2015年福建省南平一中自主招生数学学科评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.B ；2.C ；3.A ；4.C ；5.D ；6.D ；7. C ；8. A ；9.B ；10.A .二、填空题（本大题5小题，共20分）11.5；12.1010；13.2；14.()a k 112--；15.0＜a ＜61(填＂a ＜61＂不扣分)三、解答题（本大题5小题，共50分）16．（本题满分4分）解：原式=)13(9)13(23233-+--+⋅-…………………2分 =13913333-+--+- =1134- ……………………4分17.（本题满分8分）（1）证明：连OD ，∵AD 平分∠BA C ，∴∠EAD=∠DAB ，又∵OA =OD ，∴∠DAO=∠ADO ，∴∠EAD=∠ADO ，∴OD //AE ，………………2分 又DE ⊥AE ，∴OD ⊥DE ，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线………………4分 （2）解：连BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴BD ⊥AD ,在Rt ADB ∆中，由勾股定理得，AD =8， ∵∠DBA+∠DAB=︒90， 同时∠DBA+∠DBF=︒90， ∴∠DAB=∠DBF ， ………………6分 ∴ Rt △ADB ∽Rt △BDF ,∴ FBBD AB AD =,∴ BF =215……8分 18.（本题满分8分）解：当x > 0，原方程化为a ax x -=, a a x =-)1( 若1=a 时，方程无解，∴1≠a ∴1-=a ax ，由x > 0得a < 0或a > 1………………4分 当x < 0，原方程化为a ax x -=-, a a x =+)1( 若1-=a 时，方程无解，∴1-≠a∴1+=a ax ，由x < 0得-1 < a < 0 ……………………6分 所以，满足原方程没有负根的取值范围是1-≤a 或0≥a ．综上：所求的a 的取值范围是1-≤a 或1>a ……………………8分 19.（本题满分15分） 解：（1）如图1，连接AC 交BD 于O 点，∵菱形ABCD ，∠ADC ＝60°，∴△ACD 与△ABC 为等边三角形， ∵菱形ABCD 的边长为2，∴DO =BO =3223=⨯, 当点E 与点D 重合时，点P 为等边△ACD 的外心∴DP =33233232=⨯=DO ,…………………2分 当点E 与点C 重合时，点P 为等边△ABC 的外心∴DP =334331331=⨯+=+=+BO DO OP DO∴线段DP 长的取值范围为334332≤≤DP ……4分（2）证明：如图1，∵△ACD 与△ABC ∴AD =AC ，∠ADE =∠ACE =60°， ∵四边形AFCE 为⊙P 的内接四边形，∴∠AEC +∠AFC =180°,∵∠AED +∠AEC =180°, ∴∠AED =∠AFC ,∴△ADE ≌△ACF∴AE =AF ……………………………………7分 ∵∠AFE =∠ACE=60°，∴△AEF 是等边三角形. ………………………9分 （3）DNDM 11+为定值1．……………………10分 当AE ⊥CD 时，△AEF 面积最小， ……………11分此时点E 、F 分别为DC 、BC 中点连接AC 交BD 于点P ，解法一：如图2，设DM =x ，DN =y ，则CN =y -2，∵BC ∥AD ，∴△GBP ≌△MDP ，∴BG =DM =x ，∴CG =2-x ， ∵BC ∥AD ，∴△NCG ∽△NDM ，∴DMCGDN CN =，……………………………13分 ∴xxy y -=-22，∴xy y x xy -=-22，∴xy y x =+，………14分 （第19题图1）B（第19题图2）∴111=+y x ，即111=+DNDM ．…………15分 解法二：如图3，过点P 作PI ⊥DC 于I ，PJ ⊥DA 于J ，则PI =PJ =23，∵DMN DMP DNP S S S ∆∆∆=+，………13分 ∴︒⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅60sin 212121DN DM PJ DM PI DN ， ∴232123212321⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅DN DM DM DN ， ∴DN DM DM DN ⋅=+， ………14分 ∴111=+DNDM ． …………15分 20.（本题满分15分）解：（1）如图1，设P （a ，-2），(i )当a =0时，点P 与点A 重合，这时OP 的垂直平分线为1-=y ， 此时∠AOP =∠MPO =00 得，M (0, -1),(ii )当a ≠0时，设M （x ,y ） 由MP ∥y 轴，有a x =，∵M 是线段OP 的垂直平分线上一点∴MO = 又22y x MO +=，2+=y MP∴22y x +2+=y ，平方得，)1(42+=y x （1->y ）……………3分综上,所求的函数关系式为()142+=y x .………5分(2)由（1）知当点M 在)1(42+=y x 上时，作MG 垂直于y =-2于点G ， 由（1）的推导过程得则︱MO ︱=︱MG ︱,（第19题图3）(第20题图1)则︱MO ︱+︱MT ︱=︱MG ︱+︱MT ︱，………7分作TF 垂直于直线y =-2于点F ，则︱MG ︱+︱MT ︱≥︱TF ︱， 又T (1，2)，得︱TF ︱=3，在 )1(42+=y x 中，令x =1得43-=y ， 即当点M 的坐标为（错误!未找到引用源。

1,43-）时，︱MO ︱+︱MT ︱的最小值为4. ………10分(3)①不妨取m =1得直线为y =x ，取m =2得直线为y =2x -1，联立两直线得点B (1,1) ……………………11分 （注：本题也可取其它的m 值）②依题意，直线1+-=m mx y )0(≠m 和)1(42+=y x （1-≥y ）相交于C ,D 两 点，过点 B 作BB /垂直于x 轴于点B /,则B /(1,0),过点 C 作CC /垂直于x 轴于点C /, 过点D 作DD /垂直于x 轴于点D /,设C (),(11y x ,D (),(22y x ,那么C /()0,(1x ,D /()0,(2x ， 不妨设x 1<x 2,如图所示，∵DB CB >,由相似比得////B D B C >， ∴1121->-x x ∴221<+x x ， ……………………13分 又联立直线1+-=m mx y )0(≠m 和)1(42+=y x得到08442=-+-m mx x ， 由221<+x x 及韦达定理得24<m ，∴21<m∴所求m 的取值范围为m ＜21且0≠m ……………………15分(第20题图2)x yOMTFGxB CD OB /D /C /y(第20题图3)2015年福建省南平一中自主招生数学学科评分标准一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1.B ；2.C ；3.A ；4.C ；5.D ；6.D ；7. C ；8. A ；9.B ；10.A .二、填空题（本大题5小题，共20分）11.5；12.1010；13.2；14.()a k 112--；15.0＜a ＜61(填＂a ＜61＂不扣分) 三、解答题（本大题5小题，共50分）16．（本题满分4分）解：原式=)13(9)13(23233-+--+⋅-…………………2分 =13913333-+--+- =1134- ……………………4分17.（本题满分8分）（1）证明：连OD ，∵AD 平分∠BA C ，∴∠EAD=∠DAB ，又∵OA =OD ，∴∠DAO=∠ADO ，∴∠EAD=∠ADO ，∴OD //AE ，………………2分 又DE ⊥AE ，∴OD ⊥DE ，∵OD 是⊙O 的半径，∴DE 是⊙O 的切线………………4分 （2）解：连BD ，∵AB 为⊙O 的直径，∴BD ⊥AD ,在Rt ADB ∆中，由勾股定理得，AD =8， ∵∠DBA+∠DAB=︒90， 同时∠DBA+∠DBF=︒90， ∴∠DAB=∠DBF ， ………………6分 ∴ Rt △ADB ∽Rt △BDF ,∴ FB BD AB AD =,∴ BF =215……8分 18.（本题满分8分）解：当x > 0，原方程化为a ax x -=, a a x =-)1( 若1=a 时，方程无解，∴1≠a ∴1-=a ax ，由x > 0得a < 0或a > 1………………4分 当x < 0，原方程化为a ax x -=-, a a x =+)1( 若1-=a 时，方程无解，∴1-≠a∴1+=a ax ，由x < 0得-1 < a < 0 ……………………6分 所以，满足原方程没有负根的取值范围是1-≤a 或0≥a ．综上：所求的a 的取值范围是1-≤a 或1>a ……………………8分 19.（本题满分15分） 解：（1）如图1，连接AC 交BD 于O 点，∵菱形ABCD ，∠ADC ＝60°，?△ACD 与△ABC 为等边三角形， ∵菱形ABCD 的边长为2，?DO =BO =3223=⨯, 当点E 与点D 重合时，点P 为等边△ACD 的外心∴DP =33233232=⨯=DO ,…………………2分 当点E 与点C 重合时，点P 为等边△ABC 的外心DP =334331331=⨯+=+=+BO DO OP DO线段DP 长的取值范围为334332≤≤DP ……4分（2）证明：如图1，∵△ACD 与△ABC AD =AC ，∠ADE =∠ACE =60°， ∵四边形AFCE 为⊙P 的内接四边形，∠AEC +∠AFC =180°,∵∠AED +∠AEC =180°, ∠AED =∠AFC ,?△ADE ≌△ACFAE =AF ……………………………………7分 ∵∠AFE =∠ACE=60°，△AEF 是等边三角形. ………………………9分 （3）DNDM 11+为定值1．……………………10分 当AE ⊥CD 时，△AEF 面积最小， ……………11分此时点E 、F 分别为DC 、BC 中点连接AC 交BD 于点P ，解法一：如图2，设DM =x ，DN =y ，则CN =y -2，∵BC ∥AD ，?△GBP ≌△MDP ，?BG =DM =x ，?CG =2-x ， ∵BC ∥AD ，?△NCG ∽△NDM ，?DMCGDN CN =，……………………………13分xxy y -=-22，?xy y x xy -=-22，?xy y x =+，………14分 （第19题图1）（第19题图2）111=+y x ，即111=+DNDM ．…………15分 解法二：如图3，过点P 作PI ⊥DC 于I ，PJ ⊥DA 于J ，则PI =PJ =23，∵DMN DMP DNP S S S ∆∆∆=+，………13分︒⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅60sin 212121DN DM PJ DM PI DN ，232123212321⋅⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅DN DM DM DN ， DN DM DM DN ⋅=+， ………14分111=+DNDM ． …………15分 20.（本题满分15分）解：（1）如图1，设P （a ，-2），(i )当a =0时，点P 与点A 重合，这时OP 的垂直平分线为1-=y ，此时∠AOP =?MPO =00 得，M (0, -1),(ii )当a ≠0时，设M （x ,y ） 由MP ∥y 轴，有a x =，∵M 是线段OP 的垂直平分线上一点∴MO = 又22y x MO += ，2+=y MP∴22y x +2+=y ，平方得，)1(42+=y x （1->y ）……………3分综上,所求的函数关系式为()142+=y x .………5分(2)由（1）知当点M 在)1(42+=y x 上时，作MG 垂直于y =-2于点G ， 由（1）的推导过程得则︱MO ︱=︱MG ︱,（第19题图3）B(第20题图1)则︱MO ︱+︱MT ︱=︱MG ︱+︱MT ︱，………7分作TF 垂直于直线y =-2于点F ，则︱MG ︱+︱MT ︱≥︱TF ︱， 又T (1，2)，得︱TF ︱=3，在 )1(42+=y x 中，令x =1得43-=y ， 即当点M 的坐标为（错误！未找到引用源。