矩形信号：
x(t) 1
x(t ) u(t t1 ) u(t tn )
0 t1 tn t
分为一系列宽度相等 的窄矩形脉冲之和
x(t ) u(t t1 ) u(t t2 ) u(t tn1 ) u(t tn )
x(t) 1
若：
0
0
t1
n 1 i 1
注意：单位冲击响应为系统的零状态响应。
2.3 卷积积分
对于线性系统，可以将输入信号分解为许多简单 信号之和。如果求得简单信号作用于系统的响应， 那么，所有这些响应叠加起来就是该输入作用于系 统的响应。 一个任意的输入信号可以分解为：指数函数、冲激 函数、阶跃函数等等。这里讨论将信号分解为冲激 函数之和的情况。
则系统对输入x(t)的总响应为所有冲激响应之和：
y f (t )
当：
k

x(k ). .h(t k )
求和符号改为积分符号



d , k
x(t ) x( ) (t )d
y f (t ) x( )h(t )d
x(t ) (t ) x(t )
证明：
x(t ) (t ) x( ) (t )d


x( ) ( t )d

( (t ) (t ))
x(t ) ( t )d


x(t )
(2)
(3)
证明：
例：设x(t)与h(t)如图所示，求y(t)=x(t)*h(t)
x(t) 1
h(t) 1

1 2
0
1
t
0
h ( )
2
t
反折：
1
时移
1
h (t )
-2
0

-2+t t 0
（1）
h (t )
1
x ( )
1 t 时， y (t ) 0 2
-2+t
t

1 2
0
1

h (t )
2、将h(-τ）沿τ轴时延t秒，得得h(t－τ）
3、将x(τ）与 h(t－τ）相乘 ，得x(τ） h(t－τ） 4、沿τ轴对x (τ） h(t－τ）积分
h(t) 1 1 t
x(t) 2 1 2 4 t
h(t-)
x()

t=0 t-1 t t<1

1<t<2

2<t<3

3<t<4

4<t<5


上述积分是x(t)与h(t)之间的一种二元运算，用 y(t)=x(t)*h(t)表示。即
y(t ) x(t ) * h(t ) x( )h(t )d


卷积积分的图解法 卷积的图解法有助于我们理解卷积的物理意义以及求 解步骤，以x(t)*h(t)为例：
1、将h(τ）反折，得h(-τ）
ai y (i ) (t ) 0
i 0
n
的解
若n个特征值各不相同： yh (t )
ci eit
i 0
n
若特征值中有λ 1是r重根，而其余的根都为单数，则
yh (t ) ci t e
r i 1t i 0
r
j r 1
c je
n
jt
ci、cj的值由初始条件确定。 特解 特解的函数形式与激励函数形式有关。
1
x ( )
（2）
-2+t
1 2
0
t 1

1 t 1时， 2 t 1 t2 t 1 y(t ) 1 (t )d 2 4 4 16 2
h (t ) 1
x ( )
（3）
-2+t 2 1
0 1 t
3 1 t 时 2 1 1 3 3 y (t ) 1 (t )d t 2 4 16 2
例
h(t)
1 已知： h(t ) 0
t 2 t 2
-2 2 t
x(t ) 3 (t ) (t 3)
解：将h(t)写成与阶跃函数乘积的形式：
h(t ) u(t 2) u(t 2)
y(t ) x(t ) h(t ) (3 (t ) (t 3)) [u (t 2) u (t 2)] 3 (t ) u (t 2) 3 (t ) u (t 2) (t 3) u (t 2) (t 3) u (t 2) 3u (t 2) 3u (t 2) u (t 1) u (t 5)
第二章 线性时不变系统 （LTI：Linear Time Invarient)
重点：
理解并掌握卷积积分与卷积和的概念与相关性质；
掌握LTI系统的性质；
难点：
深刻理解卷积积分与卷积和的概念；
2.1
线性时不变连续系统的时域解法
连续时间系统处理连续时间信号，通常用微分 方程来描述系统。
微分方程的经典解。 微分方程
A0+A1t A0+A1t+A2t2+……APtp
系统的零输入响应与零状态响应
一个线性系统可以将系统的响应分解为零输入响应和零 状态响应。即：
y(t ) y x (t ) y f (t )
零输入响应 零状态响应 而： y x (t ) c xi e
i 0 n
yx (t ) T[( y(t0 )， }] {0
（4）
h (t ) 1
x ( )
3 t3 2

t

1 -2+t 2 0
1
1 t2 t 3 y (t ) (t )d t 2 2 4 2 4
1
x ( )
h (t )
(5)
1 2
1
t 3时，y(t ) 0
0 1 -2+t
t
y(t)

(令 t t 2 ' )
x(t t1 t 2 )
(4)
若：x(t ) x1 (t ) * x2 (t ) 则 : x1 (t t1 ) x2 (t t2 ) x(t t1 t2 )
x(t ) ' (t ) x' (t )
(5)
微分方程的特解形式：
输入信号x(t) 常数C
eat
e
at
特解yp(t) 常数A
Aeat
j 0 L
a i
a i
Ck t k
k 0 L
i为 i重根
Aj t j e at
i
Aj t j
j 0
t tp
cos(t )
B1 cos(t ) B2 sin(t )
例：已知
x(t ) e u(t )
at
a0
h(t ) u (t )
求：
y(t ) x(t ) * h(t )
x（τ ）
1
h（τ ）
1
t
t
例：已知
x(t ) e u (t )
2t
h(t ) u (t 3)
y(t ) x(t ) * h(t )
2
求：
x( ) e u ( )
例：已知
x1 (t ) e u (t ) x2 (t ) u (t 3) u (t 5)
y(t ) x1 (t ) * x2 (t )
x(t ) (t t0 ) x(t t0 )
x(t t1 ) (t t2 ) x(t t1 t2 )
x(t t1 ) (t t 2 ) x( t1 ) (t t 2 )d

x(t t1 t 2 ' ) ( ' )d '
分析如下电路：已知：uc(0-)=0，求uc(t)。
2Ω ＋ 1.5δ (t) ＋ 0.25F －
解：建立系统的微分方程：
uc(t)
－
duc RC u c 1.5 (t ) dt duc 即： 2u c 3 (t ) dt
由于冲激函数是在t=0时给系统注入了一定的能量，而在t>0 时，系统的激励为0。相当于在0－到0＋时刻，使系统具有了一 定的初始能量。因此，系统的冲激响应与系统的零输入响应具 有相同的形式。这里，用h(t)表示系统的冲激响应。即：
时的输出y(t)。
解：
y1 (t ) (e
2t
e )u(t )
2t
t
y2 (t ) (3e
பைடு நூலகம்
5e )u(t )
t
2.2 单位冲激响应
单位冲激响应：线性时不变系统在单位冲激信 号 (t ) 的激励下产生的零状态响应。用h(t)表示。 即：
h(t ) T [{0}, (t )]
（3）卷积的结合律：
( x(t ) h1 (t )) * h2 (t ) x(t ) (h1 (t ) h2 (t ))
x(t) h1(t) h2(t) y(t)
（4）卷积的微分： 两个函数卷积后的导数等于其中一函数导数 与另一函数之卷积。即：
( x(t ) h(t ))' x' (t ) h(t ) x(t ) h' (t )
设x(t)为无时限的信号，将它分解为一系列宽度为 的 窄脉冲之和。
x(t ) x(k )
0
k