………密………封………线………以………内………答………题………无………效……电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。

一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 1.设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机变量，[]01A ∈，且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 02. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方差12-e3.若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比()Y t 的相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。

4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。

5.窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一时刻其包络和相位是___互相独立___的随机变量。

6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。

7.设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且0()Y F ωω-为一偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。

………密………封………线………以………内………答………题………无………效……二、计算题（共80分）1. (16分)两随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为(,)=XY f x y axy ，a 是常数，其中0,1x y ≤≤。

求：1) a ;2) X 特征函数；3) 试讨论随机变量X 和Y 是否统计独立。

解：因为联合概率密度函数需要满足归一性，即 （2分）1100111(,)124XY f x y dxdy AxydxdyA xdx ydy A∞∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰⎰（分）所以4A = （1分）X 的边缘概率密度函数：1()4201X f x xydy x x ==≤≤⎰ （2分）所以特征函数1102()2()212212j XX j x X j x j x j x j j E e f x e dxxe dxe xe j j e j e ωωωωωωωφωωωωω∞-∞⎡⎤=⎣⎦==⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--⎣⎦⎰⎰（分）（分）（分）容易得1()4201Y f y xydx y y ==≤≤⎰则有 (,)()()XY X Y f x y f x f y = （2分） 因此X 和Y 是统计独立。

（2分）………密………封………线………以………内………答………题………无………效……2. (12分)设随机过程()0xt X t e t -=<<∞，其中x 在(]0,2π均匀分布，求： 1) 求均值()X m t 和自相关函数(,)X R t t τ+； 2) 判断是否广义平稳； 解：[]()20220()()(2)1(1)211(2)22X xtt xtm t E X t e dx e e t t ππππππ---==-==-⎰L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分分分 []2()2(2)2(2)0(,)()()(2)1(1)211(2)2(2)(2)2X xt x t t x t R t t E X t X t e e dx e e t t πτπτπτττππττπ--+-+-++=+=-==-++⎰L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分分分因为()X m t 和(,)X R t t τ+均随时间变化，所以不是广义平稳；(2)L L L L 分3. (12分)设一个积分电路的输入与输出之间满足关系式：()()tt TY t X u du -=⎰其中T 为积分时间常数，如输入随机过程()X t 是平稳随机过程，且已知其功率谱密度为()X S ω，求()Y t 的功率谱和自相关函数解：很显然，()Y t 是平稳随机过程，故有：………密………封………线………以………内………答………题………无………效……[]()()()()()()()(1)()(1)1()(1)21()(12Y t t t T t T tt X t T t T tt j v u x t Tt T tt j v u x t Tt TR E Y t Y t E X u du X v dv R v u dvdu eS d dvdu S e dvdud τττττωττωτττωωπωωπ+-+-+-+-∞+--+--∞∞+--+--∞=+⎡⎤=⎢⎥⎣⎦=-==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰L L L L L L LL L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分分分分2)12(1(cos ))()(2)2j x T e S d ωτωωωπω∞-∞-=⎰L L L L L L 分2()22()()(1)12(1cos )()(1)22(1cos )1()(1)22(1cos )()()(1)2(1cos(()j Y Y j j xj x x x S e R d T eSe d d T S e d d T S d S ωτωτβτωβτωττβββτπβββτβπβββδωβββω∞--∞∞∞--∞-∞∞∞---∞-∞∞-∞=-=-=-=--=⎰⎰⎰⎰⎰⎰L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 分分分分222))(2)sin (2)4()x T T S ωωωωω=L L L L L L L L L L L L L 分或者4. (16分)已知零均值的窄带高斯随机过程00()()cos ()sin X t a t t b t t ωω=-，其中0100ωπ=，且已知()X t 的功率谱如图所示，求：1) 自相关函数()a R τ和()b R τ； 2) ()a t 和()b t 的一维联合概率密度； 解：因为()X t 是零均值的高斯随机过程，因此有： (2分)00()()10()()0x x a b S S S S ωωωωωπωω⎧-++≤⎪==⎨⎪⎩其它(2分)………密………封………线………以………内………答………题………无………效……所以310()()0a b S S ωπωω⎧≤⎪=⎨⎪⎩＝其它(2分)因此sin(10)()()3a b R R πτττπτ== (2分)因为()a t 和()b t 都为零均值的高斯随机过程，且在同一时刻是独立的，所以只要求出其方差，即可得到其一维联合概率密度： (3分)显然有和2230a b σσ== (2分)所以：2260(,;,)(;)(;)60a b ab a b ef a b t t f a t f b t π+-==(3分)5. (12分)一数学期望为零的平稳高斯白噪声()N t ，功率谱密度为0/2N ，经过如图所示的系统，输出为()Y t ，求输出过程的相关函数。

解：令1/RC α=，得RC 积分电路的功率传输函数为：2222()H αωαω=+ (2分) 则()X t 的功率谱密度为：2022()2X N S αωαω=+ (2分) 得()X t 的自相关函数为：()4X N R eαταω-=（2分）最后得：………密………封………线………以………内………答………题………无………效……[][][]222222222222222200(,)()()1)()()1)()()2()()()())(0)2())48Y X X R t t E Y t Y t a E X t X t a E X t E X t a E X t X t E X t X t a R a R a N a N eατττττττταα-+=+⎡⎤=+⎣⎦⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦++=+=+（分（分（2分（2分6. (12分)证明平稳随机过程()X t 希尔伯特变换^()X t 的自相关函数^()()X X R R ττ=。

证明：平稳随机过程进行希尔伯特变换后仍为平稳随机过程，因此有：[]^^^^()()()()()()()()1()()X X X X R E X t X t X t X t E d d E X t X t d d R d d R d R ττητληλπηπλητληλπηπλητλληπηπλητηπηητ∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞∞-∞-∞∞-∞⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦-+-=+-=+==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰证毕。