2019-2020年高中数学第二章圆锥曲线与方程章末测试A 新人教B 版选修(I)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知抛物线的准线方程为x ＝－7，则抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝－28y B ．y 2＝28x C ．y 2＝－28x D ．x 2＝28y2．设P 是椭圆x 225＋y 216＝1上的点．若F 1，F 2是椭圆的两个焦点，则|PF 1|＋|PF 2|等于( )A ．4B ．5C ．8D ．103．以椭圆x 216＋y 29＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程是( )A.x 216－y 248＝1 B.x 29－y 227＝1 C.x 216－y 248＝1或y 29－x 227＝1 D ．以上都不对4．椭圆x 225＋y 29＝1上一点P 到两焦点的距离之积为m ，则m 取最大值时，P 点坐标是( )A ．(5,0)或(－5,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫52，332或⎝ ⎛⎭⎪⎫52，－332C ．(0,3)或(0，－3)D.⎝⎛⎭⎪⎫532，32或⎝ ⎛⎭⎪⎫－532，32 5．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是( )A ．2B. 3C. 2D.326．在y ＝2x 2上有一点P ，它到A (1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P 的坐标是( )A ．(－2,1)B ．(1,2)C ．(2,1)D ．(－1,2)7．设双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且它的一个焦点在抛物线y 2＝12x的准线上，则此双曲线的方程为( )A.x 25－y 26＝1B.x 27－y 25＝1 C.x 23－y 26＝1 D.x 24－y 23＝18．动圆的圆心在抛物线y 2＝8x 上，且动圆恒与直线x ＋2＝0相切，则动圆必过点( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2) D ．(0，－2)9．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)上任意一点到两焦点的距离分别为d 1，d 2，焦点为2c ，若d 1,2c ，d 2成等差数列，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.3410．已知F 是抛物线y ＝14x 2的焦点，P 是该抛物线上的动点，则线段PF 中点的轨迹方程是( )A ．x 2＝y －12B ．x 2＝2y －116C ．x 2＝2y －1D ．x 2＝2y －2第Ⅱ卷(非选择题 共50分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．若双曲线x 24－y 2b 2＝1(b ＞0)的渐近线方程为y ＝±12x ，则b 等于__________．12．若中心在坐标原点，对称轴为坐标轴的椭圆经过点(4,0)，离心率为32，则椭圆的标准方程为__________．13．椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆方程为__________．14．已知过点(－2,0)的直线l 和抛物线C ：y 2＝8x 有且只有一个公共点，则直线l 的斜率取值集合是__________．15．过双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一个焦点作圆x 2＋y 2＝a 2的两条切线，切点分别为A ，B .若∠AOB ＝120°(O 是坐标原点)，则双曲线C 的离心率为__________．三、解答题(本大题共4个小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16．(6分)求与椭圆4x 2＋9y 2＝36有相同的焦距，且离心率为55的椭圆的标准方程． 17．(6分)已知抛物线y 2＝6x ，过点P (4,1)引一条弦P 1P 2使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及|P 1P 2|.18．(6分)已知椭圆方程为x 29＋y 24＝1，在椭圆上是否存在点P (x ，y )到定点A (a,0)(其中0＜a ＜3)的距离的最小值为1？若存在，求出a 的值及P 点的坐标；若不存在，说明理由．19．(7分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)，直线l 为圆O ：x 2＋y 2＝b 2的一条切线，记椭圆C 的离心率为e .(1)若直线l 的倾斜角为π3，且恰好经过椭圆C 的右顶点，求e 的大小；(2)在(1)的条件下，设椭圆C 的上顶点为A ，左焦点为F ，过点A 与AF 垂直的直线交x轴的正半轴于B 点，且过A ，B ，F 三点的圆恰好与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切，求椭圆C 的方程．参考答案1. 解析：由条件可知p2＝7，所以p ＝14，抛物线开口向右，故方程为y 2＝28x .答案：B2. 解析：由题可知a ＝5，P 为椭圆上一点， 所以|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10. 答案：D3. 解析：当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 248＝1；当顶点为(0，±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 227＝1.答案：C4. 解析：因为|PF 1|＋|PF 2|＝2a ＝10， 所以|PF 1|·|PF 2|≤⎝⎛⎭⎪⎫|PF 1|＋|PF 2|22＝25.当且仅当|PF 1|＝|PF 2|＝5时，取得最大值，此时P 点是短轴端点，故选C. 答案：C5. 解析：双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的两条渐近线方程为y ＝±b a x ，依题意b a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝－1，故b 2a 2＝1，所以c 2－a 2a2＝1，即e 2＝2，所以双曲线的离心率e ＝ 2.答案：C6. 解析：如图所示，直线l 为抛物线y ＝2x 2的准线，F 为其焦点，PN ⊥l ，AN 1⊥l ，由抛物线的定义知，|PF |＝|PN |， 所以|AP |＋|PF |＝|AP |＋|PN |≥|AN 1|， 当且仅当A ，P ，N 三点共线时取等号， 所以P 点的横坐标与A 点的横坐标相同即为1， 即可排除A ，C ，D 项，故选B.答案：B7. 解析：抛物线y 2＝12x 的准线方程为x ＝－3.由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝3，ca ＝3，c 2＝a 2＋b 2，解得a 2＝3，b 2＝6，故所求双曲线的方程为x 23－y 26＝1.答案：C8. 解析：直线x ＋2＝0是抛物线的准线，又动圆圆心在抛物线上，由抛物线的定义知，动圆必过抛物线的焦点(2,0)．答案：B9. 解析：由椭圆的定义可知d 1＋d 2＝2a ， 又由d 1,2c ，d 2成等差数列， 所以4c ＝d 1＋d 2＝2a ，所以e ＝c a ＝12.答案：A10. 解析：由y ＝14x 2x 2＝4y ，焦点F (0,1)，设PF 中点Q (x ，y )，P (x 0，y 0)，则0020020214x x y y y x ⎧⎪⎨⎪⎩＝＋，＝＋，＝，所以x 2＝2y －1. 答案：C11. 解析：由题意知b 2＝12，解得b ＝1.答案：112. 解析：若焦点在x 轴上，则a ＝4，由e ＝32，可得c ＝23， 所以b 2＝a 2－c 2＝16－12＝4，椭圆方程为x 216＋y 24＝1.若焦点在y 轴上，则b ＝4， 由e ＝32，可得c a ＝32，所以c 2＝34a 2.又a 2－c 2＝b 2， 所以14a 2＝16，a 2＝64.所以椭圆方程为x 216＋y 264＝1.答案：x 216＋y 264＝1或x 216＋y 24＝113. 解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a －c ＝3，c a ＝12，解得⎩⎨⎧a ＝23，c ＝3，所以椭圆方程为x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝1.答案：x 212＋y 29＝1或y 212＋x 29＝114. 解析：设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，将其与抛物线方程联立，得⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝k (x ＋2)，①消去y ，得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0.②(1)当k ＝0时，x ＝0，从而y ＝0，方程组①只有一组实数解，从而直线l 与抛物线只有一个公共点；(2)当k ≠0时，令判别式Δ＝(4k 2－8)2－16k 4＝－64k 2＋64＝0，可解得k ＝±1，此时方程②有两个相等的实数解，代入方程组①中的第二个方程，知方程组①仅有一组实数解，从而直线l 与抛物线只有一个公共点．综上知直线l 的斜率的取值集合是{－1,0,1}． 答案：{－1,0,1}15．解析：如图，设双曲线一个焦点为F ， 则△AOF 中，|OA |＝a ，|OF |＝c ，∠FOA ＝60°.所以c ＝2a ，所以e ＝c a＝2. 答案：216. 解：把方程4x 2＋9y 2＝36写成x 29＋y 24＝1，则其焦距2c ＝25， 所以c ＝ 5. 又e ＝c a ＝55， 所以a ＝5，b 2＝a 2－c 2＝52－5＝20.故所求椭圆的方程为x 225＋y 220＝1，或y 225＋x 220＝1.17. 解：设直线上任意一点坐标为(x ，y )， 弦两端点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)．因为P 1，P 2在抛物线上，所以y 21＝6x 1，y 22＝6x 2. 两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝6(x 1－x 2)． 因为y 1＋y 2＝2，所以k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝6y 1＋y 2＝3. 所以直线的方程为y －1＝3(x －4)，即3x －y －11＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝6x ，y ＝3x －11，得y 2－2y －22＝0，所以y 1＋y 2＝2，y 1y 2＝－22. 所以|P 1P 2|＝1＋19×22－4×(－22)＝22303.18. 解：设存在点P (x ，y )满足题设条件， 则|AP |2＝(x －a )2＋y 2.因为x 29＋y 24＝1，所以y 2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 29.所以|AP |2＝(x －a )2＋4⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 29＝59⎝ ⎛⎭⎪⎫x －95a 2＋4－45a 2.因为|x |≤3，又0＜a ＜3，当⎪⎪⎪⎪⎪⎪95a ≤3，即0＜a ≤53时，|AP |2的最小值为4－45a 2.依题意，得4－45a 2＝1，所以a ＝±152⎝ ⎛⎦⎥⎤0，53.当95a ＞3，即53＜a ＜3时， 此时x ＝3，|AP |2取最小值(3－a )2. 依题意，得(3－a )2＝1，所以a ＝2. 此时P 点的坐标是(3,0)．故当a ＝2时，存在这样的点P 满足条件，P 点坐标为(3,0)．19. 解：(1)如图，设直线l 与圆O 相切于E 点，椭圆C 的右顶点为D ，则由题意易知，△OED 为直角三角形， 且|OE |＝b ，|OD |＝a ，∠ODE ＝π3，所以|ED |＝|OD |2－|OE |2＝c (c 为椭圆C 的半焦距)．所以椭圆C 的离心率e ＝c a ＝cos π3＝12.(2)由(1)知，c a ＝12，所以可设a ＝2m (m ＞0)，则c ＝m ，b ＝3m ，所以椭圆C 的方程为x 24m 2＋y 23m2＝1.所以A (0，3m )，所以|AF |＝2m .直线AF 的斜率k AF ＝3，所以∠AFB ＝60°. 在Rt△AFB 中，|FB |＝|AF |cos∠AFB＝4m ，所以B (3m,0)，设斜边FB 的中点为Q ，则Q (m,0)． 因为△AFB 为直角三角形，所以过A ，B ，F 三点的圆的圆心为斜边FB 的中点Q ，且半径为2m . 因为圆Q 与直线l ：x ＋3y ＋3＝0相切，所以|m ＋3|1＋3＝2m .因为m 是大于0的常数，所以m ＝1. 故所求的椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.。