一辆邮政车自A城驶往B城，沿途有n个车站(包括起点站A 和终点站B)，每停靠一站便要卸下前面各站发往该站的邮
袋各一个，同时又要装上该站发往后面各站的邮袋各一个，
设该车从各站出发时邮政车内的邮袋数构成一个有穷数列 {ak}(k＝1,2,3，„，n)． 试求：(1)a1，a2，a3. (2)邮政车从第k站出发时，车内共有邮袋多少个？
解：(1)由题意得 a1＝n－1，a2＝(n－1)＋(n－2)－1＝2n－4， a3＝(n－1)＋(n－2)＋(n－3)－1－2＝3n－9. (2)在第 k 站出发时，放上的邮袋共(n－1)＋(n－2)＋„＋(n－ k)个，而从第二站起，每站放下的邮袋共 1＋2＋3＋„＋(k－ 1)个， ak＝(n－1)＋(n－2)＋„＋(n－k)－[1＋2＋…＋(k－1)] 故 1 1 ＝kn－ k(k＋1)－ k(k－1)＝kn－k2(k＝1,2，„，n)， 2 2 即邮政车从第 k 站出发时，车内共有邮袋个数为 kn－k2(k＝ 1,2，„，n)．
(2)由(1)知an＝2n 1，∴Sn＝2n－1， 2an＋1 2n＋1 2 ∴ S ＝ n ＝1＋ n . 2 －1 2 －1 n 2 ∵n≥1，∴2 －1≥1，∴1＋ n ≤3， 2 －1
n
－
2an＋1 ∴当n＝1时， S 的最大值为3. n
[归纳领悟]
1．等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的 重点，特别是等差、等比数列的通项公式、前n项和 公式以及等差中项、等比中项问题是历年命题的热点． 2．利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值．同时 对两种数列的性质，要熟悉它们的推导过程，利用好 性质，可降低题目的难度，解题时有时还需利用条件
[究 疑 点] 银行储蓄单利公式及复利公式是什么模型？ 提示：单利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期
为n，则本利和an＝a(1＋rn)，属于等差模型．
复利公式——设本金为a元，每期利率为r，存期为n，则 本利和an＝a(1＋r)n，属于等比模型．
[题组自测] 1．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an＋1＝(1＋q)an－ qan－1(n≥2，q≠0)． (1)设bn＝an＋1－an(n∈N*)，证明{bn}是等比数列； (2)求数列{an}的通项公式．
数列的综合应用
1.认识数列的函数特性，能结合方程、不等 式和解析几何等知识解决一些数列综合题． 2.能在实际情形中运用数列知识解决实际问
题．
[理 要 点]
一、数列在实际生活中有着广泛的应用，其解题的基本步
骤，可用图表示如下：
二、数列应用题常见模型
1．等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该
∴Sn＝b1＋b2＋„＋bn 9 1 1 1 1 1 ＝ (1－ ＋ － ＋„＋ － ) 2 3 3 5 2n－1 Байду номын сангаасn＋1 9 1 9n ＝ (1－ )＝ ， 2 2n＋1 2n＋1 m－2 000 ∵Sn< 对一切 n∈N*成立． 2 9n m－2 000 9n 9 1 即 < ， ＝ (1－ )递增， 2 2n＋1 2n＋1 2 2n＋1 且 9n 9 < . 2n＋1 2
模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． 2．等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定 的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． 3．递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不
固定，随项的变化而变化时，应考虑是an与an＋1的递推关
系，还是前n项和Sn与Sn＋1之间的递推关系．
将以上各式相加，得an－a1＝1＋q＋„＋qn 2(n≥2)． 1－qn 1 1＋ ，q≠1， 1－q 所以，当n≥2时，an＝ n， q＝1.
－
－
上式对n＝1显然成立．
2．已知三个实数 a,8,2，适当调整这三个实数的顺序，使它成 为递增的等比数列{an}的前三项． (1)请写出所有可能的前三项，并求相应的 a 值； (2)记首项和公比都最大的数列的前 n 项和为 Sn，求 Sn.
4 ＝－ (a2＋a4＋„＋a2n) 3 5 4n 1 n ＋ ＋ 4 3 3 3 ＝－ · 3 2 4 2 ＝－ (2n ＋3n)． 9 (3)当 n≥2 时，bn＝ ＝ 1 2 1 an－1an 2 n－ n＋ 3 3 3 3 1 1
9 1 1 ＝ ( － )， 2 2n－1 2n＋1 9 1 又 b1＝3＝ (1－ )， 2 3
解：(1)证明：由题设an＋1＝(1＋q)an－qan－1(n≥2)，
得an＋1－an＝q(an－an－1)．即bn＝qbn－1，n≥2. 又b1＝a2－a1＝1，q≠0， 所以{bn}是首项为1，公比为q的等比数列． (2)由(1)，得a2－a1＝1， a3－a2＝q， „
an－an－1＝qn－2(n≥2)．
答案：1 033
1 3．已知函数 f(x)＝a· 的图象过点 A(2， )，B(3,1)，若记 an b 2
x
＝log2f(n)(n∈N*)，Sn 是数列{an}的前 n 项和，则 Sn 的最 小值是________．
解析：将 A、B 两点坐标代入 f(x)得 1 1 ＝ab2 a＝ 2 ，解得 8 ， 1＝ab3 b＝2 1 x 1 n ∴f(x)＝ · ，∴f(n)＝ · ＝2n－3， 2 2 8 8 ∴an＝log2f(n)＝n－3. 令 an≤0，即 n－3≤0，n≤3. ∴数列前 3 项小于或等于零，故 S3 或 S2 最小． S3＝a1＋a2＋a3＝－2＋(－1)＋0＝－3.
1 解：(1)直线方程为 y－yn＝－ (x－xn)， xn＋2 因为直线过点 An＋1(xn＋1，yn＋1)， 所以 yn＋1－yn＝－ 1 (xn＋1－xn)， xn＋2
1 1 又 xy＝1，所以 －x ＝－ (xn＋1－xn)， xn＋1 xn＋2 n 得 xnxn＋1＝xn＋2.
1
1 1 (2)设 an＝ ＋ ， xn－2 3 1 1 由(1)得 an ＋ 1 ＝ ＋ ＝ xn＋1－2 3 1 1 xn 1 2 ＋ ＝ ＋ ＝－ － 2 3 2－xn 3 3 1＋x －2 n
联立方程求解.
[题组自测]
1．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病 毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和 100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要 ( )
A．6秒钟
C．8秒钟
B．7秒钟
D．9秒钟
解析：设至少需要 n 秒钟，则 1＋21＋22＋„＋2n－1≥100， 1－2n ∴ ≥100，∴n≥7. 1－2
解析：由 x2－x<nx，得 0<x<n＋1(n∈N*)， nn＋1 因此 an＝n，Sn＝ . 2
答案：C
2．已知数列{an}中，a1＝2，点(an－1，an)(n＞1且n∈N)满
足y＝2x－1，则a1＋a2＋„＋a10＝________.
解析：an＝2an－1－1⇒an－1＝2(an－1－1)， ∴{an－1}是等比数列，则 an＝2n－1＋1. ∴a1＋a2＋„＋a10＝10＋(20＋21＋22＋„＋29) 1－210 ＝10＋ ＝1 033. 1－2
3．已知在公比为实数的等比数列{an}中，a3＝4，且 a4，a5＋4， a6 成等差数列． (1)求数列{an}的通项公式； 2an＋1 (2)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，求 S 的最大值． n
解：(1)设数列{an}的公比为q(q∈R)，
依题意可得2(a5＋4)＝a4＋a6，
即2(4q2＋4)＝4q＋4q3，整理得，(q2＋1)(q－2)＝0. ∵q∈R，∴q＝2，a1＝1. ∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1.
n＋49 解析：由第 n 天的维修保养费为 元(n∈N*)，可以得出观 10 测仪的整个耗资费用， 由平均费用最少而求得最小值成立时相 应 n 的值． 设一共使用了 n 天，则使用 n 天的平均耗资为 n＋49 5＋ n 10 3.2×104＋ 3.2×104 2 n ＝ ＋ ＋ 4.95 ， 当 且 仅 当 n n 20 3.2×104 n ＝ 时， 取得最小值， 此时 n＝800， 故应选 B 最合算． n 20
答案：B
3． 有一种零存整取的储蓄项目， 它是每月某日存入一笔相同金额， 这是零存；到一定的时期到期，可以提出全部本金和利息，这 是整取．它的本利和公式如下： 1 本利和＝每期存入的金额×[存期＋ ×存期×(存期＋1)×利 2 率]． (1)试解释这个本利和公式； (2)若每月初存入 100 元，月利率为 5.1%，到第 12 个月底的本 利和是多少？ (3)若每月初存入一笔金额，月利率是 5.1%，希望到第 12 个月 底取得本利和 2 000 元，那么每月初应存入多少？
答案：－3
4．已知曲线 C：xy＝1，过 C 上一点 An(xn，yn)作一斜率为 1 kn＝－ 的直线交曲线 C 于另一点 An＋1(xn＋1，yn＋1)， xn＋2 11 点列 An(n＝1,2,3，„)的横坐标构成数列{xn}，其中 x1＝ . 7 (1)求 xn 与 xn＋1 的关系式； 1 1 (2)求证：数列{ ＋ }是等比数列． xn－2 3
[归纳领悟] 建立数列模型时，首先判断是等差数列还是等比 数列，确定首项、公差(比)、项数是什么，能分清an，
Sn，然后选用适当方法求解，最后的程序是还原，即把
数学问题的解结合实际问题的约束条件合理修正，使其 成为实际问题的解.
[题组自测] 1．数列{an}的通项公式是关于 x 的不等式 x2－x<nx(n∈ N*)的解集中的整数个数，则数列{an}的前 n 项和 Sn ＝ A．n2 nn＋1 C. 2 B．n(n＋1) D．(n＋1)(n＋2) ( )
2 1 1 ＝－2an，又 a1＝－2≠0，故{ ＋ }是以－2 为首项， xn－2 xn－2 3 －2 为公比的等比数列．