新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习：高考解答题专项六 概率与统计综合问题1.(2021广东揭阳质量检测)某工厂响应“节能减排”的号召,决定把原来给锅炉加热的电热水器更换成电辅式太阳能热水器.电辅式太阳能热水器的耗电情况受当天的日照时长和日均气温影响,假设每天的日照情况和日均气温相互独立,该电辅式太阳能热水器每日耗电情况如下表所示:根据调查,当地每天日照充足的概率为25,日照不足的概率为25,日照严重不足的概率为15.2020年这一年的日均气温的频率分布直方图如图所示,区间分组为[5,10),[10,15),[15,20),[20,25),[25,30),[30,35].(1)求图中a 的值,并求一年中日均气温不低于15 ℃的频率;(2)用频率估计概率,已知该工厂原来的电热水器平均每天耗电20千瓦时,试估计更换电辅式太阳能热水器后这一年能省多少电?(一年以365天计算)2.(2021河北邯郸一模)某市在其辖区内某一个县的27个行政村中各随机选择农田土壤样本一份,对样本中的铅、镉、铬等重金属的含量进行了检测,并按照国家土壤重金属污染评价级标准(清洁、尚清洁、轻度污染、中度污染、重度污染)进行分级,绘制了如图所示的条形图.(1)从轻度污染以上(包括轻度污染)的行政村中按分层抽样的方法抽取6个,求在轻度、中度、重度污染的行政村中分别抽取的个数;(2)规定:轻度污染记污染度为1,中度污染记污染度为2,重度污染记污染度为3.从(1)中抽取的6个行政村中任选3个,污染度的得分之和记为X ,求X 的数学期望.3.(2021山东日照二模)为保证玉米销售市场稳定,相关部门某年9月份开始采取宏观调控措施.该部门调查研究发现,这一年某地各月份玉米的销售均价(单位:元/斤)走势如图所示.(1)该部门发现,3月到7月,各月玉米销售均价Y (单位:元/斤)与月份T 之间具有较强的线性相关关系,试建立Y 关于T 的线性回归方程(系数精确到0.01),若不调控,依据相关关系预测12月份玉米的销售均价;(2)该部门在这一年的12个月份中,随机抽取3个月份的数据作样本分析,若关注所抽三个月份的所属季度,记不同季度的个数为X ,求X 的分布列和数学期望.参考数据:∑i=37t i =25,∑i=37y i =5.36,∑i=37(t i -t )(y i -y )=0.64,对于线性回归方程Y=a ^+b ^X ,b ^=∑i=1nx i y i -nxy∑i=1n x i 2-nx 2=∑i=1n(x i -x)(y i -y)∑i=1n (x i-x)2,a ^=y −b ^x .4.(2021福建厦门一中模拟)某县为了响应国家精准扶贫的号召,特地承包了一块土地,已知土地的使用面积以及相应的管理时间的关系如表:并调查了某村300名村民参与管理的意愿,得到的部分数据如表所示:(1)求相关系数r 的大小(精确到0.01),并判断管理时间T 与土地使用面积S 的线性相关程度. (2)分析村民的性别与参与管理的意愿是否有关?(3)若以该村的村民的性别与参与管理意愿的情况估计该县的情况,则从该县中任取3人,记取到不愿意参与管理的男性村民的人数为X ,求X 的分布列及数学期望. 参考公式:对于线性回归方程Y=a ^+b ^X ,r=∑i=1n(x i -x)(y i -y)√∑i=1n (x i -x)2∑i=1n (y i -y)2,χ2=n(ad -bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中n=a+b+c+d.参考数据:√485≈22.02.5.(2021湖北华中师大一附中月考)某市消防部门对辖区企业员工进行了一次消防安全知识问卷调查,通过随机抽样,得到参加问卷调查的500人(其中300人为女性)的得分(满分100)数据,统计结果如表所示:(1)把员工分为对消防知识“比较熟悉”(不低于70分的)和“不太熟悉”(低于70分的)两类,请完成如下2×2列联表,并依据小概率值α=0.01的独立性检验,分析该企业员工对消防知识的熟悉程度与性别是否有关?(2)为增加员工消防安全知识及自救、自防能力,现将企业员工分成两人一组开展“消防安全技能趣味知识”竞赛.在每轮比赛中,小组两位成员各答两道题目,若他们答对题目个数和不少于3个,则小组积1分,否则积0分.已知A 与B 在同一小组,A 答对每道题的概率为p 1,B 答对每道题的概率为p 2,且p 1+p 2=1,理论上至少要进行多少轮比赛才能使A ,B 所在的小组的积分的期望值不少于5分? 附:P (χ2>k ) 0.10 0.05 0.01k2.706 3.841 6.635χ2=n(ad-bc)2,n=a+b+c+d.(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)6.某市举办了一次“诗词大赛”,分预赛和复赛两个环节,已知共有20 000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机地抽取100人的预赛成绩作为样本,得到如下的统计数据.(1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,求恰有1人预赛成绩优良的概率.(2)由样本数据分析可知,该市全体参加预赛学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组数据用该组区间的中点值代替),且σ2=361.利用该正态分布,估计该市参加预赛的全体学生中预赛成绩高于72分的人数.(3)预赛成绩不低于91分的学生将参加复赛,复赛规则如下:①参加复赛的学生的初始分都设置为100分;②参加复赛的学生可在答题前自己决定答题数量n,每一题都需要“花”掉一定分数来获取答题资格(即用分数来买答题资格),规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k=1,2,…,n);③每答对一题得2分,答错得0分;④答完n道题后参加复赛学生的最终分数即为复赛成绩.已知学生甲答对每道题的概率均为0.75,且每道题答对与否都相互独立,则当他的答题数量n为多少时,他的复赛成绩的期望值最大?参考数据:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.954 4,P(μ-3σ<Z≤μ+3σ)≈0.997 4.高考解答题专项六 概率与统计综合问题1.解(1)依题意得a=15×(1-0.02×5-0.03×5-0.03×5-0.04×5-0.03×5)=0.05. 一年中日均气温不低于15℃的频率为0.03×5+0.04×5+0.05×5+0.03×5=0.75=34.(2)由(1)知,这一年中日均气温不低于15℃的概率的估计值为34,即一年中日均气温低于15℃的概率的估计值为14.设使用电辅式太阳能热水器日均耗电量为X ,X 的所有可能取值为0,5,10,15,20,则P (X=0)=25×34=620=310,P (X=5)=25×34+25×14=820=25,P (X=10)=25×14=220=110,P (X=15)=15×34=320,P (X=20)=15×14=120.所以X 的分布列为所以X 的数学期望EX=0×310+5×25+10×110+15×320+20×120=254=6.25.所以使用电辅式太阳能热水器一天节省的电量为20-6.25=13.75(千瓦时),所以使用电辅式太阳能热水器一年节省的电量为13.75×365=5018.75(千瓦时).2.解(1)轻度污染以上(包括轻度污染)的行政村共9+6+3=18个,所以从轻度污染的行政村中抽取的个数为618×9=3,从中度污染的行政村中抽取的个数为618×6=2,从重度污染的行政村中抽取的个数为618×3=1.(2)X 的所有可能取值为3,4,5,6,7.P (X=3)=C 33C 63=120,P (X=4)=C 32C 21C 63=310,P (X=5)=C 32+C 31C 22C 63=310,P (X=6)=C 31C 21C 63=310,P (X=7)=C 22C 63=120.所以X 的分布列为所以EX=3×120+4×310+5×310+6×310+7×120=5. 3.解(1)由题意t =5,y =1.072,∑i=37(t i -t )2=10,∴b ^=∑i=1n(t i -t)(y i -y)∑i=1n(t i -t)2=0.064≈0.06,a ^=y -b t =0.752≈0.75.∴从3月到7月,Y 关于T 的线性回归方程为Y=0.06T+0.75.当T=12时,代入回归方程得Y=1.47,即可预测第12月份玉米销售均价为1.47元/斤.(2)X 的取值为1,2,3,P (X=1)=C 41C 123=155,P (X=3)=C 43C 31C 31C 31C 123=2755,P (X=2)=1-P (X=1)-P (X=3)=2755, X 的分布列为EX=1×155+2×2755+3×2755=13655.4.解(1)由题意可得s =1+2+3+4+55=3,t =9+11+14+26+205=16,∴∑i=15(s i -s )(t i -t )=(-2)×(-7)+(-1)×(-5)+0×(-2)+1×10+2×4=37,∑i=15(s i -s )2∑i=15(t i -t)2=[(-2)2+(-1)2+0+1+22]×[(-7)2+(-5)2+(-2)2+102+42]=1940,∴r=√1940≈0.84,∴管理时间T 与土地使用面积S 具有较强的正相关性. (2)由题意可知,根据列联表中的数据,得χ2=300×(140×60−40×60)2200×100×180×120=25>6.635,有99%的把握认为村民的性别与参与管理的意愿有关.(3)由题意可知X 的可能取值为0,1,2,3,X~B (3,15),P (X=0)=(45)3=64125;P (X=1)=C 31(45)2×15=48125;P (X=2)=C 3245×(15)2=12125; P (X=3)=(15)3=1125.∴X 的分布列为∴EX=0×64125+1×48125+2×12125+3×1125=35. 5.解(1)根据列联表中的数据,计算可得χ2=500×(120×160−140×80)2260×240×200×300≈8.547>6.635.有99%的把握认为该企业员工对消防知识的了解程度与性别有关联.(2)A ,B 在一轮比赛中积1分的概率为P=C 21p 1(1-p 1)C 22(p 2)2+C 22(p 1)2C 21p 2(1-p 2)+C 22(p 1)2C 22(p 2)2=2p 1p 2(p 1+p 2)-3(p 1p 2)2,又p 1+p 2=1,0≤p 2≤1,则p 1p 2=(1-p 2)p 2∈[0,14].∴P=2p 1p 2-3(p 1p 2)2=-3(p 1p 2-13)2+13,且0≤p 1p 2≤14, ∴当p 1p 2=14时,P max =516.设A ,B 所在的小组在n 轮比赛中的积分为ξ, 则ξ~B (n,516),∴E ξ=516n ≥5,解得n ≥16,故理论上至少要进行16轮比赛.6.解(1)由题意得样本中成绩不低于60分的学生共有40人,其中成绩优良的人数为15人,记“从样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机地抽取2人,恰有1人预赛成绩优良”为事件A ,则P (A )=C 251C 151C 402=2552.(2)由题意知样本中的100名学生预赛成绩的平均值为x =10×0.1+30×0.2+50×0.3+70×0.25+90×0.15=53,则μ=53,由σ2=361,得σ=19,所以P (Z>72)=P (Z>μ+σ)=12(1-P (μ-σ<Z ≤μ+σ))≈0.1587,所以,估计该市参加预赛的全体学生中,成绩高于72分的人数为20000×0.1587=3174, 即全市参赛学生中预赛成绩高于72分的人数为3174.(3)以随机变量ξ表示甲答对的题数,则ξ~B (n ,0.75),且E ξ=0.75n ,记甲答完n 题所加的分数为随机变量X ,则X=2ξ,所以EX=2E ξ=1.5n ,依题意为了获取答n 道题的资格,甲需要“花”掉的分数为0.2×(1+2+3+…+n )=0.1(n 2+n ),设甲答完n题后的复赛成绩的期望值为f(n),则f(n)=100-0.1(n2+n)+1.5n=-0.1(n-7)2+104.9,由于n∈N*,所以当n=7时,f(n)取最大值104.9.即当他的答题数量n=7时,他的复赛成绩的期望值最大.。