( 3 ) x ( t t 1 ) ( t t 2 ) x ( t t 1 t 2 )
证明：
x(tt1)(tt2)
x(t1)(tt2)d
x(tt1t2
')(')d'
x(tt1t2)
(令tt2 ')
(4)
若x(t： )x1(t)*x2(t) 则 :x1(tt1)x2(tt2)x(tt1t2)
1. 图解法： 2. 以一个例子说明这个方法。已知：
2
x[n]
1
1
h[n] 11
012 n
012 n
求y： f[n]x[n]h[n]
（ 1）反h折 [k] ： h[k]
h[-k] 11
-2 -1 0 n
（ 2）时 h[－ 移 k] ： h[nk]
例：设x(t)与h(t)如图所示，求y(t)=x(t)*h(t)
x (t)
h(t)
1
1
1 2
反折：
01t h( ) 1
-2
0
0
时移
2t
h(t )
1
-2+t
t 0
（1）
h(t )
x( )
1
（2）
-2+t
t
1 2
0
1
h(t )
1
x( )
-2+t1 20 Nhomakorabeat
1
（3）
h (t ) x ( )
2、将h(-τ）沿τ轴时延t秒，得得h(t－τ）
3、将x(τ）与 h(t－τ）相乘 ，得x(τ） h(t－τ） 4、沿τ轴对x (τ） h(t－τ）积分
h(t)
1 1
x(t) t
2 1
2 4t
h(t-) t= 0
x()
t-1 t
t< 1
1< t< 2
2< t< 3
3< t< 4
4< t< 5
yf(t) x()h(t)d
上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算，用 y(t)=x(t)*h(t)表示。即
y(t)x(t)*h(t) x()h(t)d
❖卷积积分的图解法 卷积的图解法有助于我们理解卷积的物理意义以及求
解步骤，以x(t)*h(t)为例：
1、将h(τ）反折，得h(-τ）
(5 ) x(t) '(t)x'(t)
例
h(t)
已知：h(t)1 t 2
0 t 2
-2
2
t
x(t)3 (t)(t3 )
解：将h(t)写成与阶跃函数乘积的形式：
h (t) u (t 2 ) u (t 2 )
y(t) x(t)h(t)
(3(t)(t 3))[u(t 2)u(t 2)] 3(t)u(t 2)3(t)u(t 2) (t 3)u(t 2)(t 3)u(t 2)
h(t) L[{0},(t)] cetu(t)的形式。 这里，＝－2。即h(t) ce－2tu(t)代入方程中： －2ce－2tu(t)＋c (t) 2ce－2tu(t) 3 (t)
c 3 h(t) 3e－2tu(t)
注意：单位冲击响应为系统的零状态响应。
2.3 卷积积分
对于线性系统，可以将输入信号分解为许多简单 信号之和。如果求得简单信号作用于系统的响应， 那么，所有这些响应叠加起来就是该输入作用于系 统的响应。
以及满足：
x[n][n]x[n] x[n][nn1]x[nn1] x[nn1][nn2]x[nn1 n2]
x1[nn1]x2[nn2]x[nn1 n2]
下面分析卷积和的几种运算方法：
从卷积和的表达式：
yf [n] x[n]h[n] x[k]h[n k] k
可知，卷积和也要经过以下四个步骤：
反 折 移 位 相 乘 求 和
第二章 线性时不变系统 （LTI：Linear Time Invarient)
重点： ❖理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质； ❖掌握LTI系统的性质； 难点： ❖深刻理解卷积积分与卷积和的概念；
2.1 线性时不变连续系统的时域解法
连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分 方程来描述系统。
❖微分方程的经典解。
若： 0
0 t1
tn t
tn t
n 1
x ( t) ( t t1 ) ( t t2 ) ( t tn 1 ) ( t ti)
i 1
n 1
y ( t) h ( t t1 ) h ( t t2 ) h ( t tn 1 ) h ( t ti) i 1
设x(t)为无时限的信号，将它分解为一系列宽度为 的
4.与冲激函数或阶跃函数的卷积
（1）函数x(t)与单位冲激函数δ(t)卷积的结 果仍然是x(t)本身。即：
x(t)(t)x(t)
证明：
x(t)(t)
x()(t
)d
x()(
t)d
x(t) ( t)d
x(t)
((t) (t))
(2 ) x ( t)( t t0 ) x ( t t0 )
x(t) h1(t)
h2(t) y(t)
（4）卷积的微分：
两个函数卷积后的导数等于其中一函数导数 与另一函数之卷积。即：
( x ( t ) h ( t ) ) x '( t ) ' h ( t ) x ( t ) h '( t )
（5）卷积的积分：
t
t
t
( x () h ()d )x () d h ( t) x ( t) h () d
在离散系统中，由于离散信号本身就是不连续 的序列，对应每个样值序列，每一响应也是一个 离散时间序列，把这些序列叠加即得离散系统的 零状态响应。
离散单位冲激函[数 n]
[n]
1 0
n0 n0
1 [n]
-1 0 1
n
移位的单位冲激[函 n数k]
[n－k]
1 0
nk nk
1 [nk]
…-1 0 1… k
1
y(t)
1(t)dt2t3
t22
4 24
t3时y， (t)0
1 2
0
1 -2+t
t
y(t)
5
16
y(t)的时域波形如图所示：
9
16
1 2
0 13 2
2
3t
例：
x1(t) 1
x2(t) 1
-1
01t
-2
0 2t
求
y1(t)x1(t)*x1(t) y2(t)x1(t)*x2(t)
y1(t)
y2(t)
窄脉冲之和。
x (t )
x(k )
0
k
t
当 0 则： x(t)x(k)..(tk) k
设系统的单位冲激响应为h(t),则系统对应于tk 的
冲激响应为
x(k) ..h(tk)
则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和：
yf(t)x(k)..h(tk) k
当： d,k 求和符号改为积分符号
x(t)x()(t)d
应用类似的推演可以到处卷积的高阶导数或 多重积分之运算规律：
设 y(t)x1(t)x2(t) ，则有： y(i)(t)x1 (j)(t)x2(ij)(t)
此处，当i 、j取正整数时为导数的阶次，取负 整数时为重积分的次数。 一个简单的例子为：
y ( t) x 1 '( t) x 2 ( 1 )( t) x 1 ( 1 )( t) x 2 '( t)
eat ai
Ae at
eat ai i为 i重根
i
A jt je at
j0
L
L
Cktk
A jt j
k0
j0
t
tp cost()
A0+A1t A0+A1t+A2t2+……APtp
B 1 co t s) (B 2 sitn )(
❖系统的零输入响应与零状态响应
一个线性系统可以将系统的响应分解为零输入响应和零 状态响应。即：
k
的响应为 x [ k ]h [ n k ]
k
即：
y f [n ] x[k ]h[n k ]
k
定义将 ： yf[n]x[n]h[n]x[k]h[nk] k 称为卷积和。
2 卷积和的性质：
与连续函数的卷积积分的性质类似，离散函数 的卷积和也满足交换律，结合律以及分配律。
（ 1 ） 交换 x [n ] 律 h [n ] h [ ： n ]x [n ]
（ 2 ） 结 （ ： x [ n ] h 合 1 [ n ] ） h 2 [ n ] ＝ x [ n ] 律 ( h 1 [ n ] h 2 [ n ] （ 3 ） 分 ： x [ n ] （ h 1 配 [ n ] ＋ h 2 [ n ] ） x [ n ] 律 h 1 [ n ] ＋ x [ ＝ n ] h 2 [ n ]
解：
2
2
-2 0
2t
-3
-1 1
3t
例：已知 x(t)eau t(t)
h(t)u(t)
a0
求： y(t)x(t)*h(t)
x（ τ ）
1
h（ τ ）
1
t
t
例：已知
x(t) e2tu(t) h(t) u(t 3)
求： y(t)x(t)*h(t)
x()e2u() h()u(3)
1 1
t
3
t
2.卷积积分运算的性质
3u(t 2)3u(t 2)u(t 1)u(t 5)
例：已知 x1(t)e3tu(t) x2(t)u(t 3)u(t 5)