x?1??(2?x),?? 3????(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.＋|a141＋b|2的最大值为.值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△abc的角a，b，c所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin b，sin a)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△abc为等腰三角形；【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin a＝bsin b.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△abc为等腰三角形.a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1(舍去).113所以s△abc＝absin c3. 222【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，向量m＝(2cosc－1，－2)，n＝(cos c，cos c＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△abc周长的最小值为( )a.10－3c.10－23b.10＋53d.10＋231【解析】由m⊥n得2cos2c－3cos c－2＝0，解得cos c＝－cos c＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos 2【篇二：高中数学平面向量测试题及答案】选择题：1。
已知abcd为矩形，e是dc的中点，且ab=a，ad＝b，则be＝（）（a） b+a（b） b－a （c） a＋b （d） a－b2222???????????????????2．已知b是线段ac的中点，则下列各式正确的是（）（a） ab＝－bc （b） ac＝bc（c） ba＝bc（d） bc＝ac22????????????????????????3．已知abcdef是正六边形，且ab＝a，ae＝b，则bc＝（）（a） ????????????2(a?b)（b） (b?a)（c） a＋b （d） (a?b)222?????????4．设a，b为不共线向量，ab ＝a+2b,bc＝－4a－b,cd＝－5a－3b,则下列关系式中正确的是（）（a）ad＝bc （b）ad＝2bc （c）ad＝－bc??????????????????????????????????（d）ad＝－2bc??????5．将图形f按a＝（h,k）（其中h0,k0）平移，就是将图形f（）（a）向x轴正方向平移h个单位，同时向y轴正方向平移k个单位。
（b）向x轴负方向平移h个单位，同时向y轴正方向平移k个单位。
（c）向x轴负方向平移h个单位，同时向y轴负方向平移k个单位。
（d）向x轴正方向平移h个单位，同时向y轴负方向平移k个单位。
6．已知a＝（,1)，b＝(?122??3,2)，下列各式正确的是（）????????????????7．设e1与e2是不共线的非零向量，且ke1＋e2与e1＋ke2共线，则k的值是（）（a） 1 （b）－1 （c） ?1（d）任意不为零的实数9．已知m（－2，7）、n（10，－2），点p是线段mn上的点，且pn＝－2pm，则p点的坐标为（）（a）（－14，16）（b）（22，－11）（c）（6，1）（d）（2，4）????????????????????????10．已知a＝（1，2），b＝（－2，3），且ka+b与a－kb垂直，则k＝（）（a） ?1?2（b） 2?1（c） 2?3（d） 3????????2?11．把函数y?sin(x?3)?2的图象经过按a平移得到y?sinx的图象，则a＝（）（a） ????（b） ??3,2?（c） ???3,?2?（d） ?3,?2? 3,212．△abc的两边长分别为2、3，其夹角的余弦为1 ，则其外接圆的半径为（）（a）92（b）94（c）98（d）29二、填空题：13．已知m、n是△abc的边bc、ca上的点，且bm＝????3???bc,cn＝???3???ca,设ab＝???a，ac＝b，则mn＝???????14．△abc中，sinb?sinacosc,其中a、b、c是△abc的三内角，则△abc是三角形。
三、解答题：15．abcd是梯形，ab∥cd，且ab=2cd,m、n分别是dc和ab的中点，已知ab???＝a，ad＝b,试用a、b表示mn。
16．设两非零向量a和b不共线，如果ab＝a＋b，cd＝3（a－b），?????????????????????????bc?2a?8b，求证：a、b、d三点共线。
??18．在△abc中，已知abc,且a=2c,a、b、c所对的边分别为a、b、c，又a、b、c成等差数列，且b＝4，求a、c的长。
平面向量测试题答案bddba acbda ac13．15.3?b?a；14.直角34??a?b?;18.+a?5,c?519.由2cotb?cota?cotc得b2=ac2cosbcosa?sinbsinacoscsin(a?c)sin2ba2?c2?b2??2cosb??sincsinasincsinasincac?a2?c2?2b2…【篇三：平面向量练习题集答案】一. 向量的基本概念与基本运算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量的大小即向量的模（长度）的模可以比较大小．??②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行，所以在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的向量，称为平行向⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法?设ab?a,bc?b，则a+b=ab?bc=ac?????（1）0?a?a?0?a；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：ab?bc?cd?． ?pq?qr?ar，但这时必须“首尾相连”3向量的减法：??①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a?记作?a 关于相反向量有：???????（i）?(?a)=a； (ii) a+(?a)=(?a)+a=0；?????????(iii)若a、b是互为相反向量，则a=?b,b=?a,a+b=0????????②向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a?b?a?(?b)??????③作图法：a?b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量（a、b 有共同起点） 4实数与向量的积：??（Ⅰ）?a???a；??????当??0时，?a?0，方向是任意的??5两个向量共线定理：????向量b与非零向量a共线?有且只有一个实数?，使得b=?a6平面向量的基本定理：???如果e1,e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有?????一对实数?1,?2使：a??1e1??2e2，其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7 特别注意:（1）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（2）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况二. 平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底a可表示成a?xi?yj，记作a=(x,y)(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量2平面向量的坐标运算：(1) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b??x1?x2,y1?y2? (2) 若a?x1,y1?,b?x2,y2?，则ab??x2?x1,y2?y1? (3) 若a=(x,y)，则?a=(?x, ?y)(4) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a//b?x1y2?x2y1?0 (5) 若a??x1,y1?,b??x2,y2?，则a?b?x1?x2?y1?y2 若a?b，则x1?x2?y1?y2?0向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质三．平面向量的数量积 1两个向量的数量积：a?b∈r，称为向量b在a方向上的投影|a|4向量的模与平方的关系：a?a?a2?|a|5乘法公式成立：?a?b???a?b??a?b?a?a?b??a?2a?b?b?a222222?b； ?2a?b?b2226平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a?b?b?a????③分配律成立：?a?b??c?a?c?b?c?c??a?b? 特别注意：（1）结合律不成立：a??b?c???a?b??c；（2）消去律不成立a?b?a?c不能得到b?c? （3）a?b=0不能得到a=0或b=0②对实数的结合律成立：??a??b??a?b?a??b???r?7两个向量的数量积的坐标运算：8向量的夹角：已知两个非零向量a与b，作oa=a, ob=b,则∠aob=? （00???1800）叫做向量a与b的夹角cos?=cos?a,b??a?ba?b????典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量ab的长度与的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝a?a；②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝；b.2c.3d.4【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示，mn=++且mn=++，两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b). 所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段do上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，.【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o， 111所以＝＝(－)a－b)，2221313＝2＝2(＋)＝2(a＋b).11又＝，＝，33111。