单位阶跃函数u(t-a)与脉冲函数δ(t-a)之间存在 着密切的关系，即
反过来，则δ(t-a)可以视为u(t-a)对时间的导数，即
当初始条件为零时，系统对在t=0处所作用的单位
阶跃函数u(t)的响应，称为系统的单位阶跃响应，
用g(t)表示。
将F(τ)=u(τ)代入卷积积分，可得单位阶跃响应
考虑到
因而积分可以改写成
相应的力的数学表达为F(τ)△τδ(t-τ)。因为在
t=τ 处 对 脉 冲 的 响 应 为 h(t-τ) ， 所 以 脉 冲
F(τ)△τδ(t-τ)的响应为其单位脉冲响应和脉冲
强度的乘积，即F(τ)△τh(t-τ)。通过叠加，求出 序列中每一脉冲引起的响应的总和为
令△τ→0，并取极限，上式表示为积分形式
就在瞬时t1之前，质量m的相对位移和相对速度为
同时箱子的速度为 由于箱子着地后即静止在地面上，不回跳。在箱子
着地的瞬间，质量m相对箱子的位移与速度分别为
改取瞬时t1 为初始瞬时，则箱子着地后质量m相
对箱子作自由振动，其相对运动方程为
式中
通过弹簧传递到质量m上的最大力等于kA，即
3．单位阶跃响应 作为卷积积分的一种应用，现在来计算单
自由度阻尼系统对单位阶跃函数的响应。
如图所示的单位阶跃函数在数学上可以定义为
显然，函数在t=a处有一突变，其值从O跳到1。如
果突变发生于t=0处，那么这一函数可以简单地写
成u(t)。单位阶跃函数是无量纲的函数。于是当
一个任意函数F(t)与单位阶跃函数u(t-a)相乘时，
F(t)u(t-a)相对于t<a的部分等于零，而其余t>a 的部分则不受影响，即
令t-τ=a，dτ=-da，并互换积分的限界后，积分成为
作一些代数运算后，并注意到 方程简化为
式中单位阶跃函数u(t)表明t<0时g(t)=0。g(t)对t的
曲线如图所示。上式也可以变换为
式中
这说明突加单位力不仅使弹簧产生静变形1/k，同时 使系统发生振幅为的 衰减运动。若忽略阻尼 不计，即ζ=0，ωd=ωn，则单位阶跃响应为
有多种方法可以确定系统对任意激励的响应，
这取决于描述激励函数的方式。一种方法是用傅
里叶积分来表示激励，它是由傅里叶级数通过令
周期趋近于无穷大的极限过程来得到的。所以，
实质上激励不再是周期的。另一种方法是将激励 视为持续时间非常短的脉冲的叠加，引用卷积积 分的方法，对具有任何非齐次项的微分方程，都 用统一的数学形式把解表示出来，而且所得到的
上次内容回顾：等效粘性阻尼、系统对
周期激励的响应
讲述的内容
第三章 强迫振动
3.8 系统对任意激励的响应· 卷积积分
3．8系统对任意激励的响应· 卷积积分
3．7节讨论了周期激励作用下系统的响应。 在不考虑初始阶段的瞬态振动时，它是稳态的周
期振动。但在许多实际问题中，激励并非是周期
函数，而是任意的时间函数，或者是在极短时间 间隔内的冲击作用。例如，列车在启动时各车厢 挂钩之间的冲击力；火炮在发射时作用于支承结 构的反作用力；地震波以及强烈爆炸形成的冲击
在自由下落过程中，质量m的运动微分方程为
以z=x-y代表质量m相对于箱子的相对位移，有
式中 假定箱子的质量远大于质量m，因而可以认为
质量m的运动不影响箱子的自由下落。由于箱子是
由高h处自由下落，故有
由卷积积分
有
因而
这就是在箱子着地前质量m相对于箱子的位移与速度。 设箱子着地的瞬时为t1，由自由落体知
上式为卷积积分的另一种表达形式。式中的τ和式 中的u只是积分变量，可见卷积积分对于激励F(t)
和脉冲响应h(t)是对称的，即
卷积积分在线性系统研究中是一个有力的工具。 虽然式
不便于笔算，但是用计算机可以容易地进行计算。
例3．8-1设一单自由度无阻尼系统受到的简谐激励如下：
试用卷积积分计算其响应。 解：在方程
中用t+T代替t后就可得到。同样，对u(t-T)的响应
表示为g(t-T)。因而系统对F(t)的响应就成为
x(t)对t的曲线如图所示。
可见弹簧最大变形为2/k，等于静变形的两倍。
例3.8—4 试用单位阶跃函数的概念计算单自由度
无阻尼系统对图所示的矩形脉冲的响应x(t)。 解：图所描述的函数F(t)可 以方便地用单位阶跃函数来 表示：
根据单自由度无阻尼系统对在t=O处所作用的单
位阶跃函数的响应式
可以把u(t+T)的响应表示为g(t+T)，这只要在方程
发生在t=a处，则它可由下式定义
注意，δ(t-a)是一个沿着时间轴正向移动了a时间 的单位脉冲。
具有上述特性的任何函数(并不一定是矩形
脉冲)，都可用来作为一个脉冲，称为δ函数。
数学上，单位脉冲必须具有零脉冲宽度、单位面
积和无限的高度。这样的脉冲模型不可能在现实
应用中实现，然而在具体系统的脉冲试验中，若 激励的持续时间同系统的固有周期(T=1／f)相比 非常的短，则激励就可以考虑为一个脉冲。δ函 数的单位为s-1，在其他方面的情况，δ函数将有
起的自由振动。 为了找出t=0+时的初始条件，对方程 在区间0-≤t≤O+上积分两次，有
因为
则方程
的右端积分两次为无限小量，可以略去不计。又因
为位移x为有限值，所以方程左端第二项和第三项
的积分值是无限小量或高一阶的无限小量，同样近
似取为零。考虑到x(O-)=0，则有
也就是说，在脉冲力 量m还来不及发生位移。 作用的极短时间内，质
在t=0时，任意激励F(t)作用的瞬时，系统的初始 位移和初始速度为 则系统的响应是由激励和初始条件引起的响应的叠加，即
式
积分式中的脉冲响应被推迟或移动了时间t-τ，
也可以移动激励函数F(t)来代替脉冲响应的移动
而导出一个相似的式子。令t-τ=u则-dr=du，此 外考虑式中的积分限界，当τ=0时，u=t，当τ=t 时，u=0，将其代入式中，得到
中，令ζ=0，ωd=ωn，则
为当t<O时没有激励，所以其响应应该写成下面的形式
上式右端第一项代表强迫振动，它是按激励频率ω 进行的稳态运动，即使振动系统有阻尼也并不衰减； 第二项是按固有频率ωn进行的自由振动，只要振
动有极微小的阻尼就会迅速衰减，所以是瞬态振动。
应用建筑的作用；精密仪表在运输过程中包
装箱速度(大小与方向)的突变等。
在这种激励情况下，系统通常没有稳态振动，而 只有瞬态振动。在激励停止作用后，振动系统将
按固有频率进行自由振动。但只要激励持续，即
使存在阻尼，由激励产生的响应也将会无限地持 续下去。系统在任意激励作用下的振动状态，包 括激励作用停止后的自由振动，称为任意激励的 响应，周期激励是任意激励的一种特例。
其解为
令
，则系统受单位脉冲力F(t)=δ(t)作用，
其响应称为脉冲响应，即
2．卷积积分
利用脉冲响应，可以计算振动系统对任意激励函
数F(t)的响应，把F(t)视为一系列幅值不等的脉冲， 用脉冲序列近似地代替激励F(t)，如图所示，脉冲的 强度由脉冲的面积确定，在任意时刻t=τ处，相应的 时间增量为△τ，有一个大小为F(τ)△τ的脉冲，
不同的量纲。
如果在t=0与t=a处分别作用有瞬时冲量
，则对
应的脉冲力可方便地写成
式中
的单位为N· s。 现在来研究单自由度阻尼系统对脉冲力
的响应，系统振动微分方程为 假定系统在脉冲力 作用之前处于静止，即
由于
作用在t=0处，对于t≥0+，系统不再受
脉冲力的作用，但其影响依然存在。另外，系统对
于零初始条件的响应，将变成t=O+时的初始条件引
上式称为卷积积分，又称为杜哈梅(Duhamel)积分，
它将响应表示成脉冲响应的叠加。这里h(t-τ)是
将方程中h（t）的t用t-τ代替后得到的。因而， 将方程中h（t）的t换成t-τ后代入上面方程，得 到
上式表示单自由度有阻尼的质量—弹簧系统对任意
激励F(t)的响应。要注意的是，上面方程是在零初
始条件下，对于输入F(t)得到的系统输出x(t)。若
现在，只对方程
在区间0-≤t≤O+上积分一次，有
同理，上面方程的右端为 零，而第三项可以忽略不计，得 ，左端的第二项为
可见，若系统在脉冲力作用之前静止，脉冲力 使速度产生瞬时变化，则可以认为在t=0时作用的脉 冲力等效于初始位移x(0)=0和初始速度 的
初始干扰作用，
所以方程
等价于初始条件引起的自由振动，即
解除代表强迫振动外，还包括伴随发生的自由振
动。
1．脉冲响应
一单位脉冲输入，具有零初始条件的系统
响应，称为系统的脉冲响应。
宽度T0、高度l／T0的矩形脉冲，如图所示。
这个矩形脉冲的面积为1，为了得到单位脉冲， 使脉冲宽度T0接近于零，而保持面积为1，在极 限情况下，单位脉冲的数学定义为
这个脉冲发生在t=O处，如图所示。如果单位脉冲
例3.8—2
试确定单自由度
无阻尼系统在零初始条件下
对图中激励函数的响应。
解：由图可得激励函数为
由方程
得到
例 3.8—3
如图所示为一质
量—弹簧系统，箱子由高h处静
止自由下落，当箱子触到地面
时，试求传递到质量m上的最大 力是多少?假定质量m和箱子之
间有足够的间隙，不会碰撞。 解：设x与y分别代表质量m与箱子的绝对位移，