1 二次函数专题讲解 一、知识综述： 1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数.

2.二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，。 3.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：abacabxacbxaxy442222，∴顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k)，对称轴是直线hx. 4.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2. 它们的图像特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 2axy

当0a时 开口向上 当0a时 开口向下

0x（y轴）

（0,0）

kaxy2 0x

（y轴）

(0, k)

2

hxay

hx (h,0)

hx (h,k)

cbxaxy2 abx2

(abacab4422，)

开口大小与｜a｜成反比，｜a｜越大，开口越小；｜a｜越小，开口越大。 5.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式. （2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 6.二次函数图象的平移 左加右减（对X），上加下减（对Y）。 二、考点分析及例题解析 考点一：二次函数的概念

khxay22

例1：如果函数1)3(232mxxmymm是二次函数，那么m的值为 。 考点二：二次函数的图象 例2（2016年广东省广州市）已知抛物线y＝－x2＋2x＋2． （1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ； （2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象； x … … y … … （3）若该抛物线上两点A（x1，y1），B（x2，y2）的横坐标满足x1＞x2＞1，试比较y1与y2的大小．

例3 (2016年安徽省芜湖市)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝ ax 与正比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）

例4 (2016年兰州市)抛物线cbxxy2图像向右平移2个单位再向下平移3个单位，所得图像的解析式为322xxy，则b、c的值为（ ）

A . b=2， c=2 B. b=2，c=0 C . b= -2，c=-1 D. b= -3， c=2

例5.（2006，大连）右图是二次函数y1=ax2+bx+c和一次函数y2=mx+n的图像，•观察图

像写出y2≥y1时，x的取值范围_______．

变式训练： 1、在同一坐标系中，直线baxy和抛物线cbxaxy2的图象只可能是（ ）

2、（山西）抛物线y=－2x2－4x－5经过平移得到y=－2x2，平移方法是（ ） A．向左平移1个单位，再向下平移3个单位

-5-4-3-2-1O12345

x

y-11

Y O X Y

O X Y

O X Y O X 3

B．向左平移1个单位，再向上平移3个单位 C．向右平移1个单位，再向下平移3个单位 D．向右平移1个单位，再向上平移3个单位

考点三：确定二次函数的解析式 例4：（2016年宁波市）如图，已知二次函数cbxxy221的图象经过A（2，0）、B（0，－6）两点。 （1）求这个二次函数的解析式 （2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C， 连结BA、BC，求△ABC的面积。

解：（1）把A（2，0）、B（0，－6）代入cbxxy221

得：6022ccb 解得64cb ∴这个二次函数的解析式为64212xxy （2）∵该抛物线对称轴为直线4)21(24x

∴点C的坐标为（4，0） ∴224OAOCAC

∴6622121OBACSABC

变式训练： 1、已知：函数cbxaxy2的图象如图：那么函数解析式为（ ） （A）322xxy （B）322xxy （C）322xxy （D）322xxy

考点四：最值问题 例5：矩形ABCD的边AB=6 cm，BC=8 cm，在BC上取一点P，在CD边上取一点Q，使∠APQ成直角，设BP=x cm，CQ=y cm，试以x为自变量，写出y与x的函数关系式.并求出CQ的最大值。

例6：如图，抛物线的对称轴是直线x=1，它与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点。点

y x C

A O

B 第4题

3 o -1 3 y x A B C D P Q 4

A,C的坐标分别是(-1,0),(0,23) （1）求此抛物线对应的函数解析式； （2）若点P是抛物线上位于轴上方的一个动点，求△ABP的面积的最大值。

变式训练： 1、将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这个正方形面积之和的最小值是________cm。 2、 如图，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y． （1）用含y的代数式表示AE； （2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； （3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．

考点五：以二次函数为基架的综合题 例7：某超市经销一种销售成本为每件40元的商品。据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周

能售出500件，若销售单价每涨1元，每周的销售量就减少10件。设销售单价为每件x元（x≥50）,一周的销售量为y件。 （1）写出y与x的函数关系式；（标明x的取值范围） （2）设一周的销售利润为s，写出s与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，香洲随着单价的增大而增大； （3）在超市对该种商品投入不超过10000元的情况下，使得一周销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？

变式训练： 某商店经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场分析，若按每件50元销售，一个月能售出210件；销售单价每涨1元，则每个月少卖10件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元。 (1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围； (2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大的利润？最大利润是多少元？

三、课堂练习 5

1．已知二次函数bxay2)1(有最小值 –1，则a与b之间的大小关系是 （ ） A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定 2．（长沙）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，•则下列关系式不正确的是（ ）

A．a<0 B．abc>0 C．a+b+c<0 D．b2－4ac>0 3．（2008，威海）已知二次函数y=ax2+bx+c的图像过点A（1，2），B（3，2），C（5，7）．若点M（－2，y1），N（－1，y2），K（8，y3）也在二次函数y=ax2+bx+c的图像上，则下列结论中正确的是（ ） A．y14．如图所示，抛物线的函数表达式是（ ） A．y=x2－x+2 B．y=－x2－x+2 C．y=x2+x+2 D．y=－x2+x+2 5．（，泰安）在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=－mx2+2x+2（m是常数，•且m≠0）的图像可能是（ ）

6．求下列函数的最大值或最小值． （1）xxy22； （2）1222xxy．

7．已知二次函数mxxy62的最小值为1，求m的值．

8．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：)300(436.21.02xxxy．y值越大，表示接受能力越强．

（1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ （2）第10分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？

9．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．