将军饮马系列---最
值问题
1.两点之间，线段最短．
2.点到直线的距离，垂线段最短．
3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边．
4.A B 、分别为同一圆心O 半径不等的两个圆上的一点，R r AB R r -≤≤+ 当且仅当A B O 、、三点共线时能取等号．
古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦．
有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A 出发到河边饮马，然后再到B 地军营视察，显然有许多走法．问怎样走路线最短呢？精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答．这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题．
下面我们来看看数学家是怎样解决的．海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题． 根据公理：连接两点的所有线中，线段最短．
若A B 、
在河流的异侧，直接连接AB ，AB 与l 的交点即为所求． 若A B 、
在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解． “将军饮马”系列最值问题
知识回顾
知识讲解
海伦解决本问题时，是利用作对称点把折线问题转化成直线
现在人们把凡是用对称点来实现解题的思想方法叫对称原理，即轴对称思想
轴对称及其性质：
把一个图形沿某一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形．这条直线就是它的对称轴．这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称．如等腰ABC
∆是轴对称图形．
把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就是说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．
如下图，ABC
∆关于直线l对称，l叫做对称轴．A和'A，B和'B，C和'C ∆与'''
A B C
是对称点．
轴对称的两个图形有如下性质：
①关于某条直线对称的两个图形是全等形；
②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；
③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．
线段垂直平分线：
垂直平分线上点到线段两个端点的距离相等；
到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
当已知条件出现了等腰三角形、角平分线、高，或者求几条折线段的最小值等情况，通常考虑作轴对称变换，以“补齐”图形，集中条件。

所有的轴对称图形（角、线、等腰三角形、等边三角形、菱形、矩形、正方形、等腰梯形、圆、坐标轴），都可以考察“将军饮马”问题。

考察知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。

构建“对称模型”实现转化
C
C
B
B
A
A
PA PB
BC +…
常见模型：
（1）PA PB +最小
同侧
图1
B
l
A
B
图2
异侧
（2）①PA PB -最小
同侧
异侧
图5
A
A
图6
异侧
②PA PB -最大
A
l
同侧
异侧
l
【变形】异侧时，也可以问：在直线l 上是否存在一点P 使的直线l 为APB ∠的角平分线 （3）周长最短
类型一 类型二 类型三
B
A'
A'
（4）“过河”最短距离
类型一 类型二
l
N
M
（5）线段和最小
l 2
l 1
l 2
l 1
Q
Q
P
P
E
B
A
B
A
（6）在直角坐标系里的运用
A''A'
B'
A'
N
M
F
E
P B
A
B
A
B
A
∠APE=∠BPE
E
EF=1
A''
A'
B'A'
B'
A'
N
M
F
E
P
B
A
B
A
B
A
【例1】尺规作图，作线段AB 的垂直平分线，作COD ∠的角平分线．
同步练习
【变式练习】已知：如图，ABC ∠及两点M 、N ．求作：点P ，使得PM PN =，且P 点到ABC ∠两
边所在的直线的距离相等．
A
M
N
A
M
N
【例2】已知点A 在直线l 外，点P 为直线l 上的一个动点，探究是否存在一个定点B ，当点P 在直线
l 上运动时，点P 与A 、B 两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B ；若不存在，请说明
理由．
【例3】如图，在公路a 的同旁有两个仓库A 、B ，现需要建一货物中转站，要求到A 、B 两仓库的
距离和最短，这个中转站M 应建在公路旁的哪个位置比较合理？
a
B
A
【变式练习】如图，M 、N 为ABC ∆的边AC 、BC 上的两个定点，在AB 上求一点P ，使PMN ∆的
周长最短．
A B
M
N
【例4】如图，45
AOB
∠=︒，角内有点P，在角的两边有两点Q、R(均不同于O点)，求作Q、R，使得PQR
∆的周长的最小．
【例5】如图，在POQ
∠内部有M点和N点，同时能使MOP NOQ
∠=∠，这时在直线OP上再取A 点，使从A点到M点及N点的距离和为最小；在直线OQ上也取B点，使从B点到M点和
N点的距离和也最小．证明：AM AN BM BN
+=+．
Q
O
N M
P
B
A
【例6】已知如图，点M在锐角AOB
∠的内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P 到OA的边的距离和最小．
B
O
M
【例7】已知：A、B两点在直线l的同侧，在l上求作一点M，使得||
AM BM
-最小值和最大值．
l
B
A
【变式练习】(07年三帆中学期中试题)如图，正方形ABCD 中，8AB =，M 是DC 上的一点，且
2DM =，N 是AC 上的一动点．
求（1）DN MN +的最小值与最大值． （2）DN MN -的最小值与最大值．
D C N
M
B A
D C
N M
B A
【例8】如图ABC △，D E F 、
、分别是AB BC AC 、、边上的点（均不与点A B C 、、重合），记DEF △的周长为p ，请作出周长最小的DEF △．
B C
【习题1】如图，在等腰Rt ABC ∆中，3CA CB ==，E 的BC 上一点，满足2BE =，在斜边AB 上求作
一点P 使得PC PE +长度之和最小．
E P
B
C A
课后练习
【习题2】如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点M 、N 分别是变AB 、BC 的中点，在对
角线AC 求作一点P 使得PM PN +的值最小．
P
N
M
D
C
B
A
【习题3】如图，在锐角ABC △
中，AB =，45?BAC ∠=°，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，M 、
N 分别是AD 和AB 上的动点，则BM MN +的最小值是____．
A
B
C
D
M
N
【习题4】已知⊙O 的直径CD 为4，AOD ∠的度数为60°，点B 是的中点，在直径CD 上找一点P ，
使 BP AP +的值最小，并求BP AP +的最小值．
D
C
【习题5】如图所示，正方形ABCD 的面积为12，ABE △是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD PE +的和最小，则这个最小值为（
）
A ．
B ．
C ．
3 D
P
E
B
A
D
C
P
E
B
A
D
C
F
【习题6】如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．
实验与探究：
（1）由图观察易知()20A ，
关于直线l 的对称点'A 的坐标为()20，，请在图中分别标()()5325B C -，、，关于直线l 的对称点''B C 、的位置，并写出它们的坐标：
'B _____'C ____；
归纳与发现：
（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点()P a b ，关于第一、三象限
的角平分线l 的对称点'P 的坐标为_____ （不必证明）； 运用与拓广：
（3）已知两点()()1314D E ---，
、，，试在直线l 上找一点Q ，使点Q 到D E 、两点的距离之和最小．。