二次函数与二次方程、二次不等式的关系
一、知识梳理
知识点1、二次函数与一元二次方程、二次不等式有着十分紧密的联系；当二次函数 y=ax 2
+bx+c(a ≠0)的函数值y=0时，就是一元二次方程，当y ≠0时，就是二次不等式。

知识点2、二次函数的图象与x 轴交点的横坐标就是一元二次方程的根，图像的交点个数与一元二次方程的根的个数是完全相同的，这是数和形有机结合的重要体现。

研究二次函
数y=ax 2＋bx ＋c 图象与x 轴交点问题从而就转化为研究一元二次方程ax 2
＋bx ＋c=0的根的问题，这样图像问题就可以转化成方程问题，应用根的判别式、韦达定理、求根公式等解题。

知识点3、二次函数与一元二次方程、二次不等式三者之间的内在联系如下表所示：
二、精典题型剖析
例1、已知二次函数y=x 2－（m －3）x －m 的图象是抛物线，如图 （1）试求m 为何值时，抛物线与x 轴的两个交点间的距离是3？
（2）当m 为何值时，方程x 2－（m －3）x －m=0的两个根均为负数？ （3）设抛物线的顶点为M ，与x 轴的交点P 、Q ， 求当PQ 最短时△MPQ 的面积．
变式训练：1、函数y=ax 2－bx ＋c 的图象过（－1，0），则b a c a c b c b a ++
+++的值是________
2、已知二次函数y=x 2-2x+3.
(1) 若它的图像永远在x 轴的上方，则x 的取值范围是__________; (2) 若它的图像永远在x 轴的下方，则x 的取值范围是__________; (3) 若它的图像与x 轴只有一个交点，则x 的取值范围是__________.
3、已知二次函数y=x 2＋mx ＋m －2．求证：无论m 取何实数，抛物线总与x 轴有两个交点．
△=b 2﹣4ac
△＞0 △=0 △＜0
二次函数
y=ax2+bx+c(a ＞0)的图像 x
y O
x
y
O
x
y
O
一元二次方程 ax2+bx+c=0(a ＞0)的根 a
b x 22
,1∆±-=
a b x 2-= 无实数根
一元二次不等式 ax 2
+bx+c ＞0(a ＞0)的解集
x ＜
1x 或x ＞2x （1x ＜2x ） a
b x 2-
≠ x 为全体实数
一元二次不等
ax2+bx+c ＜0(a ＞0)的解集 1x ＜x ＜2x （1x ＜2x ）
无解
无解
D Q 图图1x y
O
A B
C
C B A O y x D
Q x y
O
A B
C
4．已知二次函数y=x 2－2kx ＋k 2＋k －2．
（1）当实数k 为何值时，图象经过原点？
（2）当实数k 在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？
5．已知抛物线y=mx 2＋（3－2m ）x ＋m －2（m≠0）与x 轴有两个不同的交点．
（1）求m 的取值范围；
（2）判断点P （1，1）是否在抛物线上；
（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q 及P 点关于抛物线的对称轴对称的点P′的坐标，并过P′、Q 、P 三点，画出抛物线草图．
例2、(本题满分12分) 二次函数2
6(0)y ax bx a =++≠的图像交y 轴于C 点，交x 轴于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），点A 、点B 的横坐标是一元二次方程24120x x --=的
两个根.
（1）求出点A 、点B 的坐标及该二次函数表达式.
（2）如图2，连接AC 、BC ，点Q 是线段OB 上
一个动点（点Q 不与点O 、B 重合），过点Q 作QD ∥AC 交于BC 点D ，设Q 点坐标（m ，0），当CDQ ∆面积S 最大时，求m 的值. （3）如图3，线段MN 是直线y =x 上的动线段（点M 在点N 左侧），且2MN =，若M 点的横坐标为n ，过点M 作x 轴的垂线与x 轴交于点P ，过点N 作x 轴的垂线与抛物线交于点Q .以点P ，M ，Q ，N 为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，请求出n 的值；若不能，请说明理由．
变式训练：（2012•资阳）如图是二次函数y =ax 2
+bx +c 的部分图象，
由图象可知不等式ax 2
+bx +c ＜0的解集是（ ）
A ．1＜x ＜5
B ．x ＞5
C ．x ＜﹣1且x ＞5
D ．x ＜﹣1或x ＞5
例3、 已知关于x 的一元二次方程22
20x ax b ++=，0,0>>b a . （1）若方程有实数根，试确定a ，b 之间的大小关系； （2）若a ∶b =2∶3，且1222x x -=，求a ，b 的值；
（3）在（2）的条件下，二次函数2
2
2y x ax b =++的图象与x 轴的交点为A 、C （点A
在点C 的左侧），与y 轴的交点为B ，顶点为D .若点P （x ，y ）是四边形ABCD 边上的点，试求3x －y 的最大值.
变式训练：（2012甘肃兰州10分）设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象与x 轴的两个交点为A (x 1，0)，B (x 2，0)．利用根与系数关系定理可以得到A 、B 两个交点间的距离为：AB ＝|x 1－x 2|＝
2b 4ac
=
a
-。

参考以上定理和结论，解答下列问题： 设二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象与x 轴的两个交点A (x 1，0)，B (x 2，0)，抛物线的顶点为C ，显然△ABC 为等腰三角形．
(1)当△ABC 为直角三角形时，求b 2－4ac 的值； (2)当△ABC 为等边三角形时，求b 2－4ac 的值．
例4、（2012广东肇庆10分）已知二次函数2y mx nx p =++图象的顶点横坐标是2，与x 轴交于A （x 1，0）、B （x 2，0），x 1﹤0﹤x 2，与y 轴交于点C ，O 为坐标原点，
tan tan CA BO 1O C ∠-∠=．
（1）求证： n 4m 0+=； （2）求m 、n 的值；
（3）当p ﹥0且二次函数图象与直线y x 3=+仅有一个交点时，求二次函数的最大值．
变式训练： （2012湖北荆门10分）已知：y 关于x 的函数
y =（k ﹣1）x 2
﹣2kx +k +2的图象与x 轴有交点． （1）求k 的取值范围；
（2）若x 1，x 2是函数图象与x 轴两个交点的横坐标，且满足 （k ﹣1）x 12+2kx 2+k +2=4x 1x 2．①求k 的值；②当k ≤x ≤k +2时， 请结合函数图象确定y 的最大值和最大值．
专题训练
1. （2012天津市10分）已知抛物线y =ax 2+bx +c （0＜2a ＜b ）的顶点为P （x 0，y 0），点A （1，y A ）、B （0，y B ）、C （－1，y C ）在该抛物线上． （Ⅰ）当a =1，b =4，c =10时，①求顶点P 的坐标；②求
A
B C
y y y --的值；
（Ⅱ）当y 0≥0恒成立时，求
A
B C
y y y -的最小值．
2. （2012湖北黄石10分）已知抛物线C 1的函数解析式为2
y ax bx 3a(b 0)=+-<，若 抛物线C 1经过点(0,3)-，方程2
ax bx 3a 0+-=的两根为1x ，2x ，且12x x 4-=。

（1）求抛物线C 1的顶点坐标. （2）已知实数x 0>，请证明：1x x +
≥2,并说明x 为何值时才会有1
x 2x
+=. （3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C 2，设1
A(
m ,y )，
2B(n,y )是C 2上的两个不同点，且满足： 0
0AOB 9∠=，m 0>，n 0<.请你用含有m
的表达式表示出△AOB 的面积S ，并求出S 的最小值及S 取最小值时一次函数OA 的函数解析式。

（参考公式：在平面直角坐标系中，若11P(x ,y )，22Q(x ,y )，则P ，Q 两点间的距离2
2
2121(x x )(y y )-+-）。