D C 解：∵在Rt△ ABC中，∠B=90°, AC=BC=50, ∴由勾股定理可知：
AC
A
AB 2 BC 2
50dm
B
502 502 5000 71(dm )
如图，池塘边有两点A、B，点C是与BA方向成直角的 AC方向上的一点，测得CB= 60m，AC= 20m ，你能求出A、
知识扩展
C 1m A
练一练
、一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米,宽1.6米,要开进厂门形状如下图的某工厂 ,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
. O
0.8m D
分析：1、厂门的宽度足够，所以卡车 能否通过，只要看卡车位于厂门正中间 时，其高度是否小于（ CH ），要求CH 就必须先求（ CD ），而要求出CD我们 B 可以建立RtΔ（ OCD ）。 2、在RtΔOCD中，直角边OD =（ 0.8米 ） 斜边OC =（ 1米 ）
A
10 10
D
8
B
X X
F E
(8- X)
82+ BF2＝102 ∴BF＝6
∴CF＝BC－BF＝10－6＝4 在Rt△EFC中
6
4 C
CE2+CF2＝EF2 (8－ X)2+42=X2 解得X=5 即EF=5
七、图形中阴影部分的面积问题
2、试求下列图形中阴影部分的面积
（1）阴影部分是正方形
25cm²
14
1
1
1
13 12 11
1
10
1
15 16
17
9
1
8
7
2, 3, 5, , n
的线段.
1
1 2 1
3
4
1 1 1
1 1
18

19
5
6
n
1
1
第七届国际数学 教育大会的会徽
1.（丹东·中考）已知△ABC是边长为1的等腰直角三角 形，以Rt△ABC的斜边AC为直角边，画第二个等腰
Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等
八、勾股定理应用中:航海问题
甲轮船以１５海里／时的速度从港口向东南方向航 行，乙船同时以２0海里／时速度向东北方向航行 求它们离开港口２小时后相距多远？ 北 乙A 解:2小时甲、乙各行的路程是
乙
西港口
甲
南
甲：20 2=40 乙：15 2=30 东 东南方向与东北方向夹角是90 由勾股定理可知 2 2 2 AB = 40 + 30 AB=50海里 答：它们离开港口2小时后相距 甲 50海里. B
D 15 A
C 10
x
E
25-x
B
答：E站应建在离A站10km处。
勾股定理中 折叠问题
折叠和轴对称密不可分，利用折叠前 后图形完全重合、全等，找到对应边、 对应角相等便可顺利解决折叠问题
矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上F处，已知 六AB=8 ，BC=10，求EF的长。 、 折 解:设DE为X, 则CE为 (8－ X). 叠 由题意可知:EF=DE=X, AF=AD=10 问 在Rt△ABF中 AB2+ BF2＝AF2 题
解:设水池的深度AC为X米, 则芦苇高AD为 (X+1)米. 根据题意得: BC2+AC2=AB2
∴
D C B
52+X2 =(X+1)2 25+X2=X2+2X+1 X=12 A ∴X+1=12+1=13(米) 答:水池的深度为12米,芦苇高为13米.
探究新知
荷花问题 平平湖水清可鉴, 面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立, 忽被强风吹一边; 渔人观看忙向前, 花离原位二尺远; 能算诸君请解题, 湖水如何知深浅.
①求梯子的底端B距墙角O多少米？ ②如果梯子的顶端A沿墙角下滑0.5米至C， 请同学们: 猜一猜，底端也将滑动0.5米吗？ 算一算，底端滑动的距离近似值 是多少? （结果保留两位小数）
A C
O
B
D
三、勾股定理解决芦苇倾斜问题
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题这个问 题意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形,在水池 的中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向岸边， 它的顶端恰好到达岸边的水面，问这个水池的深度和这根芦苇的长 度各是多少？
问题1：请说一说勾股定理的具体内容。
∵ 在Rt△ABC中, ∠C=90º ,AB=c,AC=b,BC=a,
A
a2+b2=c2.
①已知a、b，则c= ②已知a、c，则b= ③已知c、b，则a=
a 2 b2
c2 a2
c
b
C
B
a
c 2 b2
问题2：勾股定理应用的条件有哪些？
有两种特殊的直角三角形，已知一 边可以求另外两边长 A A
腰Rt△ADE,„,依此类推，第n个等腰直角三角形的斜边 长是______.
2.如图为4×4的正方形网格,以格点与点A为端点,你能画 出几条边长为 10 的线段?
A
3.如图，D(2,1),以OD为一边画等腰三角形，并且使另 一个顶点在x轴上，这样的等腰三角形能画多少个?写 出落在x轴上的顶点坐标.
x 2 ( x 0.5) 2 2 x 4 x x 0.25 x 4 0.25 x 3.75 (尺)
2 2 2
答：湖水深3.75尺. 0.5
2
可用勾股定理建立方程.
x
x+0.5
四、利用勾股定理在数轴上表示无理数
实数
A
-2
一一对应
数轴上的点
C D
2
说出下列数轴上各字母所表示的实数：
∴BC＝0.7m
由题意得：DE＝AB＝2.5m DC＝AC－AD＝2.4－0.4＝2m 在Rt△DCE中，∵∠DCE=90 ° ∴ DC2+ CE2＝DE2 22+ BC2＝2.52 ∴CE＝1.5m
C
B
E
∴BE＝1.5－0.7＝0.8m≠0.4m
答；梯子底端B不是外移0.4m
如图，一个3米长的梯子AB，斜着靠在 竖直的墙AO上，这时AO的距离为2.5米．
（2）阴影部分是半圆
8πcm²
知识扩展
练一练
如图，分别以Rt∆ABC三边为直径向外作三个 半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，猜想S1、 S2、 S3之间有什么关系？ 请加 以说明。
分析： ｓ ｓ 1 ｓ 2 3 ｓ 1
１ ２ 2 1 AB 8 2 AC 2 １ 1 ｓ AC 2 ２ 2 8 2 BC 2 １ 1 ｓ BC 3 ２ 2 8 AB 2 2
九、利用勾股定理解决最短路径问题 日常生活中常见的垂直关系有哪些？
A
C
B
北 东 南
西
1.两点之间， 线段 最短！
2.一个圆柱体的侧面展开图是长方形,它的一边长 是 圆柱的高 ,它的另一边长是 底面圆的周长 .
l
B
∴点C即为表示 13 的点
13
2
0 1
2
A

13
C4
3
你能在数轴上画出表示
17 的点和 15 的点吗？
你能在数轴上画出表示
17 的点和 15 的点吗？
15
2
17
1
? 16 4
15
? 14
?
15
11
?
√ lB
4
1
15
4
3
6
1?
B
17
√
15
4
1A
4
2 3C 4
A
0
1
2
3
17 4 C
0
1
方程思想：两个直角三角形中，如果有一 条公共边，可利用勾股定理建立方程求解.
变式训练： △ABC中,AB=10,AC=17，BC边上的高 线AD=8,求线段BC的长和△ABC的面积.
21 或9
S△ABC=84或36
A
8 15
8
17 10
6
D
B
C
6 15 当题中没有给出图形时，应考虑图形的形 状是否确定，如果不确定，就需要分类讨论。
15
你能在数轴上表示出 2 的点吗？
探究:
2呢 ?
用相同的方法作 3, 4, 5, 6, 7,. . . . 呢?
2 2
0
1
2
3 5
1
4
6 7
13
? 12 2 3
13
?
93
1
2
数学海螺图：
在数学中也有这样一幅美丽的 “海螺型”图案 1 1 由此可知,利用勾股定理,可以作 出长为 1
解：在RtΔOCD中，由勾股定理得
2.3 米
CD OC OD
2 2 2
2
1 0.8 0.6
H 2米
CH = 0.6+2.3 = 2.9＞2.5 因此高度上有0.4米的余量，所以 卡车能通过厂门.
有一个边长为50dm 的正方形洞口，想用一个圆盖去 盖住这个洞口，圆的直径至少多长？（结果保留整数）
B
-1 0 1
点A表示 2 点C表示
1
2 点B表示 3 7 点D表示 3
我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示
无理数，你能在数轴上表示出
13 的点吗？
你能在数轴上画出表示 13 的点吗？ 13 2 步骤： 1、在数轴上找到点A,使OA=3; 3
探究1:
2、作直线L⊥OA,在L上取一点B，使AB=2; 3,以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与 数轴交于C点，则点C即为表示 13的点。