•
At wi = 0:
2 p iM M w M i wi 0
•
因此，在有效前沿上，M点的斜率是:
ER p ( ERi ERM ) M 2 p iM M wi 0
• 从上一节可知， CML的斜率还可以表示为:
•
“真实“ 的市场组合不能观测，使用股票市场指数代替未必正确.因为理论上 的“真实”市场组合是所风险资产构成的，不仅是股票.
CAPM检验的思路
• Lintner (1965) : 建议使用两步回归. 不同股票/股票组合的收益率应该由其 不同的 β 来解释.
1. 对于一个大量股票构成的资产组合（消除了个体风险） i, 估计其 βi:
general news 例子: Unexpected rise in economic growth or an unexpected increase in the short rate by the central bank firm-specific news 例子: the announcement of an unexpected order for the firm.
CML and SML
•
•
CML 说的是有效市场组合M的风险溢价及其风险（标准差）之间的线性关系.
SML 说的是单个资产的风险溢价及其风险（β）之间的线性关系. 这里，单 个资产的风险不是其标准差或方差，而是其对总组合的方差贡献度
含义
• 股票的理论收益率：评估某一股票组合/投资策略的基准收益率. CAPM 预测， 下列时间序列回归中 α = 0:
•
wi = 0时，M的斜率:
ER p ER p p w w p i i wi 0 where ER p
1
wi p wi
ERi ERM 1 2 p

2w
i
2 i
2 2(1 wi ) M 2 i , M 4wi i , M
( ERi ERM ) M ERM r 2 iM M M
•
写为:
ERi r
iM ( ERM r ) r i ( ERM r ) 2 M
•
资产 i 的风险溢价:
i ( ERM r )
• 风险溢价仅由 i 与市场 M 的协方差决定，i自身的方差不起作用（因为可以 分散掉）. M 的 β=1. 对于 β=0的资产，称其为无风险资产
多因子模型Multi-factor models
• 将 SIM 扩展至 k 个因子
Rit i 1i I1t 2i I 2t ... ki I kt it
• 除了市场因子之外，再加上宏观经济变量，例如通胀、经济增长率、利率等
•
资产 i 的方差可分解为:
Var ( Ri ) Var ( I j )
•
与 CAPM的回归相同，不过这里可以使用股票市场指数（或者其它因子） ， 而非不可观测的“真实”市场组合.
•
•
资产 i 的方差:
被解释的方差（拟合优度）:
Var ( Ri ) i2Var ( Rm ) Var ( i )
systematic risk + idiosyncratic risk
分位组合的β
实际收益与CAPM预测的收益
实际收益与CAPM预测的收益
2.2 因子模型 Factor models
单因子模型 Single Index Model
• 统计模型：假定任何证券的收益是某个经济变量的线性函数.
Rit i i I t it
• • • • 经济变量 I 可有: 股票指数、通胀率、GDP增长率、利率… 关于残差，除了常用的 OLS 假定: SIM 还假定:
•
也就是说，估计得到的 SML 相对于理论值太平坦了.
CAPM检验的思路
• Jensen (1968): 建议进行时间序列回归
Rte,i i i ( Rte,m ) t ,i where E( t ,i ) 0 and Cov( Rte,m , t ,i ) 0
• 检验 α 是否在统计上与0有显著差异.
•
证券市场线 The Security Market Line
•
• • •
CAPM 意味着期望收益和风险 β 之间存在线性关系
例如，市场的风险溢价为 6%, 那么: 资产 i 的β 值度量了该资产对总组合方差的贡献度. 资产组合的 β 等于其中每类资产 β 的加权平均:
ERi r 0.06i
Rte,i i i ( Rte,m ) t ,i
•
• •
“Jensen‘s alpha“ . α > 0 表现优于基准； α < 0 表现差于基准
其它两类常用的评估投资收益率的指标 夏普率 Sharpe ratio: e
•
特雷诺率 Treynor ratio:
e i i i M Si i i
e ie i i M TRi i i
含义
• 评估预算决策中，资本的成本（理论上应该得到的“合理”收益率）: Example: Assume r = 5% and expected market return is 10%. A firm is considering a project with a beta of 1.5. If expected IRR equals 15%, should the firm undertake the project ? Required rate of return:
Rit rf i i ( Rmt rf ) it where i HiTec index
φ=-0.028 (0.12) δ=1.28 (0.03) R2= 0.74
Single Index Model的问题
• • • 单个因子够吗? 如果包括更多因子，那么，还应包括哪些? SIM 是关于 realized returns (ex-post) , CAPM 则是关于 expected returns (ex-ante)
p wk k
k 1
n
The SML
理论上，所有资产应该落在SML上
SML ER Q (buy) Q >0
expected return r actual return
M
P
S < 0
S (sell) 0.5 1 1.2
T (sell)
Beta
Securities which lie above (below) the SML have a positive (negative) ‘alpha’ indicating a positive (negative) ‘abnormal return’, after correcting for ‘beta risk’.
E ( it ) 0 Cov( it , I t )
Cov( it , jt ) 0
意味着资产 i and j 的相关性仅是源于 共同因子 I.
SIM特点
• 假定我们使用股票市场指数作为单因子:
Rit i i Rmt it
• 那么:
i
Cov( Ri , Rm ) Var ( Rm )
APT
• • 证券的收益可分解为预期和未预期（news）到的成分.
Rit E( Rit ) it it it 未预期到的成分可进一步分解为 “general“ news 和 “firmspecific“ news, 即，市场风险 vs. 个体风险: it mt it
j 1 2 j
k
k
j 1 l 1,l j
Cov( I
j j
k
j
, I l ) Var ( it )
Arbitrage Pricing Theory (APT)
•
• • • • •
Stephen Ross (1976)提出
比 CAPM 成立的假定条件要简单 CAPM 仅关注市场风险，APT 认为每个系统性因子都会影响期望收益. 一价定律 the law of one price: 同样的两个商品/资产应该卖同一价格. 套利 = 净投资为 0 的资产组合，无风险，却能得到纯盈利. 资产应合理定价，以确保市场中不存在套利机会.
Rte,i i i ( Rte,m ) t ,i where E( t ,i ) 0 and Cov( Rte,m , t ,i ) 0
2. 使用估计得到的 βi 进行横切面回归:
E ( R ) 0 1i 2 2i
e t ,i

CAPM检验的思路
• 结果可有两种解释： 1. 假定 Rm 是真实的市场基准，那么这是检验资产 i 是否根据CAPM正确定价. 一般检验中都是这么解释. 2. 或者，假定资产 i 根据CAPM正确定价，那么这是检验Rm 是否为真实的市场 基准.
CAPM回归：examples
•
CAPM regressions, monthly returns, %, US data 1970:1-2012:12. Numbers in parentheses are t-stats. Autocorr is a N(0,1) test statistic (autocorrelation); White is a chi-square test statistic (heteroskedasticity)
R
2
i2Var ( Rm )
Var ( Ri )