分类号O153编号2013010130毕业论文题目模n剩余类环及其应用学院数学与统计学院专业数学与应用数学姓名苏安兵班级09数应一班学号291010130研究类型基础研究指导教师唐保祥副教授提交日期2013年5月19日原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。

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论文作者签名：年月日论文指导教师签名：年月日模n剩余类环及其应用苏安兵(天水师范学院数学与统计学院, 甘肃天水741001)摘要:模n剩余类环是一种比较透彻的特殊环. 本文主要从模n剩余类环的定义和性质出发,系统论述了模n剩余类环及其相关性质,并列举了模n剩余类环在纯代数证明和完全及简化剩余系的性质方面的一些应用.关键词:模n剩余类环; 模n剩余类子环; 幂等元; 理想中图分类号: O153Modulo n Residue Class Ring and Its ApplicationSU An-bing( School of Mathematics and Statistics, Tianshui Normal University,Tianshui Gansu,741001,China )Abstract: Modulo n residue class ring is a kind of thorough special ring. In this thesis, mainly based on the definition of modulo n residue class ring and its primary property, the author first completely expounds it and its relative properties. Then, some application in the proof of pure algebraic and the simplification of the remaining coefficients is listed. Key words: Modulo n residue class ring; Modulo n residual class ring; Idempotent element; Sub-ring ideal目录1引言 (1)2 基本知识 (1)2.1 模n剩余类环的基本概念 (1)2.2 模n剩余类环的基本性质 (2)3 主要结果及其证明 (3)Z的一般性质 (3)3.1 模n剩余类环n3.2 模n剩余类子环的相关命题 (4)3.3 模n剩余类加群相关性质列举 (8)3.4 模n剩余类乘法群及其幂等元的简单求法 (9)Z的理想 (12)3.5 模n剩余类环n3.6 剩余类环的应用 (13)参考文献 (15)模n 剩余类环及其应用1引言自从1910年狄德金和克隆尼克共同创立环论以来, 学者们就对各种环进行了深入系统的研究, 开辟了许多新的研究领域, 并取得了许多有意义的研究成果. 环是两个二元运算建立在群的基础上的一个代数系统, 因此它的许多基本概念与理论与群相似, 也是对群的相应内容的推广. 模n 剩余类环就是环中研究比较透彻的一类环, 常见于各类论著之中, 同时, 它也有很重要的应用.2 基本知识在集合Z 中, 固定n (n 可以是任意形式), 规定Z 中元素间的一个关系为R , 则aRb , 当且仅当)(|b a n -. 其中, )(|b a n -表示n 能整除)(b a -. 易见, 这是一个等价关系, 记这个等价关系为模n 的同余关系, 并用)(n b a ≡来表示. 我们知道一个等价关系决定一个分类, 所以该等价关系便决定了集合Z 的一个分类, 我们将如此得来的分类就叫作模n 的剩余类.2.1 模n 剩余类环的基本概念定义 2.1.1 对n N +∀∈, 令}1,,2,1,0{-=n Z n , 任取n Z j i ∈,, 规定j i j i +=+, ij j i =⋅为n Z 的两个代数运算, 可知n Z 作成一个环, 是一个n 阶有单位元的交换环, 我们称其为以n 为模的剩余类环, 或简称模n 剩余类环.显然, 该环关于加法作成一个n 阶循环群, 从而n Z 是n 阶循环环.定义2.1.2 对∀n Z i ∈, 类i 中若有一个整数与n 互素, 则这个类中的所有整数都同n 互素, 我们就说类i 与n 互素.定义 2.1.3 对∀0≠a n Z ∈, 若存在n Z 中的元素0≠b ,使得0=b a , 则称a 为环n Z 的一个左零因子.同样可定义右零因子, 若n Z 的左零因子与右零因子相等, 称其中任意一个为n Z的零因子.定义 2.1.4 ⋅〉+〈,,n Z 中, 若n Z e ∈∃使得n Z a ∈∀, 有a e a a e ==, 则称元素e 为环⋅〉+〈,,n Z 的单位元, 记作1.定义 2.1.5 ⋅〉+〈,,n Z 中, 若n Z a ∈∀, 有n Z b ∈, 使得1==a b b a , 则称b 是a 的逆元, a 与b 互逆.定义2.1.6 对n Z a ∈∀, a (对加法)有最大的阶n , 则称n 为⋅〉+〈,,n Z 的特征. 定义2.1.7 对于⋅〉+〈,,n Z 的任一非空子集N , 若N 满足:)1(N a ∈, N b a N b ∈-⇒∈;)2(N a ∈, N a b b a N b ∈⇒∈,.则称集合N 为n Z 的一个理想子环, 简称n Z 的理想.定义 2.1.8 设R 为任意一个环, N 是R 的理想. 则N R /对陪集的加法和乘法作成一个环, 称该环为R 关于N 的商环.定义2.1.9 ⋅〉+〈,,n Z 的乘法群G (n 为素数时, n Z 中的所有非零元做成G , n 为合数时, n Z 中的所有可逆元做成G )中, 对于G a ∈∀, 若a 满足:a a =2, 则称a 为⋅〉+〈,,n Z 的一个幂等元[1].定义 2.1.10 对于∀n Z b a ∈,, 若∃n Z q ∈, 使得q a b =, 则称a 整除b , 记作|a b --,否则, a 不整除b .2.2 模n 剩余类环的基本性质性质2.2.1 对n Z b a ∈∀,, 若b a =, 则(1,0,1)a b nk k =+=-.性质2.2.2 对n Z a ∈∀, 0==++=na a a a a n .性质2.2.3 设n Z b a ∈,, |a b ⇔(,)|a n b .在以下内容中, )(n T 表示n 的正因子的个数, )(n ϕ为Euler 函数, 表示不超过n , 与n 互素的元素的个数.3 主要结果及其证明3.1 模n 剩余类环n Z 的一般性质（1）⋅〉+〈,,n Z 是交换环.（2）⋅〉+〈,,n Z 中非零元m 是可逆元⇔1),(=n m , 且可逆元的个数为)(n ϕ个. 证明 设m 是⋅〉+〈,,n Z 的可逆元, 则∃s ∈⋅〉+〈,,n Z , 使得1==ms s m ,⇒)1(|-ms n , 即+∈∃N t , 使得nk ms =-1, ⇒1=-nk ms , ⇒1),(=n m . 反之, 若0≠m ,且1),(=n m ,则∃t s ,n Z ∈, 使1=+nt ms , ⇒t n s m +=1=+nt ms , 故s 是m 的可逆元, 故⋅〉+〈,,n Z 可逆元个数为)(n ϕ个.（3）对n Z m ∈≠∀0, 若1),(=n m , 则m 为⋅〉+〈,,n Z 的零因子, 且⋅〉+〈,,n Z 共有-n )(n ϕ1-个零因子.证明 当(,)m n d =1>时, 令ds m =, dt n =, 1t n ≤<. 易见0≠t , ⇒mt t m =ns = 0=, 故m 是⋅〉+〈,,n Z 的零因子. 又由于⋅〉+〈,,n Z 中, 对于∀0≠m , m 不是可逆元就是零因子, 故⋅〉+〈,,n Z 共有-n )(n ϕ1-个零因子.（4）⋅〉+〈,,n Z 中,其左右零因子均为零因子.（5）⋅〉+〈,,n Z 是无零因子环⇔n 为素数.（6）设⋅〉+〈,,n Z 为无零因子, 且1>n Z , 则⋅〉+〈,,n Z 中所有非零元素(对加法)的阶必相同.（7）对于p Z ,（1）p Z 是特征为p 的有单位元的可交换环;（2）环p Z 是域⇔p 为素数;（3）若p 为合数, 则环p Z 有零因子, 从而不是域.（8）n m ,+∈N , 则m n Z Z m n |~⇔.（9）除去零乘环外, 同构意义下, 循环环有且仅有整数环及其子环以及剩余类环及其子环.（10）设n s z ∈, 若1),(=n s , s t =, 则1),(=n t .（11）⋅〉+〈,,n Z 的循环子群可由n 的所有因子作为生成元生成（或可由n 与其所有因子的差作为生成元生成), 且共有)(n ϕ个.证明 设n 的所有因子为1,2;t t p p p p . 任取一个由a ),0(Z a n a ∈<<生成的循环子群><a ; 设),(n a d =; 即d 是n 的因子, 设该因子为t p , ⇒t t p k n p k a 21,==, ,,21Z k k ∈（)21k k <, 且(12,k k )1=, ⇒a 的阶为2k , 又∈a ><t p , ⇒><a =><t p , 则该循环子群可由n 的任一因子作为生成元生成, 可知这样的循环子群共有)(n ϕ个.3.2 模n 剩余类子环的相关命题命题3.2.1 环n Z 有且仅有)(n T 个子环, 且n Z 是一个n 阶循环环.证明 由于n Z ={0,1,2,1n -}对加法作成循环群, 所以n Z 为n 阶循环环; 又因为n 阶循环群有且仅有)(n T 个子群, 所以n 阶循环环有且仅有)(n T 个子环, 即⋅〉+〈,,n Z 有且仅有)(n T 个子环.命题3.2.2 ⋅〉+〈,,n Z 中任意两个不同的子环彼此不同构. 证明（1）若⋅〉+〈,,n Z 的两个子环不同阶, 成立.（2）设R 为n Z 的任意k 阶子环, 则n k |. 而>+<,Z 为n 阶循环群, 故对n 的每个正因数k , >+<,Z 有且仅有一个k 阶子群, 则n Z 有且仅有一个k 阶子环. 故n Z 的任意两个不同子环彼此不同构.命题 3.2.3 当)2(≥=s p n s , p 为素数时, n Z 的s p 阶)(s r <子环S 是含零因子无单位元的环.证明 设n Z 的s p 阶子环})1(,,,0{r s r r s p p p S ---= , 先证它是含有零因子的环.（1）当s r s ≥-22时,对0≠=∀-r s p k a , 0≠=-r s lp b , +∈N l k ,, ⇒0=ab ,故S 是有零因子的环.（2）当s r s <-22时,取0≠=-r s p a , 02≠=--r s s r p p b , ⇒0==s p ab , 故S 是有零因子的环.下证S 是无单位元的环.设S 有单位元r s pl e -=, 则对r s p k a -=∀, 1-≤≤s p k l , 有a ea =, 即有: r s r s r s kp p k p l ---=⋅,⇒s r s r s mp kp lkp +=--22, r s r rr s kp k mp l k mp lkp --+=⇒+=, 取1=k , 则r s r pp m l -+=11, 由r r s r s t s r <-⇒<-⇒<-0222, 所以r r s p m p 1|-, 而p 不整除l , 因此11+-r r s p m p 不整除, 则l 不是整数, 故S 无单位元.命题3.2.4 若pq n =, p 是素数, q 是大于1的正整数,则:(1)当1),(=q p 时, n Z 的p 阶子环S 是域; 且p Z S ≅;(2)当p q p =),(时,n Z 的p 阶子环S 是零环.证明 设n Z 的p 阶子环})1(,,0{q p q S -= ,（1）当p q p =),(时, 令q k b q k a S b a pd q 21,,,,==∈∀=对,021=⋅=pd k pd k ab ,故S 是零环.（2）当1),(=q p 时,q k k p mpq q k k q k q k 2122121|,,0⇒=⇒=⋅, 则对∈==∀q k b q k a 21, ,S 只要01≠=q k a , 21|,k p k p ⇒不整除, 由0=ab ,0,0=⇒≠b a , 即S 是无零因子环,又由于S 有限, 所以S 为域.设lq e =是S 的单位元, 则对S kq ∈∀,有kq kq lq =⋅, 即mpq kq lkq +=2, 取1=k , 得到qsp l 1+=. 因为l 为整数,只需选取适当的s 使l 为整数, 就可求得单位元. 命题3.2.5 设uv n =, u 是合数,1≠v , 则n Z 的u 阶子环是含零因子的无单位元的环.证明 u 是合数, 令st u =,n Z 的u 阶子环})1(,,2,,0{v u v v S -= , 取0≠=sv a ，0≠=lv b , 其中l s ,+∈N , ⇒0=ab , 故S 含有零因子. 设S 有单位元e , 且lv e =,对)11(-≤≤=∀v k kv a , 则有a ea =, 即k mu lkv kv lkv +=⇒=,2,⇒kvk mu l += )(*, （1) 设1),(≠=d v u 时, 在)(*式中取1=k ,vu m l 11+=, 若l 有整数解, 即方程:11=+-xv u m 中x 有整数解, 所以上述方程有整数解⇔1|),(v u , 矛盾, 所以S 无单位元.（2）设1),(=v u , 在)(*式中取11>-=u k ,⇒1)1,())1(,(=-=-u u u v u , vu u u m l k )1(1--+=, 则l 有整数解即为整系数方程:1)1(-=-+-u vx u u m k 有整数解x , 而x 有整数解⇔）（1|))1(,(--u v u u . 又由于1),(=v u , 故1))1(,(=-v u u 不整除1-u , 矛盾, 故S 无单位元.商环也是一种重要的子环, 这里我们探讨一下商环><><mn n /在什么情况下是域或者有零因子无单位元的环.命题 3.2.6 设n 是正整数, >=<n R 是由n 生成的环, 则商环><=t n R S /（t 是正整数, 且2≥t )是含零因子无单位元的环.证明 当2=t 时, 此时><>>=<<=22//n n n R S 是有限零环. 事实上,对S b a ∈∀,, 取n k a 1=,n k b 2=, ⇒0221==n k k ab ; 当2>t 时,})1(,,,0{1n n n S t -=- , 取0≠=n a ,02≠=-n n b t ,⇒0==t n ab , 所以S 是含零因子的环.设S 有单位元l e =n , 则对S kn a ∈=∀, 有a ea =, 即t mn kn lkn kn lkn +=⇒=22,, ⇒kn k mn l t +=-1, 取1=k ,⇒n n m l t 111+=-, 因为11|t n m n -,n 不整除1,n 不整除)1(11+-t n m , 故不存在整数l , 即S 无单位元.命题 3.2.7 设n 是正整数,p 为素数,>=<n R 是由n 生成的环, 则商环><=pn R S /,（1）当1),(=n p 时是域, 且p Z S ≅;（2）当p n p =),(时,S 是零环.证明 设})1(,2,,0{/n p n n pn n S ->=<>=< ,（1）当1),(=n p 时, 对S b a ∈∀,, 取n k a 1=,n k b 2=, 若,022121===n k k n nk k ab ⇒n k k p n k k pn 21221|,|⇒, 又1),(=n p , 所以21|k k p , 当01≠=n k a 时,,1k p 不整除⇒2|k p , 亦即0=b , 所以S 是无零因子的环, 则S 中消去率成立, 又因为S 有限, 所以S 是域.设e 是S 的单位元, 对p Z a ∈∀,有a 对应于a 、e , 即可得S Z p ≅.（2）当p n p =),(时, 令pd n =,对S b a ∈∀,, 有n k a 1=,0,2212==⇒=n k k ab n k b ,所以S 是零环.命题3.2.8设m n ,是正整数,且m 是合数,1≠n ,>=<n R 是由n 生成的环,则商环><=mn R S /是含零因子无单位元的环.证明设})1(,,,0{/n m n mn n S ->=<>=< 是m 阶环.设uv m =,u <1,m v <,取un a =,vn b =,则02==uvn ab ,所以S 是有零因子的环.设S 有单位元l e =n ,则对S kn a ∈=∀,有a ea =，即:l tmn kn lkn kn kn n +=⇒=⋅2,所以kn k tm l /)(+= )(*, 那么 当1),(≠=d n m 时, 在)(*式中取 1-=m k , 则有n m m t l k )1/()]1([--+=,/)1(n m -)]1([-+m m t k ,即可找到正整数y ,使得1)1(-=--m m t ny m k ,y 有整数解的充要条件是）（1|),)1((--m m n m ,而1),1(),)1((=-=-m m m n m ,与假设矛盾,所以S 无单位元. 3.3 模n 剩余类加群相关性质列举定理 2.1>+<,n z 中元素m 是>+<,n z 的生成元的充分必要条件是1),(=n m ,且生成元的个数为)(n ϕ个.证明若1),(=n m , 则存在整数,,t s 使1=+nt ms , 于是便有:1=nt ms +=nt ms + =s m ms t ms ==+0∈><m ,所以>+<,n z >=<m ,且m 是>+<,n z 的生成元.反过来,若m 是>+<,n z 的生成元，则>∈<m 1,⇒m s =1,而0=n ,所以,n t m s m s +==1，即1),(=n m .故>+<,n z 的生成元个数为)(n ϕ个. 定理2.2>+<,n z 有()n T 个子群.证明只需证明对n 的每个正因数k ,>+<,n z 有且只有一个k 阶子群. 易知>+<,n z 为n 阶循环群,令>=<m z n , 则n m =,设n k |,令kq n =,则k m q =,故><m q 是>+<,n z 的一个k 阶子群,令H m p >=<,则H 是循环群,且k m p =,但m p 的阶为),(n p n ,从而k n p n =),(,),(n k p n =,又由于kq n =,得到),(n p q =,且p q |,于是m p ∈><m q ,则><m p ⊆><m q ,但><m p ,><m q 的阶均为k ,故><m p =><m q ,换句话说>+<,n z 的k 阶子群唯一.由上述知：剩余类加群>+<,n z 的子群个数为()n T . 定理2.3>+<,n z 自同构的个数为)(n ϕ个.证明设g 为>+<,n z 的任一自同构,并设)(a g =b =a m ,a a s g =)(,则 a m a sm g =)(,由于g 是自同构,故b s a m s a ==)(,从而有,>>=<>=<<)(a g b a ,即在同构映射g 下生成元的象仍为生成元.反之, 设b a ,是>+<,n z >=<a 的两个生成元,易知,>>→<<a a g :,b S a S → 是><a 的一个自同构,所以><a 的生成元完全决定了><a 的自同构,即><a 有多少个生成元,它就有多少个自同构,而由定理 3.1知 >+<,n z 有)(n ϕ个生成元,故>+<,n z 有)(n ϕ个自同构.3.4 模n 剩余类乘法群及其幂等元的简单求法设n Z 是一个模n 剩余类环,考察环n Z 中的乘法群G （当n 为素数时,n Z 中非零元作成乘法群;当n 为合数时,n Z 中可逆的元作成乘法群）.由定义2.1.8知,群G 中的单位元e 是G 的一个幂等元, 且有===32e e e , 反之,若g 是环n Z 的一个幂等元,则g 必然是n Z 的一个乘法群的单位元;例如g 是一元群][g 的单位元.在一个低阶的模n 的剩余类环,例如18Z 中,不难通过测试的方法来确定其幂等元;一般地,在模n 剩余类环n Z 中可如下考虑:设e 是环n Z 中的一个幂等元, 那么,我们有)(mod e 2n e ≡）（1, 则≡-)1(e e ）（n mod 0 )2(, 即e 和1-e 是互素且相邻的整数;若n 为整数, 则有）（或n mod 10e ≡;若n 为合数,不妨设n =21n n , 不考虑）（或n mod 10e ≡的幂等元（换句话说e 既非环n Z 的零元也非n Z 单位元）,e 或)1(-e 将分别是n 的因子21n n 和的倍数;此时便可考虑取用该因子的倍数判断是否为环的幂等元.例2.1 设9218⨯==n ,于是在18Z 中若是取9=e ,首先我们有)19(9-⨯≡0)(mod n 或）（n mod 992≡, 即9=e 是18Z 中的一个幂等元;其次,由于9和8)19(=-互素,故11819=⨯-⨯在上式两端分别加上98-89⨯⨯, 则可推算出163-6479-88==⨯⨯, 并得到适合)2(式的两个相邻整数64和63, 则由）（modn 1064≡,）（modn 10102≡又可得到18Z 中的另一个幂等元10.对于上述18Z 中的两个幂等元9和10, 容易看出它们具有如下的性质:910+≡1（18mod ），910⨯≡0(18mod ), 从而, 我们有以下命题: 命题设R 是一个有单位元的环,e 是R 的非零非单位元的幂等元, 则e f -=1也是R 的幂等元, 并且具有性质:0,1==+ef f e .证明事实上，由e e e e e e -=+-=+-=-12121)1(22知:e f -=1是R 的一个幂等元;又1)1(=-+=+e e f e , 0)1(2=-=-=e e e e ef .故得证.运用该命题, 我们可以容易地从n Z 中的一个非零非单位元幂等元求出另外一个幂等元f .例2.2 已知e 13=是26Z 的一个幂等元,则由)(mod 14121311n e f ≡-=-=-=知:f 14=也是26Z 的一个幂等元.由该命题, 我们还可以得出关于n Z 中的幂等元与n Z 元素之间另一关系如下:设=n 21n n , 且幂等元e 是1n 或1n 倍数,则n Z 中每一个元素k 均可表成n Z 中幂等元e 和f 的唯一组合:)(mod n f y e x k ⋅+⋅≡)(**, 其中)(m od 2n k x ≡, )(m od 1n k y ≡. 例2.3 在上述26Z 中, n 13226⨯==,幂等元e =13;任取k 17=, 则由)(**有:)26(mod 000f e +≡)26(mod 69144134117≡⨯+≡+≡f e)26(mod 18114121312125≡⨯+≡+≡f e其中)2(mod 117≡≡x , 而)13(mod 417≡≡y .以上讨论了模n 剩余类环n Z 中幂等元的存在和求法.那么,对于给定的一个整 数ε,ε可以是哪一个模n 剩余类环n Z 的幂等元呢? 若要ε为n Z 的幂等元,则应有:)1(|)(m od 0)1()(m od 2-⇔≡-⇔≡εεεεεεn n n ,于是对任意给定的一个整数ε,取定一个)1(-εε的因子n ,便可在模n 的最小非负剩余系中确定以ε为幂等元的包含于n Z 的群.为此,对ε,令)})1(,,2,,1{(εεε-≡n R )(***,则:)1(n Z 中以幂等元ε为单位元的乘法群R G ⊆;)2(R 中属于G 的元必须是一个关于R 和G 共同单位元ε的有逆元的元.为此,令:},|{)(111ε==∈∃∈=---rr r r R r R r R G 使得,则()G R 是一个满足要求的,由R 的可逆元作成的,包含幂等元ε的乘法群.例2.4 设ε=25，则n 是6002425)1(=⨯=-εε的一个因子,不妨设n =30,则有)30(mod 25252≡，而又由)(***式得=-=)}25)(130(,),25(2),25(1,0{ R 15,10,5,0{ }25,20)30(mod ,不难判断R 中关于单位元ε25=的可逆元为25,5,因此)30}(m od 25,5{)(30=Z G 为所求30Z 中包含幂等元ε25=的乘法群.至此,上面我们对模n 剩余类环n Z 及其乘法群的进行了一些讨论,阐述了群与环的部分关系;由群的单位元导出了其幂等元,并且给出了如何在n Z 中去确定其幂等元;反之,对于给定的任一整数,也可以确定以其为幂等元的环n Z 及其所构成的乘法群.3.5 模n 剩余类环n Z 的理想定理3.5.1模n 剩余类环n Z 的所有理想都是主理想.证明对循环子群(对加法), i ∀,根据理想的定义,>∈<∈∀i c b Z a n ,,有:（1）>∈<-=-i c b c b ;（2）>∈<++==i b b b ab b a a个. 同理：>∈<i a b ; 所以><i 作为一个理想,显然><i 是主理想.由定理及上叙定理的证明过程可以看出:循环子群(对加法)加上乘法是模n 剩余类环n Z 的主理想.定理3.5.2模n 剩余类环的子加群,子环,理想是一致的.定理3.5.3设n Z 是模n 剩余类环,则:（1）n 是素数,n Z 是域,则n Z 只有零理想和单位理想;（2）n Z 是域充分必要条件是(n )是Z 的极大理想.证明(1)显然成立.（2）由上述定理6知n Z 是域的充分必要条件是n 为素数. 因此只需要证明><n 是Z 的极大理想的充分必要条件是n 为素数.由于n Z 是有单位元的交换环,设主理想}|{Z k nk n ∈>=<,若><n 为极大理想,如果n 不是素数,则必有,,1,2121n n n n n n <<=,于是>∈<1n n ,但>∉<n n 1, 则><1n 是n Z 的真包含><n 的理想.由><n 为极大理想知n Z n >=<1.但>∉<11n , 矛盾,所以n 是素数.反之,设n 是素数,A 是n Z 的理想,且A n Z A n n >≠<⊆>⊆<,,则存在>∉<∈n a A a ,. 因为n 是素数, 所以n 与a 互素,则存在Z v u ∈,,使1=+nv ua ,由A a n ∈,可知Z A A vn ua =∈+=则,1.因为Z n n >≠<±≠,1, 所以><n 是极大理想.3.6 剩余类环的应用在此我们主要给出剩余类环对Euler 函数关系式, Eisenstei n 判别法, 整系数多项式无整数根,Euler 定理及Fermat 小定理等数论的古典结果给出纯代数的证明.并从代数的角度观察熟知完全及简化剩余系的一些性质.例2.5 (Euler 函数关系式)ϕ为Euler 函数,当1),(=n m 时,)()()(n m mn ϕϕϕ=.证明当1),(=n m 时,)/()/()/(><⨯><=><n Z U m Z U mn Z U , 而)/(><mn Z U = )(mn ϕ,)()/(n n Z U ϕ=><,)()/(m n Z U ϕ=><,所以)()()(n m mn ϕϕϕ=.注:为方便起见下面出现的函数ϕ,都是Euler 函数.例2.6 (Eisenstei n 判别法)设011)(a x a x a x f n n n n +++=-- 是一个整系数多项式,如果有一个素数p ,使得p 满足条件: )1(p 不整除n a ;)2( p |i a (1,1,0-=n i );)3( 2p 不整除0a .那么)(x f 在][x Z 中不可约.证明首先,令])[/()(0x p Z x a x f n i i i ∈=∑=,其中a 表示a 的模p 剩余类.假设f 在][x Z 中可约,令gh f =, 其中0111b x b x b x b g s s s s ++++=-- ,0111c x c x c x c h m m m m ++++=-- ,n s m <,n s m =+.于是h g f =,而另一方面011)(a x a x a x f n n n n +++=-- .因为p |i a (10-≤≤n i ),p 不整除n a ,故n n x a f =, 令s x g α=,m x h β=, 即g 的常数项00=b ,h 的常数项00=c ,那么p |0b , 且p |0c ,则2p |000a c b =, 这与2p 不整除0a 矛盾,故)(x f 不可约.例 2.7 (整系数多项式无整数根)设01)(a x a x a x f k k +++= 是整系数多项式,且0a 和∑=k i i a0都是奇数,则)(x f 无整数根.证明令∑=><∈=ki i i x Z x a x f 0][2/)(,其中i a 表示i a 的模2剩余类,假设)(x f 有一整数根n ,而0=n 或1=n ,若0=n , 则有0)0()(0===a f n f ,故有2|0a 矛盾.若1=n ,则有0)1()(0===∑=k i i a f n f , 故2|∑=ki k a 0, 矛盾.故假设不成立,即)(x f 无整数根. 例2.8 (Euler 定理)设n 是大于1的整数,1),(=n a , 则)(mod 1)(n a x ≡ϕ.证明因为1),(=n a ,))/((n Z U a ∈,但单位群))/((n Z U 的阶为)(n ϕ,所以1)(=n a ϕ,即1)(=n a ϕ, 所以)(mod 1)(n a n ≡ϕ).例2.9 (Fermat 小定理)若p 是素数,则)(mod p a a p ≡.证明若1),(=p a ,由Euler 定理及1)(-=p p ϕ得)(mod 11p a p ≡-,所以)(mod p a a p =,若0),(≠p a ,则a p |,故)(mod p a a p ≡.下面从代数的角度来观察完全及简化剩余性质例2.10设110,,,,1),(-=n a a a n a 为模n 的完全剩余系, 则110,,,-n aa aa aa 也是模n 的完全剩余系.证明由题设知)/(},,,{110n Z a a a n =- ,由1),(=n a 知a 可逆,故有)/(},,,{110n Z aa aa aa n =- , 所以110,,,-n aa aa aa 也是模n 的完全剩余系.例 2.11 设1)(10,,,,1),(-=n a a a n a ϕ 为模n 的简化剩余系, 则1)(10,,,-n aa aa aa ϕ 也是模n 的简化剩余系.证明由题设知))/((},,,{1)(10n Z U a a a n =-ϕ ,由1),(=n a ,知a 可逆,故))/((},,,{1)(10n Z U aa aa aa n =-ϕ , 所以1)(10,,,-n aa aa aa ϕ 是模n 的简化剩余系.参考文献[1] 杨子胥.近世代数[M].北京:高等教育出版社,2003,175-200.[2] 吴品三.近世代数[M].北京:人民教育出版社,1979,143-153.[3] 张禾瑞.近世代数基础[M].北京:人民教育出版社,1978,157-163.[4] 单桂华,张琴,叶涛.模n 的剩余类><n Z /的几点应用[ J ].湖南大学学报(自然科学版), 1999,10(1):23-24.[5] 杨树生.模n 的剩余类加群>+<,n z 及模n 剩余类环>+<,.,n Z 的若干性质[ J ].河套大学学报,2004,17(1):72-74.[6] 李伯葓.模n 的剩余类环的子环[ J ].南京师大学报(自然科学版),1992,(3):61-62.[7] 唐再良.论模n 剩余类环n Z 的性质与扩张[ J ].绵阳师范学院学报,2008,27(8):125-127.[8] 潘庆年.剩余类环及若干数论问题[ J ].阜阳师范学院学报(自然科学版),1999,16(1):51-52.致谢论文完成之际，谨向所有曾给予我帮助和指导的老师、同学和朋友们致以衷心的感谢！首先，我要感谢唐老师,从选题到开题报告,从写作提纲到一遍又一遍地指出每稿中的具体问题，严格把关，循循善诱,在此我表示衷心感谢.感谢在天水师范学院学习的这四年来，给我授课的各位老师,是你们用渊博的知识教育了我,正是你们的教育,数学与统计学院2013届毕业论文我才能顺利完成这篇文章.在此,让我向你们表示深深的谢意.借此机会,我也向一直默默支持和关心我的父母和好友们表示感谢,祝他们身体健康.17。