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第二章 圆锥曲线与方程
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热点考点例析
阶段质量评估
2．圆锥曲线的标准方程与简单性质 (1)圆锥曲线的标准方程： 椭圆、双曲线有两种形式的标准方程，抛物线有四种形式 的标准方程．根据曲线方程的形式来确定焦点的位置，根据焦 点的位置选择恰当的方程形式． (2)圆锥曲线的简单几何性质： ①圆锥曲线的范围往往作为解题的隐含条件．
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第二章 圆锥曲线与评估
双曲线x92－1y62 ＝1 的两个焦点分别为 F1，F2，点 P
在双曲线上，若 PF1⊥PF2，求点 P 的坐标． [思维点击] 题目中的条件涉及曲线上的点与两个焦点，
故应考虑利用双曲线的定义将条件进行转化．
[规范解答] 由双曲线的方程知 a＝3，b＝4，c＝5，不妨
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(3)双曲线： 平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于常数(大 于零小于|F1F2|)的点的集合． 圆锥曲线的定义是相对应标准方程和几何性质的“源”，对 于圆锥曲线的有关问题，要有运用圆锥曲线定义解题的意识，
“回归定义”是一种重要的解题策略．
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1．已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为2，F1、F2为左 、右焦点．P为双曲线上一点，且∠F1PF2＝60°，S△PF1F2＝ 12，求双曲线的标准方程．
解析： 如图，设双曲线方程为 ax22－by22＝1(a＞0，b＞0)．
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②椭圆、双曲线有两条对称轴和一个对称中心，抛物线只 有一条对称轴．
③椭圆有四个顶点，双曲线有两个顶点，抛物线有一个顶 点．
④双曲线焦点位置不同，渐近线方程不同． ⑤圆锥曲线中基本量a，b，c，e，p的几何意义及相互转 化．
设点 P 在第一象限，坐标为(x，y)，F1 为左焦点，
则||PPFF11||－ 2＋|P|PFF2|2＝|2＝6 |F1F2|2＝100
① ②
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由①两边平方得(|PF1|－|PF2|)2＝36， 所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36. 将②代入，得|PF1|·|PF2|＝32. 在直角三角形 PF1F2 中，|PF1|·|PF2|＝|F1F2|·y＝32， 所以 y＝156，代入双曲线的方程，得 x＝3 541， 即点 P 在第一象限的坐标是3 541，156，再根据双曲线的 对称性得点 P 的坐标还可以是 －3 541，156，3 541，－156，－3 541，－156.
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圆锥曲线的方程及性质的应用
圆锥曲线的方程和性质的应用主要体现在已知方程求几何 性质，已知圆锥曲线的性质求圆锥曲线的方程，重在考查基础 知识，基本思想方法，属容易题，其中对离心率的考查是重点 ．
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所以12|PF1|·|PF2|sin 60°＝12 3， 得|PF1||PF2|＝48， 由以上几式得 c2＝16，c＝4， 则 a＝2，b2＝c2－a2＝12. 故所求双曲线方程为x42－1y22 ＝1.
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章末高效整合
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1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆： 平面内到两定点F1、F2距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点 的集合． (2)抛物线： 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不过F)的距离相等的 点的集合．
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圆锥曲线定义的应用
利用圆锥曲线定义解题，可避免复杂的运算，提高解题效 率，达到事半功倍的效果．
(1)在求轨迹方程时，若所求轨迹符合某种圆锥曲线的定义 ，则根据圆锥曲线的定义，写出所求的轨迹方程；
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过双曲线ax22－by22＝1(a>0，b>0)的右焦点 F 作双曲线 的渐近线的垂线 l，若直线 l 与双曲线的左、右两支相交于 A， B 两点，求双曲线的离心率 e 的取值范围．
[思维点击] 利用 l 与双曲线的两支分别相交，建立关于 a、 b、c 的不等式，结合 c2＝a2＋b2 转化为离心率 e 的不等式求解．
∵e＝ac＝2，∴c＝2a.
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由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝c， 在△PF1F2 中，由余弦定理， 得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos 60° ＝(|PF1|－|PF2|)2＋2|PF1||PF2|·(1－cos 60°)， 即 4c2＝c2＋|PF1||PF2|. 又 S△PF1F2＝12 3
(2)涉及椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题 时，常用定义结合三角形的知识来解决；
(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义把到焦点的 距离转化为到准线的距离，结合几何图形，利用几何意义去解 决，而有关椭圆、双曲线的距离的最值问题，则常用定义把曲 线上的点到焦点的距离转化为到另一焦点的距离．
[规范解答] 设右焦点 F(c,0)，不妨取渐近线 y＝bax， 则直线 l 的方程为 y＝－ba(x－c)．
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