课程:应用法泛函分析 题目:泛函分析在控制系统及算法中的应用 学 院：自动化与电气工程学院 专 业：控制理论与控制工程
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二○一三年十二月十日第1页 第2页
泛函分析在控制系统及算法中的应用 【摘 要】泛函分析的理论、思想和方法在应用数学、物理理论、现代工程技术等众多领域都有广泛的应用。它不仅为控制算法优化以及系统性能分析等建立了严密的理论体系，而且为控制工程实用的数值计算和控制算法的建立，提供了明确的理论依据，并对算法实现的有效性、收敛性提供了各种实用方法。本文从遗传算法的优化，控制系统性能分析和最优控制三方面简要分析了泛函在控制理论与控制工程中的应用。 【关键词】泛函分析 控制理论与控制工程 遗传算法 最优控制 【中图分类号】O177.92- TL361 Through the study of functional analysis, knowing that functional analysis is widely used in many fields, it not only builds a strict theoretical system for the optimization of controlling algorithm and the analysis of systematic performance but also provides a definite theoretical basis for the establishment of numerical calculation and control algorithm of the useful Controlling Engineering.At the same time, a variety of practical methods are put into the algorithm’s effectiveness and convergence. In order to grasp and understand the application of the theory of functional analysis and learn the methods of application of functional analysis. From the point of genetic algorithm , the analysis of performance of controlling system and optimal control briefly analyse that functional is applied in the fields of controlling theory and controling engineering 一、遗传算法的优化 设一个系统的种群为
12,.....nXxxx （1-1）
满足约束条 01,2,,01,2,,01,2,,jkiXjlXkminghx
（1-2）
使目标函数： minWX
（1-3）
上述问题称为遗传算法的一个优化问题，其中约束条件是一个工程结构中的各项参数，（如系统的动态性能指标、静态性能指标）应该满足的条件。目标函数是用来评价系统的优劣；在寻求目标函数满足约束条件下达到最小值，传统的遗传算法，按照适者生存的原理从给出的种群中不断进化寻求满足约束条件的新解，最后找出收敛的最优解。寻求最优解的过程汇总，当变量增多或者种群取值范围大时，寻求收敛的速度就会相应降低，无法精确的确定最优解的位置。因此采用一解空间到另一解空间的映射, 改进遗传算法求解的迭代过程，从映射角度对分析遗传算法的收敛性，上述问题可以得到相应的解决。 定义 1 度量 :dSSR，其中 d 的表达式定义如下： 22,iiiidcfcfxxxx (1-4)
其中ix,2iSx ,c 是一个大的正数。 第3页 第4页
首先证明,Sd是度量空间，事实上,Sd满足以下条件： S 位非空集合，d为SS上的实值函数，对S中的任意两个元素ix，2ix对应一个实数2,iidxx满足：
22,0,,iiiidSxxxx (1-5) 且当仅当2iixx时，2,0iidxx 满足非负性； 22|2,iiiiiidcfcfcfcfxxxxxx (1-6)
满足对称性
22112112112,,,iiiiiiiiiiiiiiiidcfcfcfcfcfcfcfcfcfcfddxxxxxxxxxxxxxxxx
(1-7)
满足三角不等式，所以,Sd为度量空间。其次证明,Sd是完备度量空间，S是一有限状态空间，即 S中染色体的数目是有限的，对于任意染色体的柯西列ix以及任意0，存在自然数 N，当自然数 n, m > N 时，,nmdxx，当 n →∝ 时，nxx，因此, ,Sd是完备的度量空间。最后证明,Sd是可分的，设G是S的子集，由于S为有限集合，因此G为可数子集，又G的闭包包含S中所有元素，所以G在S中稠密，这就证明了,Sd是可分的，因此,Sd是完备可分的度量空间。 定义 2 随机算子:TSS称为随机压缩算子，如果存在非负实值随机变量1,..Kas使 111,,,,1,,iiiiiipdTTKdSxxxxxx (1-8) 定理 1 改进遗传算法所形成的映射T是随机压缩算子。 证明：根据改进遗传算法运行机理，从理论上讲，如果采用 ELITIST 策略，每迭代一次就会产生比上 一迭代更好的个体，所以存在一个非负实值随机变量，01,..Kas使得： 11111,,,,,iiiiiiiiiidTTdcfcfKcfcfKdxxxxxxxxxx(1-9)011.(,),(,),iiiidTTkdxxxx (1-10) 1p (1-11) 定义 3 设映射:TSS为一随机算子，若可测映射:gSS 满足：存在非负实数1K，使得 111,,,,,,iiiiiidTTkdSxxxxxx
(1-12)
则有唯一的不动点S，且0,,1,2,,iiSTixxx则必有,iix满足(16)的映射，称之为压缩映射或压缩算子。 定理 2 设随机算子:TSS满足对几乎所有的,T均为压缩算子，即存在0，01p，使任一0，有： 第5页 第6页
11,,,,iiiidTTKdxxxx (1-13) 对任一1,iiSxx ，其中01K ，对任一0，则有唯一随机不动点g，即
,Tgg (1-14) 证明：利用巴拿赫压缩映射定理，对任一0，存在hS，为T唯一不动点，对于任一xS，则令： 则g为T广义不动点，且为T唯一不动点，下面g证明的可测性：对任一0Sx ，令
101,,,,1,2,iiTTixxxx (1-15) 由于00,,,,iiiTTSxxxxx即T连续，根据复合定理知ix为一随机变量列，又根据巴拿赫压缩映射定理，,..igasx，由随机变量的极限定理可知g为一随机变量，从而g为T的随机不动点，且为T的唯一不动点。因此遗传算法的求解迭代过程是一个随机压缩映射，根据定理2可知该迭代过程是收敛的。 二、控制系统的性能分析 随着科技的发展控制理论迅速发展，研究的系统复杂程度亦不断增大，但是控制系统的性能分析依然是研究主题。主要是控制系统的稳定性以及鲁棒性。稳定性是系统在使它偏离平衡状态的外界扰动作用消失后，返回原料平衡状态的能力；而控制系统的鲁律性则是指控制系统对特性或参数扰动的不敏感性。
设nXR为欧式空间，(),xtXtR 称为系统的状态，一般系统方程为 ()(,(),())xtftxtut， 0[,)tt (2-1)
其中[0,)2.truL为控制输入，假定采用状态反馈，即 ()()utKxt， 0[,)tt (2-2) 其中K∈£（Rn，Rr）；不失一般性，闭环系统仍可写成
()(,())xtftxt ， 0[,)tt；ˆ(0)xtx (2-3) 又设φ是系统的态变映射，则其等价形式是
0ˆ()(,,)xtttx，0[,)tt (2-4) 二者之间的联系是
00(,,())()ˆ(,())(,,)limtttttxtxtftxtttxt (2-5) 如果式(2-3)式中的f不依赖于时间变量t，即 ()(())xtfxt ， [0,)t；0(0)xx (2-6) 则称其是自治系统；此时，态变映射可表示为 0()(,)xttx， [0,)t (2-7) exX称(2-3)为式系统的一个平衡状态，如果
(,)0eftx， 0[,)tt (2-8) 或者00(,,),[,)eexttxtt。 对于式(2-6)的自治系统，若f（0）=0，则0∈X是一个平衡状态。一般情况下，系统不必有平衡状态；而有平衡状态时，也并不一定只有一个。