新人教版必修二数学期中检测试卷(时间：120分钟满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)1.已知向量a＝(1，m)，向量b＝(－1，3)，若a∥b，则m等于()

A.3B.－3C.33D.－33

答案B解析由题意得1×3－m×(－1)＝0，∴m＝－3.

2.已知i为虚数单位，z＝

4

1＋i，则复数z的虚部为()

A.－2iB.2iC.2D.－2答案D

解析z＝41＋i＝41－i1＋i1－i＝41－i2＝2－2i，故虚部为－2.3.已知边长为2的正方形ABCD中，E为AD的中点，连接BE，则BE→·EA→等于()A.－2B.－1C.1D.2答案B解析以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，建立

直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)E(0,1)，BE→＝(－2,1)，EA→＝(0，－1)，BE→·EA→＝－1.

4.(2019·淮北、宿州模拟)已知i为虚数单位，在复平面内，复数11－i的

共轭复数对应的点位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限答案D

解析由题意可得11－i＝1＋i1－i1＋i＝12＋12i，

则其共轭复数为12－12i，对应的点12，－12位于第四象限.

5.在长方形ABCD中，E为CD的中点，F为AE的中点，设AB→＝a，AD→＝b，则BF→等于()A.－

34a＋12bB.34a－1

2b

C.12a－34bD.12a＋34b

答案A解析如图所示，由平面向量线性运算及平面向量基本定理可得BF→＝AF→－AB→＝12AE→－AB→＝12AD→＋14AB→－AB→＝

12b－3

4a.

6.在△ABC中，∠A＝120°，AB→·AC→＝－2，则|BC→|的最小值是()A.2B.4C.23D.12答案C

解析AB→·AC→＝|AB→||AC→|cosA＝－12|AB→||AC→|

＝－2⇒|AB→||AC→|＝4，

|BC→|＝|AC→－AB→|⇒|BC→|2＝|AC→－AB→|2＝|AC→|2＋|AB→|2＋4≥2|AB→||AC→|＋4＝12，

当且仅当|AC→|＝|AB→|时取等号，

所以|BC→|≥23.

7.已知向量a＝(cosθ－2，sinθ)，其中θ∈R，则|a|的最小值为()A.1B.2C.5D.3答案A解析因为a＝(cosθ－2，sinθ)，所以|a|＝cosθ－22＋sin2θ＝1－4cosθ＋4＝5－4cosθ，

因为θ∈R，所以－1≤cosθ≤1，故|a|的最小值为5－4＝1.

8.已知点O是△ABC内一点，满足OA→＋2OB→＝mOC→，S△AOBS△ABC＝47，则

实数m为()A.2B.－2C.4D.－4答案D解析由OA→＋2OB→＝mOC→得13OA→＋23OB→＝m3OC→，

设m3OC→＝OD→，则13OA→＋23OB→＝OD→，∴A，B，D三点共线，如图所示，∵OC→与OD→反向共线，∴|OD→||CD→|＝mm－3，

∴S△AOBS△ABC＝|OD→||CD→|＝mm－3＝47，解得m＝－4.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9.在△ABC中，若sin2A＋sin2B

C，则△ABC的形状不可能是()

A.锐角三角形B.直角三角形

C.钝角三角形D.等边三角形

答案ABD解析由正弦定理知，sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.

∴sin2A＋sin2BC可化为a2＋b2<0.

∴cosC＝a2＋b2－c2

2ab<0.

∴角C为钝角，△ABC为钝角三角形.10.设z是复数，则下列命题中的真命题是()A.若z2

≥0，则z是实数

B.若z2<0，则z是虚数

C.若z是虚数，则z2

≥0

D.若z是纯虚数，则z2<0答案ABD解析设z＝a＋bi，a，b∈R，z2＝a2－b2＋2abi，对于A：z2≥0，则b＝0，所以z是实数，真命题；对于B：z2<0，则a＝0，且b≠0，可得z是虚数，所以B为真命题；对于C：z是虚数，则b≠0，所以z2也可能是虚数，不能比较大小，所以C是假命题；对于D：z是纯虚数，则a＝0，b≠0，所以z2<0，所以D是真命题.

11.在△ABC中，若lga－lgc＝lgsinB＝－lg2且B∈0，π2，则△ABC的形状可能是()A.等边三角形B.等腰三角形

C.钝角三角形D.直角三角形答案BD解析∵lga－lgc＝lgsinB＝－lg2，

∴ac＝sinB＝22，

∵B∈0，π2，∴B＝π4，∴cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋2a2－b22a·2a＝22，∴a2＝b2，则a＝b，∴A＝B＝π4，∴C＝π2，∴△ABC为等腰直角三角形.12.定义两个非零平面向量的一种新运算a*b＝|a|·|b|sin〈a，b〉，其中

〈a，b〉表示a，b的夹角，则对于两个非零平面向量a，b，下列结论一定成立的有()A.a在b上的投影向量为asin〈a，b〉B.(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2

C.λ(a*b)＝(λa)*bD.若a*b＝0，则a与b平行答案BD解析由投影向量的定义可知，A显然不成立；(a*b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2sin2〈a，b〉＋|a|2|b|2·cos2〈a，b〉＝|a|2|b|2

，故B

成立；λ(a*b)＝λ|a||b|sin〈a，b〉，(λa)*b＝|λa||b|sin〈a，b〉，当λ<0时不成立，故C不成立；由a*b＝0，得sin〈a，b〉＝0，即两向量平行，故D成立.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

13.i是虚数单位，则复数

3＋i

1－3i＝______，其实部为______.(本题第一

空3分，第二空2分)答案i0

解析3＋i1－3i＝3＋i1＋3i1－3i1＋3i

＝3＋9i＋i＋3i210＝i，其实部为0.

14.已知向量a，b的夹角为θ，且|a|＝2，|b|＝3，a·b＝3，则θ＝________.答案π6

解析由题意，利用向量的夹角公式，得cosθ＝a·b|a||b|＝32，又由θ∈[0，π]，∴θ＝π6.

15.(2019·南宁模拟)在正方形ABCD中，E为线段AD的中点，若EC→＝

λAD→＋μAB→，则λ＋μ＝________.

答案32

解析因为EC→＝ED→＋DC→＝12AD→＋AB→，所以λ＋μ＝12＋1＝32.

16.(2019·宁德质检)海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地

球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，则A，B两点间的距离为___________.

答案805解析由已知，在△ACD中，∠ACD＝15°，∠ADC＝150°，∴∠DAC＝15°，

由正弦定理，得AC＝80sin150°sin15°＝406－24＝40(6＋2)，

在△BCD中，∠BDC＝15°，∠BCD＝135°，∴∠DBC＝30°，

由正弦定理，得CDsin∠CBD＝BCsin∠BDC，∴BC＝CD·sin∠BDCsin∠CBD＝80×sin15°12

＝160sin15°＝40(6－2)；在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝1600(8＋43)＋1600(8－43)＋2×1600(6＋2)×(6－2)×

1

2

＝1600×16＋1600×4＝1600×20，解得AB＝805，则两目标A，B间的距离为805.四、解答题(本大题共6小题，共70分)17.(10分)已知复数z＝3＋mi(m∈R)，且(1＋3i)z为纯虚数.(1)求复数z；(2)若z＝(2－i)w，求复数w的模|w|.解(1)(1＋3i)·(3＋mi)＝(3－3m)＋(9＋m)i，∵(1＋3i)·z是纯虚数，∴3－3m＝0，且9＋m≠0，∴m＝1，∴z＝3＋i.

(2)w＝

3＋i

2－i＝3＋i·2＋i2－i·2＋i＝5＋5i5＝1＋i.

∴|w|＝12＋12＝2.18.(12分)已知向量a＝(1,2)，b＝(－3,4).(1)求a＋b与a－b的夹角；(2)若c满足c⊥(a＋b)，(c＋a)∥b，求c的坐标.解(1)∵a＝(1,2)，b＝(－3,4).