二次函数与二次方程、二次不等式的关系
一、知识梳理
知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数
y=ax2+bx+c(a≠0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当y≠0时，就是二次不等式。

知识点2、二次函数的图象与x轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个
数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。研究二次函
数y=ax2＋bx＋c图象与x轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根的
问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。

知识点3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示：

二、精典题型剖析
例1、已知二次函数y=x2－（m－3）x－m的图象是抛物线，如图
（1）试求m为何值时，抛物线与x轴的两个交点间的距离是3？
（2）当m为何值时，方程x2－（m－3）x－m=0的两个根均为负数？
（3）设抛物线的顶点为M，与x轴的交点P、Q，
求当PQ最短时△MPQ的面积．

变式训练：1、函数y=ax2－bx＋c的图象过（－1，0），则bacacbcba的值是________
2、已知二次函数y=x2-2x+3.
(1) 若它的图像永远在x轴的上方，则x的取值范围是__________;
(2) 若它的图像永远在x轴的下方，则x的取值范围是__________;
(3) 若它的图像与x轴只有一个交点，则x的取值范围是__________.
3、已知二次函数y=x2＋mx＋m－2．求证：无论m取何实数，抛物线总与x轴有两个交点．

△=b2﹣4ac △＞0 △=0 △＜0
二次函数
y=ax2+bx+c(a＞0)的图像
x

y

O
x
y

O
x
y

O

一元二次方程
ax2+bx+c=0(a＞0)的根
abx2
2,1



abx2



无实数根

一元二次不等式
ax2+bx+c＞0(a＞0)的解集
x＜ 1x或x

＞2x

（1x＜2x）
abx2

x
为全体实数

一元二次不等
ax2+bx+c＜0(a＞0)的解集
1x＜x＜2

x

（1x＜2x）
无解 无解
D

Q
图
图1
xyOABCCBAOyx

D

Q
x

y

O
A
B

C

4．已知二次函数y=x2－2kx＋k2＋k－2．
（1）当实数k为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？

5．已知抛物线y=mx2＋（3－2m）x＋m－2（m≠0）与x轴有两个不同的交点．
（1）求m的取值范围；
（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，
并过P′、Q、P三点，画出抛物线草图．

例2、(本题满分12分) 二次函数26(0)yaxbxa的图像交y轴于C点，交x轴于A，
B两点（点A在点B的左侧），点A、点B的横坐标是一元二次方程24120xx的
两个根.
（1）求出点A、点B的坐标及该二次函数表达式.

（2）如图2，连接AC、BC，点Q是线段OB上
一个动点（点Q不与点O、B重合），过点Q作QD∥AC交于BC点D，设Q点坐标
（m，0），当CDQ面积S最大时，求m的值.

（3）如图3，线段MN是直线y=x上的动线段（点M在点N左侧），且2MN，若M
点的横坐标为n，过点M作x轴的垂线与x轴交于点P，过点N作x轴的垂线与抛物线
交于点Q.以点P，M，Q，N为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n的值；
若不能，请说明理由．
变式训练：（2012•资阳）如图是二次函数y=ax2+bx+c的部分图象，
由图象可知不等式ax2+bx+c＜0的解集是（ ）
A．1＜x＜5 B．x＞5
C．x＜﹣1且x＞5 D．x＜﹣1或x＞5

例3、 已知关于x的一元二次方程2220xaxb，0,0ba.
（1）若方程有实数根，试确定a，b之间的大小关系；
（2）若a∶b=2∶3，且1222xx，求a，b的值；
（3）在（2）的条件下，二次函数222yxaxb的图象与x轴的交点为A、C（点A
在点C的左侧），与y轴的交点为B，顶点为D.若点P（x，y）是四边形ABCD边上
的点，试求3x－y的最大值.

变式训练：（2012甘肃兰州10分）设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴的两个交点
为A(x1，0)，B(x2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A、B两个交点间的距离为：AB＝|x
1

－x2|＝

2
b4ac=a

。参考以上定理和结论，解答下列问题：

设二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与x轴的两个交点A(x1，0)，B(x2，0)，抛物线的顶
点为C，显然△ABC为等腰三角形．
(1)当△ABC为直角三角形时，求b2－4ac的值；
(2)当△ABC为等边三角形时，求b2－4ac的值．
例4、（2012广东肇庆10分）已知二次函数2ymxnxp图象的顶点横坐标是2，与x
轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，
tantanCABO1OC
．

（1）求证： n4m0；
（2）求m、n的值；
（3）当p﹥0且二次函数图象与直线yx3仅有一个交点时，求二次函数的最大值．

变式训练： （2012湖北荆门10分）已知：y关于x的函数
y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．
（1）求k的取值范围；
（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足
（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，
请结合函数图象确定y的最大值和最大值．
专题训练
1. （2012天津市10分）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，
yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在该抛物线上．

（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P的坐标；②求ABCyyy-的值；

（Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求ABCyyy的最小值．

2. （2012湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为2yaxbx3a(b0)，若
抛物线C1经过点(0,3)，方程2axbx3a0的两根为1x，2x，且12xx4。
（1）求抛物线C1的顶点坐标.
（2）已知实数x0，请证明：1xx≥2,并说明x为何值时才会有1x2x.
（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设1A(m,y)，

2
B(n,y)
是C2上的两个不同点，且满足： 00AOB9，m0，n0.请你用含有
m

的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解
析式。（参考公式：在平面直角坐标系中，若11P(x,y)，22Q(x,y)，则P，Q两点间的距

离222121(xx)(yy)）