电子科技大学2014-2015学年第 2 学期期 末 考试 A 卷一、设有正弦随机信号()cos X t V t ω=，其中0t ≤<∞，ω为常数，V 是[0,1)均匀分布的随机变量。

（ 共10分）1．画出该过程两条样本函数。

(2分)2．确定02t πω=，134t πω=时随机信号()X t 的一维概率密度函数，并画出其图形。

(5分)3．随机信号()X t 是否广义平稳和严格平稳？(3分)解：1.随机信号()X t 的任意两条样本函数如题解图2.1(a)所示：t2.当02t πω=时，()02X πω=，()012P X πω⎡⎤==⎢⎥⎣⎦，此时概率密度函数为：(;)()2X f x x πδω= 当34t πω=时，32()42X V πω=-，随机过程的一维概率密度函数为：232,0(;)240,X x f x others πω⎧-<<⎪=⎨⎪⎩3. ()[]1cos cos 2E X t E V t t ωω==⎡⎤⎣⎦ 均值不平稳，所以()X t 非广义平稳，非严格平稳。

二、设随机信号()()sin 2X n n πφ=+与()()cos 2Y n n πφ=+，其中φ为0~π上均匀分布随机变量。

（ 共10分）1．求两个随机信号的互相关函数12(,)XY R n n 。

(2分)2．讨论两个随机信号的正交性、互不相关性与统计独立性。

(4分)3．两个随机信号联合平稳吗？(4分) 解：1.两个随机信号的互相关函数()()()()()()()121212121212(,)sin 2cos 21sin 222sin 2221sin 2202XY R n n E X n Y n E n n E n n n n n n πφπφππφππππ=⎡⎤⎣⎦=++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦=-=其中()12sin 2220E n n ππφ++=⎡⎤⎣⎦2. 对任意的n 1、n 2 ,都有12(,)0XY R n n =，故两个随机信号正交。

又()()()()()()12sin 2cos 2,01cos 2sin 200E X n E n n E Y n E n n ππφπφππππφπφπ⎛⎫=+=-+=⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎛⎫=+=+=⎡⎤⎡⎤ ⎪⎣⎦⎣⎦⎝⎭()()()12121212(,)(,)1sin 2202XY XY X Y C n n R n n m n m n n n ππ=-=-=故两个随机信号互不相关，又因为()()()()222200sin cos 1X n Y n n n ωφωφ+=+++= 故两个随机信号不独立。

3.()()()()()()1212121212(,)sin 2sin 21cos 22cos 222212X R n n E X n X n E n n E n n n n πφπφππππφ=⎡⎤⎣⎦=++⎡⎤⎣⎦=--++⎡⎤⎣⎦= ()()()()()()1212121212(,)cos 2cos 21cos 22cos 222212Y R n n E Y n Y n E n n E n n n n πφπφππππφ=⎡⎤⎣⎦=++⎡⎤⎣⎦=-+++⎡⎤⎣⎦= 两个随机信号的均值都平稳、相关函数都与时刻组的起点无关，故两个信号分别平稳，又其互相关函数也与时刻组的起点无关，因而二者联合平稳。

三、()W t 为独立二进制传输信号，时隙长度T 。

在时隙内的任一点()30.3P W t =+=⎡⎤⎣⎦和()30.7P W t =-=⎡⎤⎣⎦，试求（ 共10分）1．()W t 的一维概率密度函数。

(3分)2．()W t 的二维概率密度函数。

(4分)3．()W t 是否严格平稳？(3分)解：下面的讨论中，t 不在时隙分界点上：1. 在时隙内的任一点上，()W t 为二进制离散随机变量，因此，随机信号的一维概率密度函数为：()()(),0.330.73f w t w w δδ=-++2. 当1t ,2t 在同一时隙时，随机变量()1t W ,()2t W 取值相同，此时二维概率密度函数为：()()()12121212,;,0.33,30.73,3f w w t t w w w w δδ=--+++当1t ,2t 不在同一时隙时，随机变量()1t W ,()2t W 取值独立，此时二维概率密度函数为：()()()()()121212121212,;,0.093,30.213,30.213,30.493,3f w w t t w w w w w w w w δδδδ=--+-+++-+++3. ()W t 不严格平稳。

四、设正弦随机信号X(t) = Acos(ωt+Θ), ω是常数，A ∽U(-1,+1) , Θ∽ U(0,π), 且A 和Θ统计独立，令Y(t)=X 2(t)。

（ 共10分） 讨论：1．Y(t)的均值。

(3分)2．Y(t)的相关函数。

(4分)3．Y(t)是否是广义平稳？。

(3分) 解：1. Y(t)的均值：22222[()][()][cos ()]1[1cos(22)]21111*2236E Y t E X t E A t E A E t E A ωω==+Θ⎡⎤=++Θ⎣⎦⎡⎤===⎣⎦2. Y(t)的相关函数：[]()(){}()()[]224224(,)()()()()cos ()cos ()11cos 2221cos 224111cos 222cos 224511cos(2)cos(424)204011cos(2)2040Y R t t E Y t Y t E X t X t E A t t E A E t t E t t E t τττωωτωωωτωωωτωωτωωτωτ+⎡⎤=+=+⎣⎦⎡⎤=++Θ+Θ⎣⎦⎡⎤=+++Θ++Θ⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⨯+++Θ+Θ⎡⎤⎣⎦=++++Θ=+3. 因为Y(t)的均值和相关函数都与t 无关，因此Y(t)是广义平稳随机信号。

五、高斯随机信号X(t)的自相关函数如图所示（ 共10分）1．求X(t)的一维概率密度函数。

(3分)2．求X(t)上间隔为0.001的任意两个采样时刻的二维密度函数。

(4分)3．对一段时长为1秒的信号，最多能够获取多少了独立的采样点？(3分)解：1. 求X(t)的一维概率密度函数；（3分）因为：R X(∞)=m2，故m = 0σ2 = R X(0)- m2 = 421(x;t)exp8Xxf⎛⎫=-⎪⎝⎭2. 求X(t)上间隔为τ=0.001s的任意两个采样时刻的二维密度函数；（4分）因为：C X(τ) = R X(τ) - m2，故C X(0.001)= 0高斯随机变量不相关，则其统计独立，因此任意两个间隔为0.001s 的两个随机变量的二维密度函数为： 221212121(x ,x ;t ,t )exp 88X x x f π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭ 3. 对一段时长为1秒的信号，最多能够获取多少了独立的采样点？（3分） 因为不相关的最小间隔为0.0001秒，则在1秒间隔内，最多可采集的独立采样点为： 1/0.0001 + 1 = 10001六、功率谱密度为20N 的零均值平稳高斯白噪声通过一个理想带通滤波器，此滤波器的增益为1，中心频率为0f ，带宽为B 2。

（ 共10分）1．)(t n i 的同相分量)(t i 及正交分量)(t q 的自相关函数和相关系数。

(4分)2．)(t i 的二维概率密度函数。

)21,;,(21B t t i i f i (3分)3．)(t i 及)(t q 的二维联合概率密度函数。

(3分) 解：依题1. ⎩⎨⎧≤-++==其它,00),()()()(00ωωωωωωωX X q i S S S S0022sin(2)sin(2)()()2222()()sin(2)()()(2)(0)(0)2i q i i i q a i i N B B B R R N B B B C R B S B C R B ππτπτττππτπτττπτρτρτπτπτ⋅========)2()()(τπτρτρB S a i q == 2. 2,1,2,2k B k k B πτπτ=→==±±是()i R τ的零点121222120022120011(,;,)(;)(;)2211exp()exp()441exp()44i i i f i i t t f i t f i t B Bi i N B N B i i N B N B π+=+=--+=-3. 因为)(t n i 的功率谱关于0f 偶对称，故)(t i 与)(t q 处处正交、无关、独立12122200(,;,)(;)(;)1exp()44iq i iq f i q t t f i t f q t i q N B N B π=+=-七、已知平稳过程{}+∞<<-∞t t X ),(的均值函数为1)(=t m ，相关函数为ττ2cos 2)(=R ，讨论其均值各态历经性。

（ 共10分） 解：[]()()cos()cos()cos()lim lim lim lim lim T T T T T T T T T T T T TT T C d R d T Td d T TT --→+∞→+∞--→+∞→+∞-→+∞ττ=τ-τ=ττ=ττ=τ=⎰⎰⎰⎰1112211222241204 所以{}+∞<<-∞t t X ),(具有均值各态历经性。

八、设有随机过程{}+∞<<-∞+=t t A t X ),cos()(φω，其中φ,A 是相互独立的随机变量，ω是正常数，)2,0(~),3,3(~πφU U A -，试讨论{}+∞<<-∞t t X ),(的广义平稳性和广义各态历经性。

（ 共10分）解：[][][][][][])(cos 23cos 21126)cos())(cos()cos())(cos(),(0)cos()cos()(22τωτωτφωφτωφωφτωτφωφωR t t E A E t A t A E t t R t E A E t A E t m X ==⨯=+++=+++=+=+=+={}+∞<<-∞t t X ),(广义平稳。

[][])(cos 2)cos())(cos(21)()(0cos sin )cos(21)(2lim lim lim τωτφωφτωτφωωφωX T T T XT T T T R A dt t A t A Tt X t X A m T TA dt t A Tt X A ≠=+++=+===+=⎰⎰-+∞→+∞→-+∞→{}+∞<<-∞t t X ),(均值各态历经，相关函数不具有各态历经性。