【全国百强校】上海市七宝中学2019届高三上学期
期中考试数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、填空题
1. 集合的真子集有________个
2. 设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合是________（用区间表示）
3. 命题“若实数、满足，则或”是________命题（填“真”或“假”）
4. 某个时钟时针长6，则在本场考试时间内，该时针扫过的面积是
________
5. 函数是奇函数，则实数的值为________
6. 函数在上单调递增，则实数的取值范围为________
7. 在△中，角、、所对的边分别为、、，若，，，则△的面积为________
8. 已知函数，则的解集是________
9. 若关于的不等式在上恒成立，则正实数的取值范围为________
10. 已知常数，函数的图象经过点，
．若，则______．
11. 已知函数，若，则
的最大值是________
12. 已知函数，如果函数恰有三个不同的零点，那么实数的取值范围是________
二、单选题
13. “函数存在反函数”是“函数在上为增函数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
14. 若函数的反函数为，则函数与的图象可能是
A．B．C．D．
15. 在△中，角、、所对的边分别为、、，给出四个命题：（1）若，则△为等腰三角形；
（2）若，则△为直角三角形；
（3）若，则△为等腰直角三角形；
（4）若，则△为正三角形；
以上正确命题的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
16. 是定义在上的函数，且，若的图像绕原点逆时针旋转
后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（）A．0 B．1 C．2 D．3
三、解答题
17. 已知锐角和钝角的终边分别与单位圆交于、两点，其中点坐标
.
（1）求的值；
（2）若，求点坐标.
18. 如图，某公园有三个警卫室、、有直道相连，千米，千米，千米.
（1）保安甲沿从警卫室出发行至点处，此时，求的直线距离；（2）保安甲沿从警卫室出发前往警卫室，同时保安乙沿从警卫室出发
前往警卫室，甲的速度为1千米/小时，乙的速度为2千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在公园内的最大通话距离不超过3千米，试问有多
长时间两人不能通话？（精确到0.01小时）
19. 问题：正数、满足，求的最小值.
其中一种解法是：，当且仅当
且时，即且时取等号.
学习上述解法并解决下列问题：
（1）若实数、、、满足，试比较和的大小，并指明等号成立的条件；
（2）利用（1）的结论，求函数的值域.
20. 定义区间、、、的长度均为，已知不等式
的解集为.
（1）求的长度；
（2）函数（，）的定义域与值域都是
（），求区间的最大长度；
（3）关于的不等式的解集为，若的长度为6，求实数的取值范围.
21. 已知定义在上的函数满足：对任意的实数都成立，当且仅当时取等号，则称函数是上的函
数，已知函数具有性质：
（,）对任意的实数（）都成立，当且仅当
时取等号.
（1）试判断函数（且）是否是上的函数，说明理由；
（2）求证：是上的函数，并求的最大值（其中、、是△三个内角）；
（3）若定义域为，
①是奇函数，证明：不是上的函数；
②最小正周期为，证明：不是上的函数.。