第十六节 数列的综合应用 [自我反馈] 1．已知正项等差数列{an}满足：an＋1＋an－1＝a2n(n≥2)，等比数列{bn}满足：bn＋1bn－1＝2bn(n≥2)，则log2(a2＋b2)＝( ) A．－1或2 B．0或2 C．2 D．1 解析：选C 由题意可知，an＋1＋an－1＝2an＝a2n， 解得an＝2(n≥2)(由于数列{an}每项都是正数)， 又bn＋1bn－1＝b2n＝2bn(n≥2)， 所以bn＝2(n≥2)，log2(a2＋b2)＝log24＝2.
2．已知数列{an}满足：a1＝m(m为正整数)，an＋1＝ an2，当an为偶数时，3an＋1，当an为奇数时.若a6＝1，则m所有可能的取值为( ) A．{4,5} B．{4,32} C．{4,5,32} D．{5,32}
解析：选C an＋1＝ an2，当an为偶数时，3an＋1，当an为奇数时，注意递推的条件是an(而不是n)为偶数或奇数．由a6＝1一直往前面推导可得a1＝4或5或32. 3．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．
解析：由题意知等差数列{an}的公差d＝a3－a12＝2，则a4＝8，a5＝10，设所加的数为x，依题意有(8＋x)2＝(2＋x)(10＋x)，解得x＝－11. 答案：－11 4．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N*)等于________． 解析：设每天植树的棵数组成的数列为{an}， 由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，
所以由题意可得21－2n1－2≥100，即2n≥51， 而25＝32,26＝64，n∈N*，所以n≥6. 答案：6 5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2，数列{bn}为等比数列，且首项b1＝1，b4
＝8.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)若数列{cn}满足cn＝abn，求数列{cn}的前n项和Tn. 解：(1)∵数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2， ∴当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1. 当n＝1时，a1＝S1＝1亦满足上式， 故an＝2n－1(n∈N*)． 又数列{bn}为等比数列，设公比为q， ∵b1＝1，b4＝b1q3＝8，∴q＝2. ∴bn＝2n－1(n∈N*)． (2)cn＝abn＝2bn－1＝2n－1. Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n－1)
＝(21＋22＋…＋2n)－n＝21－2n1－2－n. 所以Tn＝2n＋1－2－n. 考向一 等差数列与等比数列的综合问题 【典例1】(2016·济南模拟)已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn-an}是等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式. (2)求数列{bn}的前n项和. 【母题变式】 1.若本例题条件“{bn-an}是等比数列”变为“{bn-an}是等差数列”,其他条件不变,求数列{bn}的通项公式.
2.若本例题条件“b1=4,b4=20,且{bn-an}是等比数列” 变为“an+2an-1= nb1”,求数列{bn}的通项公式.
【规律方法】等差数列、等比数列综合问题的解题策略 (1)分析已知条件和求解目标,确定为最终解决问题需要首先求解的中间问题,如为求和需要先求出通项、为求出通项需要先求出首项和公差(公比)等,确定解题的顺序. (2)注意细节.在等差数列与等比数列综合问题中,如果 等比数列的公比不能确定,则要看其是否有等于1的可 能,在数列的通项问题中第一项和后面的项能否用同一 个公式表示等,这些细节对解题的影响也是巨大的. 提醒:在不能使用同一公式进行计算的情况下要注意分 类讨论,分类解决问题后还要注意结论的整合. 【变式训练】(2016·天津模拟)已知等差数列{an}的 公差和首项都不等于0,且a2,a4,a8成等比数列,则 15923aaaaa = ( )
【加固训练】 1.等比数列{an}的公比为q,前n项和为Sn,若Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列,则公比q为 ( )
或1 或-1
2.(2016·泰安模拟)已知数列{an}是公差大于零的等 差数列,数列{bn}为等比数列,且a1=1,b1=2,b2-a2=1, a3+b3=13. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式. (2)设cn=anan+1,求数列 n1c 的前n项和Tn. 因为d>0,所以d=2,q=2,an=1+2(n-1)=2n-1,bn=2× 2n-1=2n, 即an=2n-1(n∈N*),bn=2n(n∈N*).
考向二 数列中的图表问题 【典例2】(1)(2016·德州模拟)将全体正整数排成一个三角形数阵: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … … … … … 按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________. (2)(2016·太原模拟)下表是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a1,1=1,a2,3=6,a3,2=8. a1,1 a1,2 a1,3 a1,4 … a2,1 a2,2 a2,3 a2,4 … a3,1 a3,2 a3,3 a3,4 … a4,1 a4,2 a4,3 a4,4 … … … … … … 求数列{an,2}的通项公式. 【解题导引】(1)求出第n行(n≥3)从左向右的第3个数为原数列的第几项,再求解.(2)构造方程组求出等差数列的公差与等比数列的公比.
(2)设第一行组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0), 则a2,3=qa1,3=q(1+2d)⇒q(1+2d)=6, a3,2=q2a1,2=q2(1+d)⇒q2(1+d)=8, 解得d=1,q=,2=2⇒an,2=2×2n-1=2n. 【规律方法】数列中常见的图表问题及解题关键 (1)分组型:数列的通项公式已知,将其按照一定的规则排列而成.解决这类问题的关键是找出图表或数阵中的项在原数列中的位置. (2)混排型:图表或数阵中的行与列分别对应不同的数列.解决这类问题的关键是找出各个数列,将所求问题所在行或列的基本量求出. (3)递推公式型:图表或数阵是按某种递推关系得到的,解决这类问题的关键是求出递推公式,再由递推公式求出通项公式. 【变式训练】(2016·青岛模拟)下面给出了一个三角形数阵,已知每一列的数成等差数列,从第3行起,每一行的数成等比数列,每一行的公比都相等.记第i行第j列数为aij(i,j∈N*),则a43=______. 1411243334816
，，，
【加固训练】 1.(2016·北京模拟)已知an=( 13)n,把数列{an}的各项 排列成如下的三角形形状. a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 ……………………… 记A(m,n)表示第m行的第n个数,则A(10,12)= ( ) 939294112
11A.() B.()
33
11C.() D.()
33
2.(2016·合肥模拟)正整数按下列方法分组:{1},{2,3, 4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,记第n 组中各数之和为An;由自然数的立方构成下列数组:{03, 13},{13,23},{23,33},{33,43},…,记第n组中后一个数 与前一个数的差为Bn,则An+Bn=______. 【解析】由题意知,前n组共有1+3+5+…+(2n-1)=n2个数,所以第n-1组的最后一个数为(n-1)2,第n组的第一个数为(n-1)2+1,第n组共有2n-1个数,所以根据等差数列的前n项和公式可得
3.(2016·保定模拟)将数列{an}中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表: a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 a10 …… 记表中的第一列数a1,a2,a4,a7,…构成的数列为{bn}, b1=a1=1. Sn为数列{bn}的前n项和,且满足n2nnn2bbSS
=1(n≥2). (1)证明数列 n1S 成等差数列,并求数列{bn}的通项公
式. (2)上表中,若从第三行起,每一行中的数按从左到右的 顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数.当a81=491
时,求上表中第k(k≥3)行所有项的和. 考向三 数列的实际应用问题 【典例3】(2016·日照模拟)某大学张教授年初向银行贷款2万元用于购车,银行贷款的年利息为10%,按复利计算(即本年的利息计入次年的本金生息).若这笔款要分10年等额还清,每年年初还一次,并且以贷款后次年年初开始归还,问每年应还多少元 【规范解答】设每年还款x元,需10年还清,那么各年还款利息情况如下: 第10年付款x元,这次还款后欠款全部还清; 第9年付款x元,过1年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)元; 第8年付款x元,过2年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)2元; … 第1年付款x元,过9年欠款全部还清时,所付款连同利息之和为x(1+10%)9元. 10年后应还款总数为20000(1+10%)10.
【一题多解】第1次还款x元之后欠银行