专题突破练23专题六统计与概率过关检测一、单项选择题1.(2019全国Ⅲ,理4)(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为()A.12B.16C.20D.242.(2020陕西西安中学月考,2)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示,为了了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.100,20B.200,20C.100,10D.200,103.(2020江西宜春5月模拟,3)高铁、扫码支付、共享单车、网购并称中国“新四大发明”.近日对全国100个城市的共享单车和扫码支付的使用人数进行大数据分析,其中共享单车使用的人数分别为x1,x2,x3,…,x100,它们的平均数为x,方差为s2;扫码支付使用的人数分别为2x1+3,2x2+3,2x3+3,…,2x100+3,它们的平均数为x',方差为s'2,则x',s'2分别为()A.2x+3,2s2+3B.2x,2s2C.2x+3,4s2+3D.2x+3,4s24.(2020安徽滁州模拟,3)2018年元旦期间,某高速公路收费站的三个高速收费口每天通过的小汽车数X(单位:辆)均服从正态分布N(600,σ2),若P(500<X<700)=0.6,假设三个收费口均能正常工作,则这三个收费口每天至少有一个通过的小汽车超过700辆的概率为()A.1125B.12125C.61125D.641255.(2020河南濮阳二模,6)2020年2月,受新冠肺炎的影响,医卫市场上出现了“一罩难求”的现象.在政府部门的牵头下,甲工厂率先转产生产口罩.为了解甲工厂生产口罩的质量,某调查人员随机抽取了甲工厂生产的6个口罩,将它们的质量(单位:g)统计如下图所示.记这6个口罩质量的平均数为m,则在其中任取2个口罩,质量都超过m的概率为()A.115B.215C.15D.4156.(2020山东聊城二模,6)在2019年女排世界杯比赛中,中国队以十一连胜的骄人成绩夺得了冠军,成功卫冕,收到习近平总书记的贺电,团结协作、顽强拼搏是中国女排精神,为学习女排精神,A,B两校排球队进行排球友谊赛,采取五局三胜制,每局都要分出胜负,根据以往经验,单局比赛中A 校排球队胜B 校排球队的概率为35,设各局比赛相互之间没有影响,则在此次比赛中,四局结束比赛的概率为( ) A.72625B.78625C.162625D.2346257.(2020江西重点中学协作体第一次联考,7)有歌唱道:“江西是个好地方,山清水秀好风光.”现有甲乙两位游客慕名来到江西旅游,分别准备从庐山、三清山、龙虎山和明月山4个著名旅游景点中随机选择其中一个景点游玩,记事件A :甲和乙至少一人选择庐山,事件B :甲和乙选择的景点不同,则条件概率P (B|A )=( ) A.716B.78C.37D.678.(2020山东临沂高三检测,8)在二项式(√x +12√x4)n的展开式中,前三项的系数成等差数列,把展开式中所有的项重新排成一列,有理项都互不相邻的概率为( ) A.16B.14C.512D.13二、多项选择题9.(2020福建泉州一模,11)PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地9月1日到10日的PM2.5日均值(单位:μg/m 3)的折线图,则下列说法正确的是( )A.这10天中PM2.5日均值的众数为33B.这10天中PM2.5日均值的中位数是32C.这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数D.这10天中PM2.5日均值前4天的方差大于后4天的方差 10.(2020山东济宁二模,9)下列说法中正确的是( )A.对具有线性相关关系的变量x ,y 有一组观测数据(x i ,y i )(i=1,2,…,8),其线性回归方程是y ^=13x+a ^,且x 1+x 2+x 3+…+x 8=2(y 1+y 2+y 3+…+y 8)=6,则实数a ^的值是18 B.正态分布N (1,9)在区间(-1,0)和(2,3)上取值的概率相等C.若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的值越接近于1D.若一组数据1,a ,2,3的平均数是2,则这组数据的众数和中位数都是211.(2020海南省海南中学高三月考,10)已知某校高三年级有1 000人参加一次数学模拟考试,现把这次考试的分数转换为标准分,标准分的分数转换区间为(60,300],若使标准分X服从正态分布N(180,900),则下列说法正确的有()参考数据:①P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.682 6;②P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.954 4;③P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.997 4A.这次考试标准分超过180分的约有450人B.这次考试标准分在(90,270]内的人数约为997C.甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为38D.P(240<X≤270)=0.04312.(2020山东泰安三模,11)若(1-2x)2 009=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+a2 009x2 009(x∈R),则下列选项正确的是()A.a0=1B.a1+a3+a5+…+a2 009=32009+1C.a0+a2+a4+…+a2 008=32009-1D.a12+a222+a323+…+a200922009=-1三、填空题13.设常数a∈R,若(x2+ax )5的二项展开式中x7项的系数为-10,则a=.14.(2020山东泰安一模,15)《易经》是中国传统文化中的精髓,如图是易经八卦(含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦),每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线,“”表示一根阴线),从八卦中任取两卦,这两卦的六根线中恰有两根阳线,四根阴线的概率为.15.(2020天津十二区县高三毕业联考,13)为了贯彻落实党中央对新冠肺炎疫情防控工作的部署和要求,坚决防范疫情向校园蔓延,切实保障广大师生身体健康和生命安全,教育主管部门决定通过电视频道、网络平台等多种方式实施线上教育教学工作.为了了解学生和家长对网课授课方式的满意度,从经济不发达的A城市和经济发达的B城市分别随机调查了20个用户,得到了一个用户满意度评分的样本,并绘制出茎叶图如下:若评分不低于80分,则认为该用户对此授课方式“认可”,否则认为该用户对此授课方式“不认可”.以该样本中A,B两城市的用户对此授课方式“认可”的频率分别作为A,B两城市用户对此授课方式“认可”的概率.现从A城市和B城市的所有用户中分别随机抽取2个用户,用X表示这4个用户中对此授课方式“认可”的用户个数,则P(X=3)=;用Y表示从A城市随机抽取的2个用户中对此授课方式“认可”的用户个数,则Y的数学期望为.16.(2020河北邯郸高三一模,16)《周礼·夏官·马质》中记载“马量三物:一日戎马,二日田马,三日驽马”,其意思为马按照品种可以分为三个等级,一等马为戎马,二等马为田马,三等马为驽马.假设在唐朝的某个王爷要将7匹马(戎马3匹,田马、驽马各2匹)赏赐给甲、乙、丙3人,每人至少2匹,则甲和乙都得到一等马的分法总数为.四、解答题17.(2020北京丰台二模,18)为了增强学生的冬奥会知识,弘扬奥林匹克精神,北京市多所中小学校开展了模拟冬奥会各项比赛的活动.为了了解学生在越野滑轮和旱地冰壶两项中的参与情况,在北京市中小学学校中随机抽取了10所学校,10所学校的参与人数如下:(1)现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查,求选出的2所学校参与越野滑轮人数都超过40人的概率;(2)现有一名旱地冰壶教练在这10所学校中随机选取2所学校进行指导,记X为教练选中参加旱地冰壶人数在30人以上的学校个数,求X的分布列和数学期望;(3)某校聘请了一名越野滑轮教练,对高山滑降、转弯、八字登坡滑行这3个动作进行技术指导.规定:这3个动作中至少有2个动作达到“优”,总考核记为“优”.在指导前,该校甲同学3个动作中每个动作达到“优”的概率为0.1.在指导后的考核中,甲同学总考核成绩为“优”.能否认为甲同学在指导后总考核达到“优”的概率发生了变化?请说明理由.18.(2020山西晋城一模,18)“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展.下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表:某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况,得到的部分数据如下表所示:(1)求新能源乘用车的销量y 关于年份x 的线性相关系数r ,并判断y 与x 是否线性相关;(2)请将上述2×2列联表补充完整,并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关;(3)若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例,从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人,记选到女性车主的人数为X ,求X 的数学期望与方差. 参考公式:r=∑i=1n(x i -x )(y i -y )√∑i=1(x i -x )2∑i=1(y i -y )2,K 2=n (ad -bc )2(a+b )(c+d )(a+c )(b+d ),其中n=a+b+c+d.√635≈25.2,若r>0.9,则可判断y 与x 线性相关. 附表:19.(2020河南六市第二次联合调研,20)十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康.经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加,为了制定提升农民收入、实现2020年脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2019年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图:(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的平均年收入x(单位:千元);(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);(2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为上述样本中的年平均收入x,σ2近似为样本方差s2,经计算得s2=6.92,利用该正态分布,求:①在扶贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的84.13%的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入标准大约为多少千元?②为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况,扶贫办随机走访了1 000位农民.若每位农民的年收入互相独立,问:这1 000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?附参考数据:√6.92≈2.63,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)=0.682 6,P(μ-2σ<X<μ+2σ)=0.954 4,P(μ-3σ<X<μ+3σ)=0.997 4.专题突破练23专题六统计与概率过关检测1.A解析(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为C43+2C41=4+8=12.故选A.2.B解析由题意知,样本容量为(3 500+4 500+2 000)×2%=200,其中高中生人数为2 000×2%=40,高中生的近视人数为40×50%=20.3.D 解析 由公式E (aX+b )=aE (X )+b 和D (aX+b )=a 2D (X ),得=2x +3,s'2=4s 2.4.C 解析 根据正态曲线的对称性,每个收费口超过700辆的概率P (X ≥700)=1[1-P (500<X<700)]=12×(1-0.6)=0.2=15,∴这三个收费口每天至少有一个通过的小汽车超过700辆的概率为1-(1-15)3=61125.5.C 解析 依题意,m=15.00+-0.003-0.001+0.003+0.005+0.008+0.0126=15.004,可知6个口罩中有3个质量超过m ,在其中任取2个口罩,有C 32=3种取法,6个口罩任取2个有C 62=15种取法.由古典概型的概率公式知所求概率为315=15.6.D 解析 四局结束比赛可分为A 校排球队胜和B 校排球队胜两种情况.若A 校排球队胜,即A 校前三局中赢了2局,且A 校还赢了第四局,则概率p 1=C 32·(35)2·(1-35)(35)=162625;若B 校排球队胜,即B 校前三局中赢了2局,且B 校还赢了第四局, 则概率p 2=C 32·(1-35)2·(35)(1-35)=72625.则四局结束比赛的概率p=p 1+p 2=234625.7.D 解析 由题知,事件A :甲和乙至少一人选择庐山共有:n (A )=C 21·C 31+1=7种情况,事件AB :甲和乙选择的景点不同,且至少一人选择庐山,共有n (AB )=C 21·C 31=6种情况,P (B|A )=n (AB )n (A )=67. 8.C 解析 因为(√x +2√x4)n前三项的系数为1,12C n 1,14C n 2,∴C n 1=1+14C n 2, ∴n-1=n (n -1)8, ∵n>1,∴n=8,∴二项展开式的通项为T r+1=C 8r·12r x 16-3r4,r=0,1,2,…,8, 当r=0,4,8时,为有理项,从而所求概率为A 66A 73A 99=512,故选C.9.ABD 解析 由题中的折线图知,这10天中PM2.5日均值的众数为33,中位数为31+332=32,平均数为39.9,中位数小于平均数;前4天的数据波动比后4天的波动大,故前4天的方差大于后4天的方差.10.ABD 解析 由x 1+x 2+x 3+…+x 8=2(y 1+y 2+y 3+…+y 8)=6,可得x =68=34,y =38,代入y ^=13x+a ^,可解得a ^=18,故选项A 正确;因为区间(-1,0)和(2,3)关于x=1对称,所以正态分布N (1,9)在区间(-1,0)和(2,3)上取值的概率相等,故选项B 正确;若两个随机变量的线性相关性越强,则相关系数r 的绝对值越接近于1,故选项C 错误;若一组数据1,a ,2,3的平均数是2,即1+a+2+3=2,解得a=2,所以这组数的众数和中位数都是2,故选项D 正确.11.BC 解析 因为正态分布曲线关于直线x=180对称,所以这次考试标准分超过180分的约有12×1 000=500人,故选项A 不正确;由正态分布N (180,900),可知μ=180,σ=30,所以P (90<X ≤270)=P (180-3×30<X ≤180+3×30)=0.997 4,因此这次考试标准分在(90,270]内的人数约为1 000×0.997 4≈997人,故选项B 正确; 因为正态分布曲线关于x=180对称,所以某个人标准分超过180分的概率为12,因此甲、乙、丙三人恰有2人的标准分超过180分的概率为C 32(12)2(1-12)=38,故选项C 正确;由题中所给的公式可知:P (90<X ≤270)=P (180-3×30<X ≤180+3×30)=0.997 4, P (120<X ≤240)=P (180-2×30<X ≤180+2×30)=0.954 4, 所以由正态分布的性质可知:P (240<X ≤270)=12[P (90<X ≤270)-P (120<X ≤240)]=12(0.997 4-0.954 4)=0.021 5,所以选项D 不正确.12.ACD 解析 由题意,当x=0时,a 0=12 009=1,选项A 正确.当x=1时,a 0+a 1+a 2+a 3+…+a 2 009=(-1)2 009=-1,当x=-1时,a 0-a 1+a 2-a 3+…-a 2 009=32 009, 所以a 1+a 3+a 5+…+a 2 009=-32 009+12,a 0+a 2+a 4+…+a 2 008=32 009-12,选项B 不正确,选项C 正确.a 12+a 222+…+a 2 00922 009=a 1×12+a 2×(12)2+…+a 2 009×(12)2 009, 当x=12时,0=a 0+a 1×12+a 2×(12)2+…+a 2 009×(12)2 009,所以a 1×12+a 2×(12)2+…+a 2 009×(12)2 009=-a 0=-1,选项D 正确.13.-2 解析 ∵(x 2+a x )5的展开式的通项为T r+1=C 5r x 10-2r (a x )r =C 5r a r x 10-3r,令10-3r=7,得r=1,∴x 7的系数是a C 51=5a ,∵x 7项的系数为-10,∴5a=-10,得a=-2.14.3解析 八卦中阴线和阳线的情况为:3线全为阳线的一个,全为阴线的一个,1阴2阳的3个,1阳2阴的3个.抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴,或两卦全是1阳2阴.∴从8个卦中任取2卦,共有C 82=28种取法,两卦中共2阳4阴的取法有C 31+C 32=6,所求概率为628=314.15.18 12 解析 根据题意可得A ,B 两城市的用户对此授课方式“认可”概率分别为14,12;P (X=3)=C 22×(14)2×C 21×12×(1-12)+C 21×14×(1-14)×C 22×(12)2=18;由题意可知Y~B (2,14),所以E (Y )=2×14=12.16.348 解析 由题设条件可知甲、乙二人都分得一等马的情况有如下两类:①甲、乙每人分得一匹一等马,有C 41C 31A 22A 33A 33=216(种);②甲、乙二人中一人得一匹一等马,另一人得两匹一等马,有2C 32C 43+2(C 32C 42C 22+C 32C 42C 21)=132(种),因此满足题意的分法总数为216+132=348(种).17.解 (1)记“选出的两所学校参与越野滑轮人数都超过40人”为事件S ,现从这10所学校中随机选取2所学校进行调查,可得基本事件总数为C 102.参与越野滑轮人数超过40人的学校共4所,随机选择2所学校共C 42=6(种),所以P (S )=C 42C 102=4×3210×92=215.(2)X 的所有可能取值为0,1,2,参加旱地冰壶人数在30人以上的学校共4所.P (X=0)=C 40·C 62C 102=13,P (X=1)=C 41·C 61C 102=815,P (X=2)=C 42·C 6C 102=215.X 的分布列为:E (X )=0×13+1×815+2×215=45.(3)答案不唯一.答案示例1:可以认为甲同学在指导后总考核为“优”的概率发生了变化.理由如下:指导前,甲同学总考核为“优”的概率为:C 32·0.12·0.9+C 33·0.13=0.028.指导前,甲同学总考核为“优”的概率非常小,一旦发生,就有理由认为指导后总考核达到“优”的概率发生了变化.答案示例2:无法确定.理由如下:指导前,甲同学总考核为“优”的概率为:C 32·0.12·0.9+C 33·0.13=0.028.虽然概率非常小,但是也可能发生,所以无法确定总考核达到“优”的概率发生了变化.18.解 (1)依题意,x =2 014+2 015+2 016+2 017+2 0185=2 016,y=8+10+13+25+245=16,故∑i=15(x i -x )(y i -y )=(-2)×(-8)+(-1)×(-6)+1×9+2×8=47,∑i=15(x i -x )2=4+1+1+4=10,∑i=15(y i -y )2=64+36+9+81+64=254,则r=∑i=15(x i -x )(y i -y )√∑i=1(x i -x )2∑i=1(y i -y )2=√10×254=2√635≈0.93>0.9,故y 与x 线性相关.(2)依题意,完善表格如下:K 2的观测值k=30×(18×4-2×6)220×10×24×6=154=3.75>2.706,故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关. (3)依题意,该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为410=25,则X~B(50,25),所以E(X)=50×25=20,D(X)=50×25×(1-25)=12.19.解(1)x=12×0.04+14×0.12+16×0.28+18×0.36+20×0.10+22×0.06+24×0.04=17.40(千元).故估计50位农民的平均年收入x为17.40千元.(2)由题意知X~N(17.40,6.92),①P(X>μ-σ)=1+0.6826=0.841 3,所以μ-σ≈17.40-2.63=14.77时,满足题意,即最低年收入大约为14.77千元.②由P(X≥12.14)=P(X≥μ-2σ)=12+0.95442=0.977 2,每个农民的年收入不少于12.14千元的事件的概率为0.977 2,记1 000个农民的年收入不少于12.14千元的人数为ξ,则ξ~B(1 000,p),其中p=0.977 2.于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的概率为P(ξ=k)=C1000k p k(1-p)1 000-k,从而由P(ξ=k)P(ξ=k-1)=(1001-k)×pk×(1-p)>1,得k<1 001p,而1 001p=978.177 2,所以当0≤k≤978时,P(ξ=k-1)<P(ξ=k);当979≤k≤1 000时,P(ξ=k-1)>P(ξ=k),由此可知,在所走访的1 000位农民中,年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978人.11。