高考专题突破六 高考中的概率与统计问题1.(2020·湖北省七市联考)某校举行运动会，其中三级跳远的成绩在8.0米(四舍五入，精确到0.1米)以上的进入决赛，把所得数据进行整理后，分成6组画出频率分布直方图的一部分(如图)，已知从左到右前5个小组的频率分别为0.04,0.10,0.14,0.28,0.30，第6小组的频数是7.(1)求进入决赛的人数；(2)若从该校学生(人数很多)中随机抽取2人，记X 表示2人中进入决赛的人数，求X 的分布列及均值；(3)经过多次测试后发现，甲的成绩均匀分布在8～10米，乙的成绩均匀分布在9.5～10.5米，现甲、乙各跳一次，求甲比乙跳得远的概率.解 (1)第6小组的频率为1－(0.04＋0.10＋0.14＋0.28＋0.30)＝0.14， ∴总人数为70.14＝50.由题图易知第4,5,6组的学生均进入决赛，人数为(0.28＋0.30＋0.14)×50＝36，即进入决赛的人数为36.(2)由题意可知X 的可能取值为0,1,2，∵进入决赛的概率为3650＝1825，∴X ～B ⎝⎛⎭⎫2，1825， P (X ＝0)＝C 02×⎝⎛⎭⎫7252＝49625， P (X ＝1)＝C 12×725×1825＝252625， P (X ＝2)＝C 22×⎝⎛⎭⎫18252＝324625， ∴X 的分布列为X12P49625 252625 324625∴E (X )＝2×1825＝3625.(3)设甲、乙各跳一次的成绩分别为x ，y 米，则基本事件满足的区域为⎩⎪⎨⎪⎧8≤x ≤10，9.5≤y ≤10.5，事件A “甲比乙跳得远的概率”满足的区域为x >y ，如图所示，∴由几何概型得P (A )＝12×12×121×2＝116.即甲比乙跳得远的概率为116.2.为了增强消防安全意识，某中学对全体学生做了一次消防知识讲座，从男生中随机抽取50人，从女生中随机抽取70人参加消防知识测试，统计数据得到如下列联表：优秀 非优秀 总计 男生 15 35 50 女生 30 40 70 总计4575120(1)试判断能否有90%的把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关？(2)为了宣传消防知识，从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法，随机选出6人组成宣传小组．现从这6人中随机抽取2人到校外宣传，求到校外宣传的同学中男生人数X 的分布列和均值． 附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).P (K 2≥k 0)0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 k 01.3232.0722.7063.8415.0246.635解 (1)因为k ＝120×(15×40－35×30)250×70×45×75≈2.057，且2.057<2.706.所以没有90%的把握认为测试成绩优秀与否与性别有关．(2)用分层抽样的方法抽取时抽取比例是645＝215，则抽取女生30×215＝4(人)，抽取男生15×215＝2(人)．由题意，得X 可能的取值为0,1,2.P (X ＝0)＝C 24C 26＝615＝25，P (X ＝1)＝C 14C 12C 26＝815，P (X ＝2)＝C 22C 26＝115.故X 的分布列为X 的均值E (X )＝0×25＋1×815＋2×115＝23.3.(2019·石家庄模拟)东方商店欲购进某种食品(保质期两天)，此商店每两天购进该食品一次(购进时，该食品为刚生产的).根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如表：(视样本频率为概率)(1)根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与均值；(2)以两天内该产品所获得的利润均值为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？解 (1)ξ的可能取值有30,31,32,33,34,35,36， 其中P (ξ＝30)＝0.2×0.2＝0.04， P (ξ＝31)＝2×0.2×0.3＝0.12，P (ξ＝32)＝0.3×0.3＋2×0.2×0.4＝0.25， P (ξ＝33)＝2×0.2×0.1＋2×0.3×0.4＝0.28， P (ξ＝34)＝0.4×0.4＋2×0.3×0.1＝0.22， P (ξ＝35)＝2×0.4×0.1＝0.08， P (ξ＝36)＝0.1×0.1＝0.01， ∴ξ的分布列为ξ 30 31 32 33 34 35 36 P0.040.120.250.280.220.080.01∴E (ξ)＝30×0.04＋31×0.12＋32×0.25＋33×0.28＋34×0.22＋35×0.08＋36×0.01＝32.8. (2)当一次性购进32份食品时，设每两天的利润为X ，则X 的可能取值有104,116,128， 且P (X ＝104)＝0.04，P (X ＝116)＝0.12，P (X ＝128)＝1－0.04－0.12＝0.84， ∴E (X )＝104×0.04＋116×0.12＋128×0.84＝125.6.当一次性购进33份食品时，设每两天的利润为Y ，则Y 的可能取值有96,108,120,132. 且P (Y ＝96)＝0.04，P (Y ＝108)＝0.12，P (Y ＝120)＝0.25，P (Y ＝132)＝1－0.04－0.12－0.25＝0.59，∴E (Y )＝96×0.04＋108×0.12＋120×0.25＋132×0.59＝124.68. ∵E (X )>E (Y )，∴东方商店一次性购进32份食品时得到的利润更大.4.某婴幼儿游泳馆为了吸引顾客，推出优惠活动，即对首次消费的顾客按80元收费，并注册成为会员，对会员消费的不同次数给予相应的优惠，标准如下：消费次数 第1次 第2次 第3次 不少于4次收费比例10.950.900.85该游泳馆从注册的会员中，随机抽取了100位会员统计他们的消费次数，得到数据如下：消费次数 1次 2次 3次 不少于4次频数6025105假设每位顾客游泳1次，游泳馆的成本为30元．根据所给数据，回答下列问题： (1)估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率；(2)某会员消费4次，求这4次消费中，游泳馆获得的平均利润；(3)假设每个会员最多消费4次，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，从该游泳馆的会员中随机抽取2位，记游泳馆从这2位会员的消费中获得的平均利润之差的绝对值为X ，求X 的分布列和均值E (X )． 解 (1)25＋10＋5＝40，即随机抽取的100位会员中，至少消费2次的会员有40位， 所以估计该游泳馆1位会员至少消费2次的概率P ＝40100＝25.(2)第1次消费时，80－30＝50(元)，所以游泳馆获得的利润为50元，第2次消费时，80×0.95－30＝46(元)，所以游泳馆获得的利润为46元， 第3次消费时，80×0.90－30＝42(元)，所以游泳馆获得的利润为42元， 第4次消费时，80×0.85－30＝38(元)，所以游泳馆获得的利润为38元， 因为50＋46＋42＋384＝44(元)，所以这4次消费中，游泳馆获得的平均利润为44元． (3)若会员消费1次，P 1＝60100＝35，则平均利润为50元，其概率为35；若会员消费2次，50＋462＝48(元)，P 2＝25100＝14，则平均利润为48元，其概率为14；若会员消费3次，50＋46＋423＝46(元)，P 3＝10100＝110，则平均利润为46元，其概率为110；若会员消费4次，50＋46＋42＋384＝44(元)，P 4＝5100＝120，则平均利润为44元，其概率为120.由题意知，X 的所有可能取值为0,2,4,6.且P (X ＝0)＝35×35＋14×14＋110×110＋120×120＝87200，P (X ＝2)＝2⎝⎛⎭⎫35×14＋14×110＋110×120＝925， P (X ＝4)＝2⎝⎛⎭⎫35×110＋14×120＝29200， P (X ＝6)＝2×53×120＝350.∴X 的分布列为X 0 2 4 6 P8720092529200350∴E (X )＝0×87200＋2×925＋4×29200＋6×350＝8350.5.(2019·衡水中学押题卷)为了解2019届高三毕业学生的复习备考情况，某省甲、乙两市组织了一次大联考.为比较两市本届高三毕业学生的数学优秀率，某教研机构从甲、乙两市参加大联考的数学高分段(数学成绩不低于100分)的学生中各随机抽取了100名学生，统计其数学成绩，得到甲市数学高分段学生成绩的频率分布直方图如图所示，乙市数学高分段学生成绩的频数分布表如下表所示(同一组数据用该组数据的区间中点值作代表，将频率视为概率).分数段[100，110) [110，120) [120，130) [130，140) [140，150]频数15254015 5(1)现计算得甲市数学高分段学生成绩的平均分为123分，乙市数学高分段学生成绩的方差为111，试利用统计知识判断甲、乙两市哪一个市2019届高三毕业学生数学高分段成绩更突出；(2)由频率分布直方图可以认为，甲市这次大联考的数学高分段学生成绩Z(单位：分)近似地服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数，试利用该正态分布模型解决下列问题. ①若甲市恰有2万名学生这次大联考的数学成绩不低于100分，试估计甲市这次大联考的数学成绩Z高于142.6分的学生人数；②现从甲市这次大联考的数学成绩不低于100分的学生中随机抽取1 000人，若抽到k人的数学成绩在区间(123,142.6]内的可能性最大，试求整数k的值.附：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.682 7，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.954 5，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.997 3.解(1)由题意得甲市数学高分段学生成绩的方差为s2甲＝(105－123)2×0.05＋(115－123)2×0.4＋(125－123)2×0.3＋(135－123)2×0.2＋(145－123)2×0.05＝96，乙市数学高分段学生成绩的平均分为x乙＝105×0.15＋115×0.25＋125×0.4＋135×0.15＋145×0.05＝122(分).又x甲＝123，s2乙＝111，所以x甲>x乙，s2甲<s2乙.故甲市数学高分段学生成绩的平均分更高，且方差更小，故甲市数学高分段学生成绩更稳定. 综上可知甲市的2019届高三毕业学生数学高分段成绩更为突出.(2)①P (Z >142.6)＝P (Z >μ＋2σ)＝12[1－P (μ－2σ<Z ≤μ＋2σ)]≈12(1－0.954 5)＝0.022 75.因为20 000×0.022 75＝455，所以可估计甲市这次大联考的数学成绩Z 高于142.6分的学生有455人.②记所抽取的1 000人中数学成绩在区间(123,142.6]内的人数为Y ， 因为P (123<Z ≤142.6)＝P (μ<Z ≤μ＋2σ)＝P (μ－2σ<Z ≤μ＋2σ)2≈0.477 25，所以Y ～B (1 000,0.477 25)，故P (Y ＝k )＝C k 1 000×0.477 25k ×0.522 751 000－k . 设P (Y ＝k )最大，则⎩⎪⎨⎪⎧P (Y ＝k )≥P (Y ＝k ＋1)，P (Y ＝k )≥P (Y ＝k －1)即⎩⎨⎧0.522 751 000－k ≥0.477 25k ＋1，0.477 25k ≥0.522 751 001－k ，解得476.727 25≤k ≤477.727 25.因为k ∈N *，所以使P (Y ＝k )取得最大值的整数k 的值为477.。