2 3 2
关键： 求y，y
曲率半径
x (t ) 2. y (t )
d y ( t ) ， d x ( t )
代入公式： K
d 2 y ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ， 2 3 dx [ ( t )]
B. 曲线弧长的微分 假设以 A( x 0 , y0 ) 为基点，
y
在曲线上任取一点 M ( x , y )，
N A M
y
显然有向弧段 AM的弧长
s s( x ) 下面考察弧长 s 的微分 ds．
0
2
另取点 N ( x x , y y )，
2 ( x ) ( y ) S ， ( MN ) 则有 MN
4.3.2 曲率的计算公式
设 y f ( x )可导，求曲率。
d 曲率定义： K lim K lim B A s 0 s ds
A. 曲线倾角的微分
曲线 y f ( x )的切线斜率： y f ( x ) tan 则 arctan y 1 d y dx 2 1 ( y)
曲率半径
y 0，
曲率
K 0
1 R K
例 2 求圆 x 2 y 2 r 2 上任一点处的曲率与曲 率半径．
解 2 x 2 y y 0,
2 2 2 x y xy x y r y ， y 3 2 3 y y y y
y f ( x ) tan 则 arctan y y d dx 2 1 ( y)
而 ds 1 [ y ' ] 2 dx
曲率
y d K 3 2 2 ds [1 ( y ) ]
[1 ( y ) ] 1 R y K
ds 1 [ f ' ( 0
MN
注意： 不同形式的曲线，
ds 表达形式不同．
(1)
y f ( x)
ds 1 [ f ' ( x )] 2 dx
d s ( dx ) 2 ( d y ) 2
[ x'( t )] [ y'( t )] dt
曲率的定义
当点 B 沿曲线趋于点 A 时，曲线弧段 AB 上的平均 曲率 K 的极限存在，则称此极 限为曲线 L 在 A 的曲 率，记为 K ，即 d K lim K lim B A s 0 s ds
曲率半径R （曲率也是变化率）
(
1 R K
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数. 1 1 即 ,k . k 2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3. r r ( ) x r ( ) cos y r ( ) sin x r ( ) cos r ( ) sin y r ( ) sin r ( ) cos
x [r ( ) r ( )] cos 2r ( ) sin y [r ( ) r ( )] sin 2r ( ) cos
2
(
x
x
x x
x
ds 2 s 2 MN 2 MN 2 ( ) lim ( ) lim ( ) lim ( ) x 0 x 0 x 0 dx x x x y 2 lim [1 ( ) ] 1 ( y)2 x 0 x MN
(
2 2
x x( t ) ( 2) y y( t )
( 3) r r ( )
d s r 2 ( r ' ) 2 d
C.
曲率的计算公式
d 曲率定义： K lim K lim B A s 0 s ds
1. 设曲线 y f ( x ) 具有二阶导数，
代入公式： K
曲率 K
| y x y x | [( y ) 2 ( x ) 2 ]
2 3
，得
| r 2 2( r ) 2 r r | [r ( r ) ]
2 2 3 2
例 1 求直线 y ax b 的曲率与曲率半径．
解
y a，
曲率
K
r2 y3
(1
x2 )32 y2
1 ； r
曲率半径
R r．
x a ( t sin t ) 例 3 求摆线 (a 0 ，0 t 2 ) 的曲率， y a (1 cos t )
4.3 平面曲线的曲率
4.3.1 曲率的概念 曲率：在数学上用数字 来刻画曲线的弯曲程度 ．
弧 AB 的长度 弧 A B 的长度 s， 弯曲程度与转角 但切线转过的角度 成“正比” 弧 A B 比弧 AB 的弯曲程度大。 切线转过的角度 相同 , 但弧 AB 的长度 弧 A B 的长度
y [1 ( y ) 2 ]
3 2
，得
K
| ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) | {[ ( t )] [ ( t )] } | yx yx | [( y ) ( x ) ]
2 2 2 3 2 2 2 3
弧 A B 比弧 AB 的弯曲程度大。 弯曲程度与弧长成“反比”
令K (0 ) s 称 K 为曲线弧段 AB 的平均曲率。
(
例如：半径为R的圆
曲线弧段 AB 的平均曲率 1 K s R R
(
又如：直线上任意两点A、B
A
B
0 , AB的平均曲率 K 0